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Sie haben in [url=https://www.geogebra.org/m/ysyzkgyn#material/jvqzbfgs][color=#095EBC]M3.I.2a AB Plätzcheneinkauf, Mobilitätsemission, Instagram[/color][/url] mithilfe von Mobilitätsvektor und CO[sub]2[/sub]-Vektor bereits rechnerisch mit dem Skalarprodukt den CO[sub]2[/sub]-Ausstoß Ihrer Stadt pro Tag und Einwohner berechnet.[br][br]Geometrisch lässt sich auch mithilfe des Skalarprodukts die Frage der Verteilung der zurückgelegten Strecke auf einzelne Verkehrsmittel bei einem festen CO[sub]2[/sub]-Emissionsziel beantworten.
Die Stadt ihrer Schule hat ein festes CO[sub]2[/sub]-Emissionsziel von 2 kg pro Person und Tag formuliert. Nehmen Sie vereinfachend an, dass Fußgänger und Radfahrer kein CO[sub]2[/sub] ausstoßen und lassen Sie PKW-Mitfahrer unberücksichtigt. Der Ausstoß wird also lediglich von PKW und öffentlichem Nahverkehr (ÖV) verursacht. (CO[sub]2[/sub]-Ausstoß: PKW 0,2 kg/km ÖV 0,06kg/km).[br][br]Geben Sie drei mögliche Mobilitätsvektoren mit den zurückgelegten Kilometern (in ÖV, in PKW) an, die das Emissionsziel genau erfüllen.
[math] \overrightarrow{m_1}=\begin{pmatrix} 0 \ km \\ 10 \ km \end{pmatrix} [/math][br][math] \overrightarrow{m_2}=\begin{pmatrix} 10 \ km \\ 7 \ km \end{pmatrix} [/math][br][math] \overrightarrow{m_3}=\begin{pmatrix} 20 \ km \\ 4 \ km \end{pmatrix} [/math][br]allgemein: [math] \overrightarrow{m_ö}=\begin{pmatrix} ö \ km \\ 10-\frac{3}{10} \cdot ö \ km \end{pmatrix} [/math]
Im nachfolgenden Applet sind zu einem Emissionsziel mögliche Mobilitätsvektoren dargestellt. [br]a) Interpretieren Sie die Pfeildarstellungen rechnerisch mithilfe des Skalarprodukts.[br]b) Die Lage der Pfeilspitzen der Mobilitätsvektoren folgt einer Regelmäßigkeit, beschreiben Sie diese.
a) [math] \begin{pmatrix} 60 \frac{g}{km} \\ 200 \frac{g}{km} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \ km \\ 10 \ km \end{pmatrix} = 2000 \ g [/math][br][math] \begin{pmatrix} 60 \frac{g}{km} \\ 200 \frac{g}{km} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \ km \\ 7 \ km \end{pmatrix} = 2000 \ g [/math][br][math] \begin{pmatrix} 60 \frac{g}{km} \\ 200 \frac{g}{km} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 20 \ km \\ 4 \ km \end{pmatrix} = 2000 \ g [/math][br]Die dargestellten roten Pfeile haben denselben CO2 Ausstoß.[br][br]b) Wenn die Pfeile der Mobilitätsvektoren [math]m_ö[/math] im Ursprung beginnen, liegen ihre Spitzen auf einer Geraden mit der Steigung [math]-\frac{3}{10}[/math]. Diese Gerade ist senkrecht zum Emissionsvektor, der auf einer Geraden mit der Steigung [math]\frac{10}{3}[/math] liegt.
[b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][color=#095EBC] Benutzerhinweise zum obigen Applet[/color][/size][/b][br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Mit dem Schieberegler wird das Emissionsziel (pro Tag und Einwohner) festgelegt. [br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Der schwarze Pfeil ist eine Darstellung des CO2-Vektors.[br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Die roten Pfeile sind Darstellungen für mögliche Mobilitätsvektoren.[br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Rechts in der Tabelle sind die Mobilitätsvektoren und deren Komponenten angegeben. [br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Der Befehl Gerade(…) zeichnet eine solche durch die zwei in den Klammern angegebenen Punkte.[br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Wenn man oben rechts im Applet auf [img]https://juergen-roth.de/images/icons/jr/Schaltflaeche_neu_laden.png[/img] klickt, wird das Applet auf seinen Ausgangszustand zurückgesetzt. [br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Wenn man unten rechts im Applet auf [img]https://juergen-roth.de/images/icons/jr/ggb_vollbild_icon.png[/img] klickt, wird das Applet im Vollbild dargestellt.
Legen Sie verschiedene Emissionsziele fest. Überprüfen Sie nun, ob die Regelmäßigkeit aus Aufgabe 2 auch für andere Emissionsziele gilt. Das Applet stellt lediglich einige Mobilitätsvektoren dar. Ergänzen Sie im Applet eine Konstruktion, mit der alle möglichen Mobilitätsvektoren für ein Emissionsziel dargestellt werden können.
Emissionsziel: [math]z \ g [/math] pro Tag und Person[br][math] \overrightarrow e \cdot \overrightarrow m = \begin{pmatrix} 60 \frac{g}{km} \\ 200 \frac{g}{km} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} ö \ km \\ p \ km \end{pmatrix} = 60 \cdot ö \ g + 100 \cdot p \ g = z \ g \Rightarrow p=\frac{z}{200} - \frac{3}{10} \cdot ö[/math][br]Also: [math]\overrightarrow{m_ö} = \begin{pmatrix} ö \ km \\ \frac{z}{200} - \frac{3}{10} \cdot ö \ km \end{pmatrix} [/math][br]Somit liegen die Pfeilspitzen von [math]\overrightarrow{m_ö}[/math] wieder auf einer Geraden mit der Steigung [math]-\frac{3}{10}[/math].[br]Applet mit einer Konstruktion, mit der alle[br]möglichen Mobilitätsvektoren für ein Emissionsziel dargestellt werden können: [url=https://www.geogebra.org/m/amsmrc7w]https://www.geogebra.org/m/amsmrc7w[/url]
[i][u]Quellen: [/u][br]Susanne Digel adaptiert von Jürgen Roth.[/i]