[b][u][color=#1e84cc]Extremos para funciones de más de dos variables.[/color][/u][/b][br][br]El teorema sobre clasificación de puntos críticos se aplica para funciones de más de dos variables haciendo cambios naturales. [br][br][b][color=#980000]Teorema (clasificación de puntos críticos). [/color][/b][br][br]Notamos [math]x=(x_{1},\ldots,x_{n})[/math]. Sea [math]f(x)[/math] una función de [math]n[/math]-variables al menos [math]C^{2}[/math]. Sea [math]x_{0}=(x_{1,0},\ldots,x_{n,0})[/math] un punto crítico. Entonces, [br][br][i][1] si los autovalores de la Hessiana son todos positivos, entonces puede garantizarse que [math]f(x)-f(x_{0})\geq 0[/math] si [math]x[/math] está suficientemente cerca de [math]x_{0}[/math], es decir que [math]f(x)[/math] tiene un mínimo local en [math]x_{0}[/math].[br][br][2] si los autovalores de la Hessiana son todos negativos, entonces puede garantizarse que [math]f(x)-f(x_{0})\leq 0[/math] si [math]x[/math] está suficientemente cerca de [math]x_{0}[/math], es decir que [math]f(x)[/math] tiene un máximo local en [math]x_{0}[/math].[br][br][3] si al menos un autovalor de la Hessiana es positivo y al menos otro es negativo entonces el punto crítico no es ni un máximo ni un mínimo local de la función.[br][br][4] si no se cumple alguna de las posibilidades anteriores, entonces no se puede extraer ninguna conclusión sobre la naturaleza del punto crítico solamente del desarrollo de Taylor a orden dos.[/i][br][br][br]La matriz Hessiana en este caso es,[br][br][math][br]H(x_{1},\ldots,x_{n})=[br]\left([br]\begin{matrix}[br]\partial^{2}_{x_{1}x_{1}}f & \partial^{2}_{x_{1}x_{2}}f & \ldots & \partial^{2}_{x_{1}x_{n}}f\\[br]\partial^{2}_{x_{1}x_{2}}f & \partial^{2}_{x_{2}x_{2}}f & \ldots & \partial^{2}_{x_{2}x_{n}}f\\[br]\vdots & & \vdots\\[br]\partial^{2}_{x_{n}x_{1}}f & \partial^{2}_{x_{n}x_{2}}f & \ldots & \partial^{2}_{x_{n}x_{n}}f[br]\end{matrix}[br]\right)[br][/math][br][br]Por supuesto que el desarrollo de Taylor a orden dos es cualquier punto [math]a=(a_{1},\ldots,a_{n})[/math], no necesariamente un punto crítico es,[br][br][math][br]f(x_{1},\ldots,x_{n})=f(a)+\langle \nabla f(a),(\Delta x_{1},\ldots,\Delta x_{n})\rangle +\frac{1}{2}(\Delta x_{1},\ldots,\Delta x_{n}) H(a) [br]\left(\begin{matrix}[br]\Delta x_{1} \\[br]\ldots\\[br]\Delta x_{n}[br]\end{matrix}[br]\right)[br]+R_{2}(x_{1},\ldots,x_{n})[br][/math][br][br]La diferencia entre aplicar el Teorema sobre la clasificación de puntos críticos para funciones de dos variables y para más de dos variables, radica en que cuánto más variables hay, más difícil es analizar los valores propios de la matriz Hessiana. Esa es la única diferencia, pero, por lo demás, a veces una diferencia importante.[br][br]