Trace a bissetriz de duas retas concorrentes no plano, com vértice desconhecido.

1. Sejam as retas concorrentes [math]r[/math] e [math]s[/math].[br][br]2. Seja [math]t[/math] uma reta transversal à [math]r[/math] e [math]s[/math] e os pontos [math]A[/math] e [math]B[/math] interseções de [math]t[/math] com [math]r[/math] e [math]s[/math], respectivamente.[br][br]3. Traçamos dois círculos de raio [math]1[/math] e centros [math]A[/math] e [math]B[/math], marcando suas interseções com as retas.[br][br]4. A partir dos pontos marcados, encontramos as bissetrizes de todos os ângulos formados pelo encontro da reta [math]t[/math] com [math]r[/math] e [math]s[/math] usando também círculos de raio [math]1[/math] (passos explicados na atividade anterior).[br][br]5. Marcamos os pontos [math]O[/math] e [math]P[/math], as interseções dessas bissetrizes localizadas na parte interna das retas [math]r[/math] e [math]s[/math].[br][br]6. Ao ligar [math]O[/math] e [math]P[/math], encontramos a reta [math]u[/math], bissetriz do ângulo formado por [math]r[/math] e [math]s[/math].

Considerando [math]R[/math] o ponto desconhecido de interseção das retas [math]r[/math] e [math]s[/math], vamos analisar o triângulo [math]\Delta ABR[/math].[br][br]Sendo [math]O[/math] o ponto de encontro de duas das três bissetrizes de [math]\Delta ABR[/math], temos que [math]O[/math] é o incentro de [math]\Delta ABR[/math], sendo assim [math]\overline{RO}[/math] é bissetriz de [math]\Delta ABR[/math] também.[br][br]Se [math]R[/math], [math]O[/math] e [math]P[/math] forem colineares, a reta [math]u[/math] encontrada será a bissetriz do ângulo formado pelo encontro das retas [math]r[/math] e [math]s[/math], logo, basta provarmos que [math]R\widehat{O}P=180º[/math] para concluir a justificativa.[br][br]Seja [math]S[/math] o ponto de interseção da bissetriz do ângulo [math]\widehat{B}[/math] com a reta [math]r[/math].[br][br]Seja [math]T[/math] o ponto de interseção da bissetriz do ângulo [math]\widehat{A}[/math] com a reta [math]s[/math].[br][br]Como [math]A[/math], [math]O[/math] e [math]T[/math] são colineares, temos que [math]A\widehat{O}T=180º[/math].[br][br]Por serem opostos pelo vértice temos que [math]T\widehat{O}R[/math][math]=[/math][math]A\widehat{O}P[/math].[br][br]Calculando o ângulo [math]R\widehat{O}P[/math], obtemos:[br][center][br][math]R\widehat{O}P[/math][math]=[/math][math]R\widehat{O}S[/math][math]+[/math][math]S\widehat{O}A[/math][math]+[/math][math]A\widehat{O}P[/math][br][br][math]R\widehat{O}P[/math][math]=[/math][math]R\widehat{O}S[/math][math]+[/math][math]S\widehat{O}A[/math][math]+[/math][math]T\widehat{O}R[/math][br][br][math]R\widehat{O}P[/math][math]=[/math][math]T\widehat{O}R[/math][math]+[/math][math]R\widehat{O}S[/math][math]+[/math][math]S\widehat{O}A[/math][br][br][math]R\widehat{O}P[/math][math]=[/math][math]T\widehat{O}A[/math][br][br][math]R\widehat{O}P[/math][math]=[/math][math]A\widehat{O}T[/math][br][br][math]R\widehat{O}P[/math][math]=[/math][math]180º[/math][br][br][/center]Concluímos que como [math]R\widehat{O}P=180º[/math], os pontos [math]R[/math], [math]O[/math] e [math]P[/math] são colineares, fazendo com que a reta [math]u[/math] seja bissetriz do ângulo formado por [math]r[/math] e [math]s[/math].