Gegeben sind zwei Funktionen [math]F(x)[/math] und [math]f(x)[/math] für die gilt: [math]F'(x)=f(x)[/math]. Außerdem sind zwei Zahlen [math]a[/math] und [math]b[/math] gegeben, mit [math]a < b [/math] .[br]Dann gilt:[br][math] \int\limits_a^b f(x) dx\quad =\quad [F(x)]_a^b \quad=\quad F(b)-F(a) [/math] [br][br][math]a[/math] und [math]b[/math] nennt man [color=#980000][b][i]Integrationsgrenzen[/i][/b][/color]. Ein Integral mit Integrationsgrenzen ist ein [color=#980000][i][b]bestimmtes Integral[/b][/i][/color]. Entsprechend nennt man ein Integral ohne Grenzen auch [i][b]unbestimmtes Integral[/b][/i].

Während das Ergebnis eines unbestimmten Integrals eine Stammfunktion ist, ist das Ergebnis eines bestimmten Integrals eine Zahl. Diese Zahl beschreibt [b]die [color=#980000]Flächenbilanz[/color] zwischen dem Funktionsgraphen von[/b] [math]f(x) [/math] [b]und der Abszisse im Intervall[/b] [math]a\le x\le b [/math]. [br]Dabei werden die Flächen, die unterhalb der Abszisse sind, negativ und die Flächen oberhalb der Abszisse positiv bewertet. Man nennt eine Fläche, die positive und negative Anteile haben kann, auch eine [color=#980000][i][b]gerichtete Fläche[/b][/i][/color].

Gesucht ist die Fläche zwischen einer Parabel [math]f(x)=x^2[/math] und der Abszisse im Intervall [math][1,2][/math] ([url=https://www.geogebra.org/m/gcc9hzt6#material/pm2pyaed]siehe Geogebra-Arbeitsblatt im vorhergehenden Kapitel[/url]).[br]Also ist die Stammfunktion [math]F(x)=\int f(x)dx=\frac{x^3}{3}+c[/math]. Außerdem ist [math]a=1[/math] und [math]b=2[/math].[br]Da die Parabel keine negativen Funktionswerte hat, gibt es keine negativen Flächenanteile und so ist die Flächenbilanz auch gleich der Fläche:[br][br][math] \int\limits_1^2 x^2 dx \quad=\quad \left[\frac{x^3}{3}\right]_1^2 \quad=\quad \frac{2^3}{3}-\frac{1^3}{3}\quad=\quad\frac 7 3 [/math][br][br][color=#980000]Die Integrationskonstante[/color] [math]c[/math] [color=#980000]darf bei [i]bestimmten Integralen[/i] grundsätzlich weggelassen werden[/color], weil Sie wegen [math]F(b)-F(a)[/math] wegfällt. Im Folgenden ist die oben stehende Rechnung einmal mit Integrationskonstante durchgeführt:[br][math] \begin{array}{lll} \int\limits_1^2 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_1^2 &= \frac{2^3}{3}+c&-(\frac{1^3}{3}+c) \\&[br] = \frac{2^3}{3}\mathbf\fgcolor{#AA0000}{+c}&-\frac{1^3}{3}\mathbf\fgcolor{#AA0000}{-c}\\[br]&=\frac 83 &- \frac 13\\&=\frac 7 3& \end{array}[/math][br]In der oben stehenden Rechnung ist zu sehen, dass die Integrationskonstante [math]c[/math] bei [math]F(b)[/math] addiert und mit [math]F(a)[/math] wieder subtrahiert wird.