[justify]Os “Elementos” de Euclides assumem um papel fundamental na história da Matemática, pois as definições, os axiomas ou postulados (conceitos e proposições admitidos sem demonstração e que constituem os fundamentos da obra, nomeadamente, os de ponto, reta e plano) e os teoremas, não aparecem como mera reunião de noções e resultados, mas, antes, são apresentados por uma ordem determinada que garante a validade lógica da obra. Cada teorema resulta dos axiomas, dos postulados, das definições e dos teoremas anteriores, de acordo com demonstrações rigorosas. Este método, chamado [math]\textit{axiomático}[/math], estabeleceu um sistema lógico em que, desde aí, se baseou todo o trabalho matemático (e, em geral, todo o trabalho científico). No entanto, é necessário referir que, apesar da excelência do trabalho feito nos “Elementos” de Euclides, existem imperfeições. Algumas das suas demonstrações admitem resultados sem demonstração (embora, muitas vezes, sejam intuitivos), e os seus postulados não são unanimemente aceites como necessários: nomeadamente, o [i]V Postulado[/i].[br][br]A [i]Geometria na Superfície Esférica[/i] ou, simplesmente, [i]Geometria Esférica[/i] (como doravante a iremos chamar neste trabalho), que conta com resultados que remontam à antiguidade clássica, e que tem diversas e importantes aplicações práticas ao longo da história, vai constituir um exemplo de que o [i]V Postulado[/i] é necessário nas geometrias euclidianas, pois, caso não seja adotado, obtêm-se geometrias diferentes.[br]É com estas premissas e motivações que vamos então, com as devidas considerações, tentar estabelecer uma correspondência entre Geometria no Plano (uma geometria euclidiana) e a Geometria Esférica, apontando semelhanças e evidenciando diferenças, ao mesmo tempo que proporcionaremos, talvez, o primeiro encontro do leitor com uma geometria não euclidiana. [br][br]Esta obra GeoGebra dedica-se, essencialmente, a relembrar parte da axiomática de Geometria no Plano, parte integrante dos Programas e Metas Curriculares de Matemática para o Ensino Básico (o que fazemos no Subcapítulo 2.2, de nome Geometria no Plano - Postulados de Euclides); a introduzir algumas noções basilares de Geometria Esférica (o que fazemos no Subcapítulo 3.1, de nome Geometria Esférica - Preliminares); e, com determinadas correspondências estabelecidas, a ver de que maneira essa axiomática se "concretiza" em Geometria Esférica (o que fazemos no Subcapítulo 3.2, de nome Geometria Esférica - Postulados de Euclides). Desta maneira, pretendemos contribuir para um aprofundamento e/ou complementação das aprendizagens de Matemática A dos alunos do Ensino Secundário, nomeadamente:[br][/justify][list][*]clarificando e explorando a estrutura axiomática, base fundamental e que garante a validade lógica do trabalho científico, [/*][*]introduzindo a Geometria Esférica e averiguando se é uma geometria euclidiana, e[/*][*]fomentando futuras explorações de Geometria Esférica através das bases aqui estabelecidas.[/*][/list]Para perseguir estes intuitos, as capacidades do GeoGebra são fundamentais, facilitando a compreensão de conceitos e construções, e propiciando condições ótimas para a reflexão e para a conjetura.

[justify]Consideramos no plano um referencial ortonormado [math]$Oxy$[/math] (em particular, ficamos com uma unidade de medida de comprimento definida). No plano, consideramos [i][b]retas[/b][/i] e [i][b]segmentos de reta[/b][/i] da maneira habitual. A distância entre dois pontos do plano é o comprimento do segmento de reta que tem como extremos esses dois pontos e é encontrada da maneira habitual:[br]Sejam [math]$A$[/math] e [math]$B$[/math] dois pontos do plano.[br]Então existem [math]$x_A,\ y_A,\ x_B,\ y_B \in \mathbb{R}$[/math] tais que [math]$(x_A,y_A)$[/math] e [math]$(x_B,y_B)$[/math] são as coordenadas de [math]$A[/math] e [math]$B$[/math], respetivamente, no referencial cartesiano considerado.[br]Denominamos a [math]\textit{distância entre os dois pontos}[/math] [math]$A$[/math] [math]\textit{e}[/math] [math]$B$[/math] (ou, simplesmente, [math]\textit{distância de}[/math] [math]$A$[/math] [math]\textit{a}[/math] [math]$B$[/math]), que denotamos por [math]$d(A,B)$[/math], a medida de comprimento do segmento de reta [math]$[AB]$[/math], que denotamos por [math]$\overline{AB}$[/math], e vale [math]$\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$[/math].[/justify]

[color=#0000ff][justify][b]Apliqueta 01:[/b] Nesta apliqueta tens:[br][/justify][list][*]a origem do referencial, [math]$O$[/math];[/*][*]uma reta que passa em [math]$O$[/math] fixa, [math]$r$[/math];[/*][*]um ponto arbitrário de [math]$r$[/math], [math]$A$[/math]; e[/*][*]um ponto arbitrário do plano, [math]$B$[/math].[/*][/list]Selecionando:[br][list][*]a 1.ª caixa podes visualizar as retas [math]$OB$[/math] e [math]$AB$[/math];[/*][*]a 2.ª caixa podes visualizar os segmentos de reta [math]$[OA]$[/math], [math]$[OB]$[/math] e [math]$[AB]$[/math]; e[/*][*]a 3.ª caixa podes visualizar as distâncias [math]$d(O,A)$[/math], [math]$d(O,B)$[/math] e [math]$d(A,B)$[/math].[/*][/list]Move o ponto [math]$A$[/math] ao longo da reta [math]$r$[/math] e o ponto [math]$B$[/math] por todo o plano, e observa de que maneira as distâncias [math]$d(O,A)$[/math], [math]$d(O,B)$[/math] e [math]$d(A,B)$[/math] variam.[/color]

[justify]No plano, uma [math]\textit{circunferência}[/math] é formada pelos pontos que estão à mesma distância, o [math]\textit{raio}[/math] (um número real positivo arbitrário), de um ponto fixo, o [math]\textit{centro}[/math], e um [math]\textit{círculo}[/math] é o conjunto de todos os pontos que estão a uma distância ao centro não superior ao raio.[br]Quando não houver ambiguidade, chamamos também raio a qualquer segmento de reta unindo um ponto da circunferência ao seu centro (portanto, tal como é habitual em textos de geometria, existe aqui um abuso de linguagem: raio de uma circunferência é utilizado tanto como sendo um segmento de reta como sendo uma medida de comprimento).[br]Da definição de circunferência vem que quaisquer dois raios (aqui já no sentido de segmentos de reta) têm a mesma medida de comprimento.[/justify]

[color=#0000ff][justify][b]Apliqueta 02:[/b] Nesta apliqueta move o ponto [math]$A$[/math] para obteres uma circunferência de centro em [math]$O$[/math] e com uma medida de raio qualquer, e move o ponto [math]$B$[/math] ao longo dessa circunferência para comparares a medida de comprimento de qualquer raio.[/justify][/color]

[justify]Consideremos um referencial ortonormado [math]$Oxyz$[/math] no espaço (em particular ficamos com uma unidade de medida de comprimento definida).Consideremos a superfície esférica de centro em [math]$O(0,0,0)$[/math], a origem do nosso referencial, e raio [math]$1$[/math]. Designamos esta superfície esférica por [math]\textit{esfera trigonométrica}[/math] e notamo-la por [math]$S$[/math].[br]Notamos que com esta designação, ocorre uma situação que não nos é habitual (mas que é usual em Geometria Esférica): trataremos [b]superfície esférica[/b] pela nomenclatura [b]esfera[/b].[br]Também de acordo com um procedimento comum em Geometria Esférica, no resto deste trabalho, a menos de indicação em contrário, iremos sempre trabalhar com a esfera trigonométrica, [math]$S$[/math], sendo que as definições e resultados a que vamos chegar poderão sempre ser adequados a qualquer outra superfície esférica. Analogamente, no resto deste trabalho, a menos de menção em contrário, sempre que falarmos em planos, estaremos apenas a considerar planos que intersetem a circunferência trigonométrica.[br]Designamos por [math]\textit{grande círculo}[/math] ou [math]\textit{círculo máximo}[/math] a interseção de [math]$S$[/math] com um plano que passa no seu centro, e designamos por [math]\textit{pequeno círculo}[/math] a interseção de [math]$S$[/math] com um plano que não passa no seu centro. Um grande círculo divide a a superfície esférica [math]$S$[/math] em duas regiões iguais a que chamamos [math]\textit{hemisférios}[/math]. Notamos que consideramos esses hemisférios como regiões que não contêm o grande círculo que lhes deu origem.[br]Seja [math]$A$[/math] um ponto arbitrário de [math]$S$[/math]. A interseção de [math]$S$[/math] e a reta [math]$OA$[/math] é um conjunto constituído por dois pontos, onde um deles é, obviamente, o próprio ponto [math]$A$[/math]. Designamos por [math]\textit{antípoda de}[/math] [math]$A$[/math], e notamo-lo por [math]$A'$[/math], o outro ponto que é resultado dessa interseção.[br][br][br]Da definição de círculo máximo em [math]$S$[/math] é fácil concluir que [b]um círculo é máximo se e só se o seu perímetro medir [/b][math]$2 \pi$[/math][b] unidades de comprimento[/b].[br][br][br]De seguida vamos ver um resultado que nos dá mais um critério para aferir se um círculo de [math]$S$[/math] é ou não máximo. [br][br][b]Proposição[br][/b]Seja [math]$c$[/math] um círculo arbitrário de [math]$S$[/math] e seja [math]$A$[/math] um ponto arbitrário de [math]$c$[/math]. Então o círculo [math]$c$[/math] é máximo se e só se o antípoda de [math]$A$[/math] pertence a [math]$c$[/math].[br][br][b]Demonstração:[/b][br]Seja [math]$c$[/math] um círculo máximo de [math]$S$[/math] e sejam [math]$A$[/math] e [math]$B$[/math] dois pontos arbitrários de [math]$c$[/math]. Então, por definição de círculo máximo, o círculo máximo [math]$c$[/math] pode ser obtido através da interseção do plano [math]$OAB$[/math] e de [math]$S$[/math]. Então é óbvio que [math]$A'$[/math] pertence ao grande círculo [math]$c$[/math] (pois a reta [math]$OA$[/math] pertence ao plano [math]$OAB$[/math] e, como tal, [math]$A'$[/math] pertence a [math]$S$[/math]).[br]Consideremos agora um ponto [math]$A$[/math] de [math]$S$[/math] e o seu antípoda [math]$A'$[/math]. Seja [math]$B$[/math] um ponto arbitrário de [math]$S$[/math] diferente de [math]$A$[/math] e de [math]$A'$[/math]. Então é óbvio que o plano [math]$AA'B$[/math] coincide com o plano [math]$OAB$[/math] (pois o ponto [math]$O$[/math] pertence à reta [math]$AA'$[/math]) e, como tal, o círculo [math]$AA'B$[/math] é um círculo máximo de [math]$S$[/math]. Pela arbitrariedade de [math]$B$[/math] temos o pretendido.[/justify]

[justify][color=#0000ff][b]Apliqueta 8:[/b] Nesta apliqueta podemos concluir que o círculo [/color][math]$AB$[/math][color=#0000ff] de [/color][math]$S$[/math][color=#0000ff] é máximo através das três maneiras que temos até agora ao nosso dispor:[br][/color][/justify][list][*][color=#0000ff]por definição, vendo que o círculo [/color][math]$AB$[/math][color=#0000ff] resulta da interseção de [/color][math]$S$[/math][color=#0000ff] e do plano [/color][math]$OAB$[/math][color=#0000ff], [/color][/*][*][color=#0000ff]vendo que tanto o antípoda de [/color][math]$A$[/math][color=#0000ff] como o antípoda de [/color][math]$B$[/math][color=#0000ff] pertencem ao círculo [/color][math]$AB$[/math][color=#0000ff], [/color][/*][*][color=#0000ff]e, recorrendo às capacidades do GeoGebra, vendo que o perímetro do círculo [/color][math]$AB$[/math][color=#0000ff] de [/color][math]$S$[/math][color=#0000ff] é [/color][math]$2 \pi$[/math][color=#0000ff] (este último não é um método conclusivo porque temos apenas valores aproximados).[/color][/*][/list][color=#0000ff][justify]Como [math]$A$[/math] e [math]$B$[/math] são pontos arbitrários de [math]$S$[/math] (utilizando a apliqueta podes movê-los livremente em [math]$S$[/math]), e, como pelo vimos anteriormente, o círculo [math]$AB$[/math] é máximo, esta apliqueta permite-nos visualizar qualquer grande círculo de [math]$S$[/math].[/justify][/color]

[justify][color=#0000ff][b]Apliqueta 9:[/b] Nesta apliqueta temos uma representação de [/color][math]$S$[/math][color=#0000ff] e de três dos seus pontos, [/color][math]$A$[/math][color=#0000ff], [math]$B$[/math] e [math]$C$[/math].[br]Movendo os pontos [/color][math]$A$[/math][color=#0000ff], [/color][math]$B$[/math][color=#0000ff] e [math]$C$[/math] podemos visualizar qualquer círculo de [/color][math]$S$[/math][color=#0000ff].[br]Recorrendo às potencialidades do GeoGebra, e aos três critérios descritos anteriormente, podemos instantaneamente comprovar se os círculos obtidos em cada situação são grandes ou pequenos (pensa no que deves fazer na apliqueta para conseguires observar o pretendido em cada um dos critério).[br]Nesta apliqueta introduziu-se um elemento que, recorrendo ao valor do perímetro do círculo [math]$ABC$[/math], nos confirma automaticamente se o círculo é ou não máximo (tal como foi descrito na apliqueta anterior, este processo não é exato por recorrer a valores aproximados).[/color][/justify]

[justify]Acabámos então de ver que na esfera trigonométrica [math]$S$[/math] podemos considerar pontos e círculos (sejam eles grandes ou pequenos círculos), mas o que dizer acerca de segmentos de reta e de retas? É óbvio que, qualquer segmento de reta ou reta definidos por dois pontos de [math]$S$[/math], apenas podem ter esses dois pontos em [math]$S$[/math], pois [math]$S$[/math] é uma superfície esférica e, assim, os restantes pontos serão interiores a [math]$S$[/math] (no caso de segmentos de reta) ou interiores e exteriores a [math]$S$[/math] (no caso de retas), e, como tal, não pertencem a [math]$S$[/math].[br]Pretendemos neste trabalho estabelecer uma correspondência entre Geometria Esférica (onde o universo a considerar é a esfera trigonométrica [math]$S$[/math]) e Geometria no Plano e, para isso, vamos ter de tomar algumas considerações. Então:[/justify][list][*]a segmentos de reta no plano vamos fazer corresponder arcos menores de grandes círculos (que também poderão ser designados por segmentos de grandes círculos) em [math]$S$[/math]; e,[/*][*]a retas no plano vamos fazer corresponder grandes círculos em [math]$S$[/math].[/*][/list][justify]Estas correspondências podem parecer estranhas quando nos deparamos com elas pela primeira vez mas tornam-se "naturais" depois de nos debruçarmos um pouco sobre elas.[br]No plano, definimos a distância entre dois pontos como sendo a medida de comprimento do segmento de reta que une esses dois pontos, pois essa é "a menor distância" entre eles. E na superfície esférica qual é a menor distância entre dois pontos de $S$? É exatamente a medida de comprimento do arco menor do grande círculo que contém esses pontos. Este é um facto comummente conhecido pelos alunos do Ensino Secundário e não só: basta lembrarmo-nos do que estudámos na disciplina de Matemática - e em outras! - acerca da distância de dois pontos na superfície terrestre (que foi aí considerada como sendo a superfície de uma esfera).[br]No plano, ao prolongarmos indeterminadamente um segmento de reta obtemos uma reta. Considerando a correspondência anterior entre segmentos de reta e segmentos de grandes círculos, torna-se também natural fazer corresponder grandes círculos em [math]$S$[/math] a retas no plano, pois ao prolongarmos "indeterminadamente" segmentos de grandes círculos obtemos, obviamente, círculos máximos.[br][br]Sejam [math]$A$[/math] e [math]$B$[/math] dois pontos de [math]$S$[/math] arbitrários. Designamos por [math]\textit{segmento esférico}[/math] [math]$AB$[/math], e notamo-lo por [math]$(AB)$[/math], o arco menor de um grande círculo que contenha [math]$A$[/math] e [math]$B$[/math]. Chamamos [math]\textit{distância esférica}[/math] (ou, quando não houver ambiguidade, simplesmente [math]\textit{distância}[/math]) [math]\textit{entre os pontos}[/math] [math]$A$[/math] e [math]$B$[/math] à medida de comprimento de um segmento esférico [math]$AB$[/math], e notamo-la por [math]$\overparen{AB}$[/math].[/justify]

[justify][color=#0000ff][b]Apliqueta 10:[/b] Nesta apliqueta temos uma representação de [math]$S$[/math] e de dois pontos arbitrários [math]$A$[/math] e [math]$B$[/math] de [math]$S$[/math]. Podes deslocar livremente os pontos [math]$A$[/math] e [math]$B$[/math] em [math]$S$[/math] e visualizar o segmento esférico que os une.[br]Para confirmares que o arco de circunferência que vemos é, de facto, um segmento esférico, podes selecionar o plano que passa na origem de [/color][math]$S$[/math][color=#0000ff] e nos pontos [/color][math]$A$[/math][color=#0000ff] e [/color][math]$B$[/math][color=#0000ff], constatando assim que o arco de circunferência visualizado é, efetivamente, o de um círculo máximo.[/color][/justify]

[justify]A anterior apliqueta 9 permite fazer mais uma importante conjetura.[br]Tal como observamos na apliqueta[b], [/b][math]$\overparen{AB}[/math], [b]a medida de comprimento do segmento esférico [/b][math]$(AB)$[/math] (que, obviamente, é dada em unidades de medida de comprimento - apesar de, neste trabalho, não termos definido uma unidade de medida de comprimento em particular), [b]coincide com a medida de amplitude do ângulo [math]$AOB$[/math] em radianos, [math]$AÔB$[/math][/b]. Para sermos precisos, do observado apenas podemos conjeturar a igualdade atrás descrita. No entanto, e como é bem conhecido pelos alunos do Ensino Secundário, a medida de comprimento do segmento esférico [math]$(AB)$[/math] é calculada recorrendo a proporcionalidade direta e ao perímetro do grande círculo [math]$AB$[/math], chegando-se exatamente à fórmula que prova a igualdade observada atrás: [math]$\overparen{AB} = AÔB$[/math]. Portanto esta igualdade, apesar de poder ter surpreendido alguns de nós num primeiro momento, é perfeitamente esperada. O que é aqui novo e que queremos realçar é:[br][b]a medida de comprimento de um segmento esférico [math]$(AB)$[/math], ou seja, a distância entre dois pontos [math]$A$[/math] e [math]$B$[/math] de [math]$S$[/math], [math]$\overparen{AB}$[/math], poder ser expressa tanto em [u]unidades de medida de comprimento[/u] como em [u]radianos[/u].[/b][/justify]

[justify][color=#0000ff][b]Apliqueta 11:[/b] Nesta apliqueta, temos uma representação de [/color][math]$S$[/math][color=#0000ff] e de três pontos arbitrários [math]$A$[/math][color=#0000ff], [/color][math]$B$[/math][color=#0000ff] e [/color][math]$C$[/math][color=#0000ff] de [math]$S$[/math]. [/color]Podes mover livremente os pontos [/color][math]$A$[/math][color=#0000ff], [/color][math]$B$[/math][color=#0000ff] e [/color][math]$C$[/math][color=#0000ff] em [math]$S$[/math] para [/color][color=#0000ff]poderes conjeturar que, de facto, o comprimento desse arco é sempre menor ou igual ao comprimento de qualquer outro arco de circunferência de [/color][math]$S$[/math][color=#0000ff] (neste caso, comparando [/color][math]$(AB)$[/math][color=#0000ff] com o arco [/color][math]$ACB$[/math][color=#0000ff]) e que, assim, a distância esférica que definimos satisfaz o que pretendíamos, ou seja, é a "menor distância" entre dois pontos de [math]$S$[/math] (neste caso, os pontos [math]$A$[/math] e [math]$B$[/math]).[br]Mais uma vez, p[color=#0000ff]ara confirmares se os arcos de circunferências que vemos são ou não segmentos esféricos de [math]$S$[/math], podes selecionar na apliqueta:[br][/color][/color][/justify][list][*][color=#0000ff][color=#0000ff][color=#0000ff][color=#0000ff]o plano que passa na origem de[/color][color=#0000ff] [math]$S$[/math], [math]$O$[/math], e nos pontos [math]$A$[/math][/color][color=#0000ff] e [math]$B$[/math], e confirmar que o arco menor [math]$(AB)$[/math] é um segmento esférico; e[/color][/color][/color][/color][/*][*][color=#0000ff][color=#0000ff][color=#0000ff][/color][color=#0000ff]selecionar o plano que passa[/color][color=#0000ff] nos pontos [math]$A$[/math], [/color][color=#0000ff][math]$B$[/math] e [math]$C$[/math] para confirmar que o arco de circunferência [math]$(ABC)$[/math] é um segmento esférico quando e apenas quando coincide com o segmento esférico [math]$(AB)$[/math] (pois, apenas neste caso, temos o plano [math]$ABC$[/math] a passar no centro de [math]$S$[/math])[/color][color=#0000ff].[/color][/color][/color][/*][/list]

[justify]Uma vez que já estabelecemos em Geometria Esférica correspondentes para segmentos de retas e para retas em Geometria no Plano, podemos agora estabelecer também uma correspondência para ângulos.[br]Esta é no entanto uma definição mais complexa e que vamos apresentar apenas com o rigor necessário para os desenvolvimentos que pretendemos fazer. Mais uma vez, o GeoGebra tem aqui uma importância fundamental, pois permite-nos perceber e conjeturar relações de maneira simples e que são suficiente para as explorações que faremos.[br][/justify][br][justify]Sejam [math]$A$[/math], [math]$B$[/math], e [math]$C$[/math] pontos de [math]$S$[/math]. Consideremos os planos [math]$OAB$[/math] e [math]$OAC$[/math], e os grandes círculos que resultam das interseções desses planos e de [math]$S$[/math] (respetivamente, os círculos máximos [math]$AB$[/math] e [math]$AC$[/math]).[br]Seja [math]$D$[/math] um ponto arbitrário do círculo [math]$AB$[/math]. No [b]Espaço Euclidiano[/b], definimos [math]\textit{reta tangente ao grande círculo}[/math] [math]$AB$[/math] [math]\textit{em}[/math] [math]$D$[/math] como sendo a única reta tangente a [math]$S$[/math] em [math]$D$[/math] que está contida no plano [math]$OAB$[/math].[br]Consideremos agora dois grandes círculos [math]$c_1$[/math] e [math]$c_2$[/math] de [math]$S$[/math] que se intersetem num ponto [math]$A$[/math]. Definimos [math]\textit{ângulo esférico em}[/math] [math]$A$[/math] (respetivamente, [math]\textit{ângulo esférico entre os grandes círculos}[/math] [math]$c_1$[/math] e [math]$c_2$[/math]), como sendo o ângulo euclidiano formado pelas retas tangentes aos grandes círculos no ponto de interseção [math]$A$[/math] (respetivamente, nos pontos de interseção de [math]$c_1$[/math] e [math]$c_2$[/math]). Esta definição estende-se naturalmente a segmentos esféricos que se intersetem (refletir sobre esta definição, nomeadamente, se deveria ser ângulo entre retas ou entre semirretas, e se o ângulo fica univocamente determinado).[br][br]Nota: Na definição de ângulo esférico entre os grandes círculos [math]$c_1$[/math] e [math]$c_2$[/math] estamos a presumir que eles se intersetam. Isto ainda não foi provado (é um exemplo da falta de rigor que anteriormente avisámos que poderia ocorrer) mas, de facto, prova-se que, quaisquer dois grandes círculos (distintos) intersetam-se sempre em dois pontos (vamos ter oportunidade de o constatar no próximo subcapítulo), logo, não existe qualquer problema com esta definição.[/justify]

[color=#0000ff][justify][b]Apliqueta 12:[/b] Nesta apliqueta temos dois grandes círculos [math]$AB$[/math] e [math]$AC$[/math] de [math]$S$[/math] e vamos visualizar os ângulos esféricos entre esses dois grandes círculos. Para isso, temos caixas cujas seleções nos permitem uma perceção faseada dos procedimentos a realizar, procurando dessa maneira simplificar as construções a empreender. Podemos também observar que o ângulo esférico entre os grandes círculos [math]$AB$[/math] e [math]$AC$[/math] (que foi definido como o ângulo euclidiano entre as retas tangentes aos círculos máximos num ponto de interseção desses círculos) podia também ter sido definido como o ângulo euclidiano entre os planos [math]$OAB$[/math] e [math]$OAC$[/math]. As reflexões propostas atrás acerca da definição de ângulo entre dois grandes círculos e se esse ângulo fica univocamente determinado, são também auxiliadas pela utilização desta apliqueta.[/justify][/color]