[justify]In dem folgenden Graphen kannst du drei verschiedene Wachstumsmodelle visuell untersuchen: das exponentielle Wachstum (schwarz), das beschränkte Wachstum (grün) und das logistische Wachstum (blau). Das exponentielle und das beschränkte Wachstum sind dir bereits bekannt – das logistische Wachstum lernen wir heute und in den kommenden Stunden neu kennen.[br]Aktiviere die Häkchen, um die jeweiligen Wachstumsfunktionen im Graphen sichtbar zu machen. So kannst du die Verläufe direkt miteinander vergleichen.[br]Mithilfe der drei Schieberegler kannst du die Anfangsgröße N0, den Änderungsfaktor a und die Sättigungsgrenze G verändern. Die rote gestrichelte Linie zeigt dir dabei die eingestellte Sättigungsgrenze im Graphen an. [br][br][b]Aufgabe: [/b]Mach dich zunächst [u]kurz[/u] mit der Bedienung des Applets vertraut und bearbeite anschließend die Aufgaben, die sich unter dem Graphen befinden.[br][br]Ziel dieser Erkundung ist es, die Form und das Verhalten der verschiedenen Wachstumsmodelle zu beschreiben und Unterschiede sowie Gemeinsamkeiten zu erkennen – insbesondere im Hinblick auf das neu eingeführte logistische Wachstum.[/justify]
[u]Hinweis[/u]: Bei den Aufgaben A1 und A2 handelt es sich um wiederholende[br]Aufgaben, die stichpunktartig beantwortet werden können.[br][br][br][br][b]A1: Aktiviere zunächst nur das exponentielle Wachstum.[/b]
a) Verändere den Parameter a. Beschreibe, wie sich der Graph verändert.
b) Was passiert, wenn du a=1 einstellst? Was bedeutet das inhaltlich?[br][br]
c) Was fällt dir auf, wenn du N0=0 wählst?
[b]A2: Füge nun das beschränkte Wachstum hinzu.[/b]
a) Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede erkennst du im Vergleich zum exponentiellen Wachstum?[br][br]
b) Wie wirkt sich die Sättigungsgrenze G auf den Graphen aus?
[b]A3: Aktiviere jetzt auch das logistische Wachstum.[/b][br]
a) Beschreibe, wie sich der Verlauf der Funktion von den beiden anderen unterscheidet.
b) Was fällt dir im Bereich zu Beginn, in der Mitte und gegen Ende der Entwicklung auf?
[b][br][br]B1: Nutze die Graphen und Schiebregler, um gezielt zu vergleichen. Stelle alle drei Graphen gleichzeitig dar.[/b][br]
a) Finde eine Parametereinstellung, bei der sich alle drei Modelle zunächst (im Bereich zu Beginn) sehr ähnlich verhalten und notiere deine Parameter.[br][br]
b) Was unterscheidet das logistische Wachstum dann im weiteren Verlauf?
c) Beschreibe für alle drei Modelle, wie schnell die Werte zu Beginn, in der Mitte und am Ende des Zeitraums wachsen.[br]
[b]B2: Kreuze dir richtige Antwort an.[/b]
a) In welchem Modell nimmt das Wachstum dauerhaft zu?
b) In welchem Modell verlangsamt sich das Wachstum deutlich, bevor es (nahezu) endet?[br][br]
c) In welchem Modell gibt es einen „Wendepunkt“?[br][br]
Formuliere mit [u]eigenen Worten[/u] eine „Definition“ für das logistische Wachstum. Was unterscheidet es funktional vom exponentiellen und beschränkten Wachstum?[br]
Erkläre die Rolle der Sättigungsgrenze beim logistischen und beim beschränkten Wachstum.[br][br]
[justify]In welchen realen Situationen könnte das logistische Wachstum eine passende Beschreibung sein? Überlege, in welchen Kontexten ein Wachstum zunächst stark beginnt, dann aber langsamer wird und sich schließlich einer Grenze annähert.[br]Notiere mindestens zwei Beispiele aus Alltag, Natur, Technik oder Gesellschaft, in denen du dir vorstellen kannst, dass ein logistisches Modell sinnvoll ist.[br]Begründe jeweils kurz, warum du das so einschätzt.[/justify]