Este material foi produzido pelo aluno de pós-graduação Leonardo Antonio Borgo para fins didáticos.

Produzido pelo aluno Leonardo Antonio Borgo, sob orientação da professora Dr. Nara Bobko.

Queridos alunos, este material é um livro dinâmico que você pode usar como material complementar, tanto para consolidar o que seu professor está ensinando, ou para aprender sobre cônicas de modo autônomo. Este livro no GeoGebra diferencia os tradicionais livros didáticos que são estáticos, ou seja, não permite que o estudante interaja com o material. [br][br]Vamos utilizar bastante recursos que esta plataforma nos disponibiliza, espero que você goste e participe, este livro é seu! Portanto aproveite a cada quadro de interação, isto é, cada aluno pode manipular do modo que entendeu para que consiga chegar até o final da atividade.[br][br]A seguir existe uma janela de interação, nela é permitido realizar vários trabalhos. Ao longo do livro existirá janelas onde as atividades já estão prontas, para que o aluno apenas verifique a veracidade do fato, outras, vocês mesmo construirá. Vamos aproveitar para explorar um pouco nesta janela, para que nas próximas já estejamos adaptado ao novo material.[br][br]

Caso tenha dúvidas de como utilizar o GeoGebra, o link a seguir é um manual produzido pela professora Dr. Nara Bobko.[br][br]Link: https://www.geogebra.org/m/AhGjmmpu

Queridos professores, este material sobre o conteúdo de cônicas (parábola, elipse e hipérbole) está alinhado com a Base Nacional Comum Curricular (BNCC). Esta atividade foi produzida para auxiliar os professores do ensino médio, sobre este conteúdo e o embasamento teórico pode ser encontrado na dissertação disponibilizado no link no final da sessão.[br][br]O livro dinâmico é um material interativo com vídeos e janelas que possibilitam o aluno manipular as expressões, fórmulas, variáveis, pontos, retas, etc. Desta forma o professor deverá conduzir o estudante em qual o momento ele deve realizar estes processos, pois o aluno pode desviar a atenção "brincando" com as interações.[br][br]Este livro não precisa ser utilizado de modo linear, isto é, ser utilizado na mesma ordem que o livro foi estruturado. O professor tem a autonomia de utilizar apenas as atividades que mais se adequem em seu planejamento. Como o material foi produzido para atender os alunos de Ensino Médio, algumas demonstrações foram ocultadas no meio do texto e deixadas em link para que o professor possa consultar caso queira saber a demonstração, estes links guiaram a uma página secundária que após o professor realizar a sua consulta, poderá ser fechada e continuar com o conteúdo.[br][br]Nos links a seguir, estão disponíveis duas possíveis soluções do projeto final proposto aos estudantes.[br]Primeira solução: https://www.geogebra.org/m/bfg9njdq[br]Segunda solução: https://www.geogebra.org/m/wcvb6qbu[br][br]Desejo uma boa aventura.

Quando falamos do nosso Sistema Solar, surgem muitos questionamentos sobre seu surgimento e vida fora do planeta Terra. O foco deste livro não é sobre criação do universo nem mesmo sobre vida em outros planetas, mas sim conhecermos mais um pouco deste lugar tão grande para nós, entretanto tão pequeno comparado com a imensidão do universo.[br][br]Para que possamos adentrar neste vasto espaço de conhecimento e curiosidades começaremos com um vídeo produzido pela TV Unesp, que se caracteriza como uma emissora universitária com finalidade educativa e cultural. O Astrolab é um programa da TV Unesp em parceria com o Observatório Astronômico 'Lionel José Andriatto' da Unesp de Bauru, que divulga fatos curiosos, dados e teorias em uma linguagem mais simples. Assista a seguir.

fonte: https://www.youtube.com/watch?v=prDb3LrWxAY&t=5s[br][br]Se gostou do vídeo acesse a playlist completa com vídeos sobre o Sistema Solar, nebulosas e constelações. Disponível em:[br][url=https://www.youtube.com/playlist?list=PLTKZh-tngi2VcRTo4LmyXkmuV_qP3DWjc]Playlist Astrolab[/url].[br][br]Após assistir o vídeo surge algumas indagações. Já se perguntou como conhecemos a existência de outros planetas, meteoros e outros corpos celestes? Desde quando começamos a explorar o nosso Sistema Solar? Como isso foi possível?[br][br]Vamos investigar, explorar e calcular alguns fatos, entretanto é preciso que anote em seu caderno informações importantes para que possamos concluir o objetivo da atividade.

Iniciou-se na Grécia o estudo envolvendo as seções cônicas, datada do quarto século antes de Cristo. Muitos geômetras e pensadores contribuíram para o desenvolvimento da teoria, entre eles Euclides (323 a.C. - 283 a.C.), Eratóstenes (276 a.C. - 194 a.C.), Pappus (290 d.C. - 350 d.C.), Arquimedes (287 a.C. - 212 a.C.) e Apolônio (15 d.C. - 97 d.C.). Este último publicou a obra Secção Cônicas, composta por oito livros. Não se pode afirmar quem iniciou os estudos nem mesmo dar os devidos créditos pela descoberta, pois alguns livros e manuscritos foram perdidos ao longo dos anos.[br][br]Apolônio era astrônomo e embora ele tenha escrito sobre vários assuntos matemáticos, sua obra mais conhecida foi uma coleção de oito livros, intitulada de Secção Cônica. Esta obra contém mais de 400 proposições, sendo assim muito mais esmiuçada e detalhada do que as obras de Euclides sobre o assunto.[br][br]Antes da teoria desenvolvida por Apolônio, os gregos construíam as cônicas seccionando um cone de três modos diferentes. Como eles utilizavam apenas um cone, a hipérbole apresentava apenas um ramo.[br][br]Apolônio desenvolveu a teoria utilizando um cone circular duplo e foi o próprio que nomeou as construções como elipse, hipérbole e parábola, originadas de estudos pitagóricos referente a áreas. A teoria que Apolônio deduziu assemelha-se a equações cartesianas, por mais que o plano cartesiano surgisse apenas com René Descartes (1596 - 1650) no século XVII.[br][br]Verifique estas seções cônicas na janela de interação a seguir. Com o mouse você poderá girar e aproximar a construção.

As cônicas são utilizadas no cotidiano, entretanto não costumamos observar as suas aplicações. Por exemplo: ao assistir um canal que seja transmitido via satélite, o equipamento possui a propriedade de reflexão da parábola; na arquitetura; em lentes de telescópio e farol de veículo. A cadeira do dentista utiliza uma luminária para iluminar a sua boca, esta utiliza a propriedade de reflexão da elipse. Ao visitar Brasília nos deparamos com várias construções de Oscar Niemeyer (1907-2012), uma delas é a catedral de Brasília, que possui ramos de hipérbole. Pois bem, o que são parábola, hipérboles e elipses que usamos ou vemos, mas não os conhecemos?[br][br]Na próxima seção iniciaremos estudando a elipse.

Neste tópico vamos estudar a propriedade reflexão da elipse, isto é, esta cônica possui uma propriedade que utilizaremos para a construção do telescópio.

A propriedade de reflexão da elipse afirma que, se um raio de luz emitido de um dos focos da elipse atinge a parte interna da elipse, ele é refletido em direção ao outro foco. Essa propriedade é uma consequência da geometria da elipse.[br][br]Em termos matemáticos isto significa que: [br][br]Seja [math]T[/math] uma reta tangente no ponto [math]P\left(x,y\right)[/math] de uma elipse de focos [math]F_1[/math] e [math]F_2[/math]. Então os ângulos [math]\alpha[/math] e [math]\beta[/math] formados pela reta [math]T[/math] e os raios focais são iguais.[br][br]Ou seja, o ângulo formado pelas retas [math]f[/math] e [math]T[/math] é igual ao ângulo formado pelas retas [math]g[/math] e [math]T[/math]. Esta proposição é válida somente para o segmentos que passam pelo foco, e as demais retas aleatórias nada pode-se concluir.[br][br]Na construção a seguir, mova [math]P\left(x,y\right)[/math] e verifique a medida do ângulo, depois mude os focos de posição e verifique a medida angular.

Conclui-se que todo feixe luminoso que passa por um foco da elipse é refletido ao outro foco.[br]

Na atividade a seguir, você será o dentista e terá que acertar a iluminação para que consiga extrair o dente. Sabendo que o espelho refletor possui formato que corresponde a parte de uma elipse, e que a fonte de iluminação encontra-se em um dos focos desta elipse, mova os controles deslizantes para posicionar a luminária. [br][br]Lembre da propriedade de reflexão que vimos.

A saúde humana é um dos principais cuidados, dentre eles a saúde bucal, cardíaca e entre outras. Quando vamos ao dentista não percebemos a matemática que está por traz de alguns objetos, como por exemplo, a luminária que o dentista utiliza é um elipsóide. Em outras palavras uma elipse rotacionada, onde em um dos focos está a lâmpada e no outro a sua boca. O formato deste objeto se justifica pelo fato de todos os raios luminosos que partem da lâmpada chegarem exatamente na boca do paciente, sendo assim não atrapalha a visão do dentista.[br][br]Outros objetos são alguns aparelhos de radioterapia, onde num dos focos é emitido uma alta quantidade de energia e no outro foco está a célula cancerígena, tratando apenas as células doentes e preservando os órgãos saudáveis.[br](OLIVEIRA, J. A. S. Sobre sessões cônicas. Monografia (Mestrado) — Universidade Federal do Ceará, Ceará, 2015.)

Para projetar um telescópio, é necessário definir qual modelo será utilizado, considerando que existem vários tipos disponíveis, desde os mais simples até os mais modernos, com alcance e qualidade superiores. Neste caso, optou-se pelo modelo refletor, sendo o mais conhecido o telescópio newtoniano, embora existam outros, como o Telescópio Cassegrain, Telescópio Gregory, entre outros. Todos esses modelos utilizam, em um tubo, dois espelhos cônicos, cuja função é concentrar os feixes luminosos em um único ponto.[br][br]Na figura abaixo, podemos ver raios de luz solares em amarelo que incidem em um espelho cônico representado em preto. Esse espelho reflete os raios em direção a um ponto focal, indicado em vermelho. Em seguida, os raios refletidos atingem um segundo espelho cônico representado em preto, refletindo-os novamente em direção ao olho do observador. Esses raios refletidos são representados em verde na imagem. Esse processo de reflexão pelos espelhos cônicos permite que o telescópio capture e concentre a luz dos objetos celestes em um único ponto, tornando sua observação mais clara e detalhada.[br][br]Verifique na figura a seguir como é um telescópio, e a posição dos espelhos. [br]

A figura acima é um esboço do que faremos na janela do Geogebra. Para que possamos conseguir concluir o projeto, precisaremos dos conteúdos vistos anteriormente, principalmente sobre as propriedades de reflexão das cônicas. Algumas perguntas e observações a seguir orientarão o trabalho.[br][br]1) Note que os raios luminosos são paralelos e devem convergir para o olho do observador. Quais tipos de lentes devem ser colocadas dentro do telescópio e qual o lugar correto?[br][br]2) Lembre-se das construções que foram feitas anteriormente, elas podem ajudar![br][br]3) Suponha que os espelhos tenham formatos das cônicas estudadas.[br][br]

Caro estudante, fazer um trabalho ou uma pesquisa científica requer estudo e dedicação. Em alguns casos o resultado esperado não seja imediato e necessita de várias tentativas, não abandone o projeto, retome algumas anotações feitas e debata com colegas.

Nos links a seguir, estão disponíveis duas possíveis soluções do projeto final proposto aos estudantes.[br][br]Primeira solução: [url=https://www.geogebra.org/m/bfg9njdq]https://www.geogebra.org/m/bfg9njdq[/url][br]Segunda solução: [url=https://www.geogebra.org/m/wcvb6qbu]https://www.geogebra.org/m/wcvb6qbu[/url]

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