Javier vive enfrente de una escuela y la calle es angosta, por lo que es habitual que al querer salir o entrar a su casa durante el día se encuentre con que hay autos estorbando parte de la entrada o dejando poco espacio para sacar el auto.[br] Ahora tiene la oportunidad de arreglar la entrada que se encuentra algo gastada y desprolija, y quiere aprovechar y ampliar el acceso desde la calle para que los autos dejen más espacio. Su idea es ampliarlo hasta el árbol de su vereda.[br] Con respecto a la mezcla para poner en el piso de la entrada, Javier averiguó que para cubrir un espacio de 1m x 1m x 10cm gastaría unos $6.000.[br] ¿Cuánto espacio tendría que cubrir con mezcla y cuánto tendría que gastar en ello?

1) La fotografía no se tomó de frente, sino ligeramente de lado, formando un ángulo de 20° entre la cámara, el punto al que apunta con la cámara y la pared que divide las casas (se puede tomar como referencia que la pared del borde está alineada con el postes de luz), y a 15 metros del lugar.[br]2) Existe una diferencia de unos 25cm entre el nivel de la calle y el del suelo de la entrada, de modo que la entrada que se hará tendrá una pendiente.[br]3) La altura de la reja es de unos 2.40m.[br]4) Actualmente el ancho de la vereda le permite al dueño dejar sobre la rampa su Ford Focus y que sobren 60cm entre el auto y la reja.

El primer paso, y previo a hacer cálculos, es ubicar la figura (o en este caso cuerpo) sobre la que se va a trabajar. Por motivos de perspectiva va a parecer que todas las medidas son diferentes, pero en realidad se trata de un cuerpo cuyas caras son rectángulos y triángulos.[br] A partir de ello, y con ayuda del Geogebra y algunas herramientas de la geometría, comenzaremos a descubrir las medidas que se necesitan para hacer el presupuesto.[br] (Se va a representar lo que se ve en la foto, luego para llegar a la medida que de lo que se quiere construir solo hay que ampliar el ancho de la entrada)

El siguiente paso está sujeto a un concepto relacionado con la perspectiva.[br] A partir de las continuaciones de los segmentos de la base del cuerpo se llega al punto de origen (punto de fuga). En la imagen es el Punto N (asumiendo que estén bien ubicados los puntos).[br] La utilidad de éste paso radica en que de ésto se pueden crear figuras con relaciones semejanza o congruencia que, a simple vista, no aparecen. Y de ésto último se pueden utilizar las relaciones métricas entre figuras para calcular con precisión las medidas que se tratan de tomar para el trabajo.

Observación: el punto M representa la mitad de la reja, altura desde la cual se supone que se tomó la foto. Por lo tanto, debería estar situado sobre la recta en rojo que representa la altura a la que se tomó la foto. Esto se debe a detalles en la construcción, pero se puede obviar.

Con las construcciones hechas hasta el momento se pueden hacer algunos cálculos[br] Para obtener las dimensiones de la figura, lo primero es el ancho de la vereda. Para eso, en lugar de las herramientas de Geogebra, se usará la información que se tiene. Según fuentes oficiales (página web de Ford), el largo del vehículo es de 4.36 m. Designaremos L al ancho de la vereda, E al espacio que resta, y V al largo del auto, de modo que queda:[br] [math]V+E=L[/math][math]\longrightarrow[/math] [math]L=4.96\left(m\right)[/math]

Para obtener el ancho de la reja se recurrirá a otras herramientas (y al Geogebra 3D para mejor visualización).[br] La linea roja horizantal representa la linea de visión. Sobre ella, no influirá ningún ángulo de depresión. Por ello, se puede plantear un triángulo rectángulo utilizando los puntos N, O y utilizando la cámara como punto. De modo que resulta rectángulo en N.

Como se ve en el modelo, se tiene un triángulo rectángulo donde el punto P representa a la cámara, N es el punto N de la foto, y se tienen dos puntos, B y O. Como la fotografía elimina la dimensión de profundidad, lo que en la foto se representa por el punto O, en el modelo se representa con el punto B. Entonces, el punto O es la proyección de B sobre el plano (que representa la reja), y para calcular su distancia una opción directa es usar razones trigonométricas. Entonces, con un cateto del triángulo, sabiendo que el triángulo es rectángulo en N y teniendo el ángulo de P, se tiene lo siguiente:[br] [math]Tan\left(20°\right)=\frac{ON}{PN}[/math] [math]\longrightarrow[/math] [math]ON=Tan\left(20°\right)\times PN[/math], y con PN=15, [math]ON=5,46\left(m\right)[/math]

Ahora se quiere el ancho de la reja, y con lo que se tiene recurrimos a la proporcionalidad. Usaremos a los segmentos ON y OM como distancias ficticias, y las longitudes reales se designarán ON´ y OM´. Entonces:[br] [math]\frac{OM}{ON}=\frac{OM´}{ON´}[/math] [math]\longrightarrow[/math] [math]\frac{1.58}{2.16}=\frac{OM´}{5.46}[/math], y despejando queda [math]OM´=3.99\left(m\right)[/math]

Ya teniendo las dimensiones de la rampa, se puede calcular su volumen actual, y con ello su precio actual, para luego ajustar su precio al ensanchamiento.[br] [math]1m\times1m\times0.1m=0.1m^3[/math] [math]\longrightarrow[/math] [math]0.1m^3\longrightarrow6.000[/math]$[br] Con las medidas reales, una rampa con pendiente se calcula por medio de:[br] [math]Ancho\times Largo\times\frac{Alto}{2}[/math] (el /2 sale de que la rampa tendría forma triangular vista de lado, entonces sería equivalente a calcular el área de un triángulo y luego multiplicarla por el ancho de la rampa. Entonces:[br] [br] [math]V=4.96\times3.99\times\frac{0.25}{2}[/math] [math]\longrightarrow[/math] [math]V=2.4738\left(m^3\right)[/math][br] Y por regla de tres:[br][math]\frac{6.000}{0.1}=\frac{x}{2.4738}[/math] [math]\longrightarrow[/math] [math]x=\frac{6.000\times2.4738}{0.1}=148.428[/math]($)[br]

Y para calcular lo que saldría extender la rampa hasta el árbol, vamos a recurrir una vez más al soporte gráfico de la imagen.

Se hicieron algunas construcciones auxiliares para averiguar la distancia que hay entre el centro de la imagen (marcado por la recta punteada en rojo) y el punto. Y una vez más aplicamos idea de proporción: [br] [math]\frac{0.28}{2.16}=\frac{y}{5.46}[/math] [math]\longrightarrow[/math] [math]y=\frac{0.28\times5.46}{2.16}=0.707\cong0.71[/math]

Mirando la imagen, el ancho de la rampa nueva sería equivalente a la escala real del segmento [math]OW_1[/math], el cual es la adición de los segmentos ON y [math]NW_1[/math].[br] Ancho de la rampa= 5.46m + 0.71m = 6.17m

Finalmente, para calcular el costo con el nuevo ancho de la entrada, se haría:[br] [math]\frac{148.428}{3.99}=\frac{z}{6.17}[/math] [math]\longrightarrow[/math] [math]z=\frac{148.428\times6.17}{3.99}=299.524[/math]($)

Se quiere realizar una maqueta del Puente de la Mujer. Usando una escala de 5:1 (5cm son 1u geogebra), determinar cuantos centímetros debe medir el puente para realizar la maqueta.

[math][/math]I)Trazamos la recta, que pasa por los puntos C y D, tomando como referencia los extremos del techó[br]II) La recta perpendicular a la recta que pasa por C y D en el punto mas alto del techo, en cual se marca el punto F[br]III) Se forma el triangulo rectángulo C,D,F con segmentos[br] IV) En herramientas, en el icono Algebra se mostraran las medidas de los segmentos [img]data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAaEAAAAlCAYAAADr/la4AAAAAXNSR0IArs4c6QAAEiZJREFUeF7t3QOUNMERB/BKXmzbtm3btm3btm3bzott27ZtzC/pSjqTmdndu93v9m673rt3dzszPd3/6i53736iUUOgIdAQaAg0BHYIgf3s0HvbaxsCDYGGQEOgIRBNCUXcMyIuHREniIhvRMSXIuKbEXGciLhkxP9gdPXu8+dExN8i4v7l2n4j4kQRcdnevW16zY/AgyLijuX2U3RYfmaOR58REdcu910uIl4+xzPtloZAQ2DNEGhK6N8MeXZE/L0SaheKiDdFxJsj4oI9nr02In5a3XvWiHjfyL1rxu617M6NIuK7EfG6osy/MIcyv0JEnLi7794RcdKIwJPTRMQv13KErVMNgYbAKAJNCf0bmu9FxF0j4lkFqWN2SuZbEfHgykJPEL8SEfcristnx48In307Io7R5trCCFBAR6ue+lBEPDAiXjXR0kuK4nluuedFEfHCiHj1wm9vDzQEGgI7ikBTQhEniYhPlnCcMJyw2lho51glZHfsErI7eRU6On9EvGVHubn7Xn6uiHhDRByk6vq9yt/5e2hU/4iIc0fEO8tFxsIBIuLWuw+C1uOGwGYj0JRQxC2K4uH5HKkTbAQjgTZEl48IVvjDOs/pLyWXJCzUaGsIwPrREXHKBZXQ44ryf3J57gWd13rgwo+t9aQ91RBoCOwIAk0JRbwmIj4XEXcuHHh/RJxlhBuUz6G6HMb1yvV+KGlHmLiLX7pVJSRnd+NSOPKAiDhkMSB4sY0aAg2BXYRAU0IRv4+IK3WJbcoIZVjtAqXYoMbobSVX8dhy7w0i4im7iN/r1tWthuOMIysVvx8R7+iU0o8i4rbrNsDWn4ZAQ2AagU1XQirb3hsRR4iIn/Sgkneo8Tl0RPygKKn3tIm1FASEP2Fa4/zirvLNzysm3nDqzgv6RHX9w13Z/N2L0bCUjrVGGgINgX2DwKYrIcnvi3eVVqftwe1zxQfXrD7n9dwmIk7fWdy/2Tfs2Yi3yLEpTsjKxLosfqxI4fNdWPRRxQu9RMkF5Z6hjQCtDXItELhoJw9evxY92cWdWCcldLWIyJJbkN4tIh7Txfqf1JVAX3UFGCuzVlyAJMZtkjxu+f+lEWEvStK7I+Ko3WeEH4/pAxEhdySXtF06cvEGttvOsp63CfcuVWPn7ErS91fwIfhXQaoKz1cazspD/yp5p1zsB6opQ3F48fiB64v0cTv4wwleSebNHbpqy0sVJblIP/bKvbnxeBHZIhKBD1/utkT8oQfE8Ur15KdHAGLE/KJbQzdcIYAM1YeUfWxeg8/XLwbpW1f0XqHqrP7MVyi+sSXEPkVh6KRrlfnmM3hMVZbW3T1YMcDfNTAGUQoRB3LuVwuOUQEXjIbo/64NTRQLyKTYl7mOR0TEQcs7P1Z6TgnwRORqsgpqQSz27O28MhPOBs9l0eE6oe8UAvjjvTAZMqG972IR8fFlvWyXtzOGlRAu4lnvBqysq9st0bM3fsLHD2E4jyJiRFAiDDpFJjctnjEcTxYRNy/7xh4ZEc+scrcMRzlalZK2WRBu87xv0akn/6tdSsheQJR8JsR/t2iDE/dTPIw+++aMSbqgJnvh5D+d6kLxCEErjhKZOXi58bdd9a5+TZFTYhDjnjLtKyHGvzHDngI6xALY6h/l2TccvW/w2hDTnh8RH4yITL4vEePBpgD78zL5+je8sez9+OKqO7HD7ZsUQ0wb6xZmWrDL2pfEChUSs6Cf3nsp44BicjTRXqVF8J/CKgXUKoThKrDv5z23847nRcRXuwbSCifAnGIxFSY9U7HsMwJCFphvQqwEcs5zG8kpAdcoKeReFa329uHf0auq1e2MI5/FZ5ufKer+mlg1n2F4nog4RzUQY/R5zi150IeX/CklLmeNvl6OHJsHA/hqs1ZC1ylrnUef44TFD+do8CqF55RiX56NXhtaLM5PoyG5YTXZD8MS6Gv+m3Se0xPKjf6mOLTRp8NGxEV6ITcu9H27hPKZu2qnrw08Y1Jzx/c6YbJwoHzIPDQmPCiKP5aFWbdzhg57kxYN8chEJBCUPg/RRzuv63TzdGyX3rMI/rOwWqZgH4LT+/vhljp0Y71YN31iWQsnJ9mGIJ+Rwqu+/7oDgtdGbQI/SR/s8SIAEYFG8GQISZ8ITpuKx0gbPOycW6l4Ui7V49K+eXj7Mk9vVp7NtvOUk6kpaAyqXueJ8uwkn72bR9THrsaDYU4Jv7IMmCHPGxKuq/k0hUdfCR2wyPjLlKPIFl3OTi7RL2ugr4RGr9VKCIOPWPZbOJTzPlVDD42IC3eD/lPnIr+s5ERMtnRLWeRKm30GKEqFN5WUeYZrFKXiOUeziAFbCATjEJmgyww5LQrqvryfW01Q/HripdxvYQcnNQhFsNIy9ipccaqCP0NAaA2vYF3vZ+rzyMTNCe1w1k3lwzz4z4PVeQtvlj13CKS3F75SMg7c5WVYO0JajAy5gjN2UQwGX65ta5qReJgyNygO4Ro5OGEWZyTKj1JQzuH7bLlfu4SUNQubXOs5LkKGksn3OLpKaKdWQk8tQnFeLHhP5jAlWJMDhsmXlBPWgXEZp+0VKlzllG04n6LcbD7LU00+G+OYwuKp4McqaEwJ5busa3yaN/cz1se+EnJoM2cAH/Hur4X/vM5ZRHbgX55aUvdt6tr/xVCvWF6q6iOJxYHZqdlMRtaWzvpbTNkkljRDJrlJS3EhioT1QrMjAxdz/FRpg3KzEBYhFk1duTb27CIhrkXev+i9+mthWfQ2Vvpd/52fwdAiZomkhdl/l4INSr7mkVg5xSMOj9Iahz0hoqScey1kgdyXsXtGAw9MH3hRi1DGsKeeYZU5IHYnaRH8CR1YDSVjdworuQFGIQWHLPDDl9BU8lqRhrVEEckXuMdxSAS0sBiy9igkvP9IJ8ifWJSaa+5lOPLIEYGtHfMs3+F0cwlr767nWf5dH6XU92pm8V+bwl/SAH2hZ35rT/vmk3Hoyz3KobVnL6G4eWTCrH64nn3noWWOep7n8tmUdVPPTMmmKSWUvGCcW9/bob4SynFT6NIy6MfFkJgqThDhctDzLcu8yznq99S1f72gbxGwqEzOLJdlPTlXTZiGpUT4sbDro2pUjhEyGTfl3egMoYgUFlAyGbKzWFjyQkdAGLNKVKoNhei2A3o+S9nmwlxGe9mGSpnt5ml4iHcq1XlDFSYO+CQ8kkfCCzCWzCSA8IhRkAJL3/DI/XiHWM0ELYU3y+pSiVZXLS4TL+EEJ1Asi5z5l2HHrbYp98BoUhjTx38WVr5SgpW6bCKcnS5uXiBGg3mCfyq3XPNeXkRNPBWf8ST6RJgR/OYMMjYhOvMJqXL7WTEmWchyDfICKqYUrfDEJMhz/QrB88y26gmJAChQGrPufdWHkLGxUEoMiwxXqVzlHTKk/rwE8PWB0ZhGW7/JVfE53zNrnrnPyfEU5Ha8oX4INc/GrPdNKhixDqbeQzeI4uQ8qn9PXfvXA30FQOspkc28j9wQQaFKBUmGY3LdoToGbg8NQVCfJs2iN2EpH/FKMUzticOr8DphCcv1GQ1kC2yM0uqfmnN1mXV939jZcEuYv6OLYJ7+sj4tbJ5QHb+v+wXvuiqHC3zl6qghPIJ5eqKerXmkcgsPkkfeSfDi+xBNJe3xlcKbIop5LKSxCj6MCaE+/r4Tytd35I//EwPJ7yH8Z2FFaIsaDNF2sCL8RSQoGpgx9AiMJHPAOnJPTfjMYu4n1uUIhVvqM/vgY4Ow2D0SnucJCfsgzzgoNgW/0ymsd8Kfd06giYLk6efz5ISyrxLjnhNSTmJMsfQVJSB/kwlkCEvdGkmvjRdHZjEs603M0zNz/OosPn9nQkH1+WxeiTD0fxb1hHh5TndJw8gRYo6pGlu384y9r4Q8Q1bUhQi2o9g8PrY9Q7/SIM53piHi87Fr/8l39ZVQCqtMgGEGDZeA5URjcfB+hOV4SlkSKPez/6JkWCxySLUA5CHxgvLsNRa8NuvJZyC+F8ZEm8oHccGnSF5rqP59Huas4p6x/grBqfohKIQ201sZ6gNemIRi95mgFidn0dbhUtYqATPEowzT8AYlc5GvsmDdmXA1MRKOMgGG2Hnf+u7f7jgdQnOnaQx/89MPHM23WfHvMaxmFSRsByveHSWArE3rBY+TVDaqTnOQa00+40XVHh1lg8+sfJuvcx75PMO62sjxZEECY+NAZY66nmF1844y8L1Qohe8SGQu63MagmPGjIiJfvDmkJCiz55WtoqolEMUrFCdcCAhybhRKo8YVgSlfhDUy6ApPpN/Y7lbfBbGs6799Pc91Twb6+eQJ0Q+6JMQJDJPGZL9Mu66Te3g65hBO6SEzAF7M0VcEANINESEBy/l3fLaUP/TQRnynAavDSkhWoxQS+9HRyWbDBqjM+wjNGDhihlnfsLEkeuoa/YlpQzCF7/ZHGph1JYZ68oiM0gLxiITj6SE9jVJ6loEU4xbRZ8sUEoz6/fH3pHH3Lie4SJ8Eh/HS4ID/yhfC0AIo88jE4Hi6H9rLD7bfElAZRKaJ7oJhSEwYdGbm/NQjZUCEUlqNCvhPU/bQ/dYPwQORcAzYOzxuoTFRRjwi0GR+1iyDePK4gGeDWGtj7nZ130MGkJK1MP4s+Ag22Bt85CMmUebStq9nmHhZz6Y50URatN7GTBCd3Ik5ACrud6AmWXH9Zh5RAxYcsR8NIfz61X8zWtHuVZ4dMLNvMFMAdTt8ebwiPfSp6lr7q35nPitUjaRfdYc4974Eys8wXf8xz/hcfJR6HQq/C+9wnDtV9nBTmGH+VO/w5jdL33CGHYfTybL7LVHRo5Vyrqf8avisr9XaPTa0KLJ6qlkmDgxBULjKtueZfFNXbdIMr9UTwguZX43z1B591YX77zPCS1QnKxDkxpgdmgTTPXJzCaliTJGqxJC/fdZCPUpE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En un instituto se inauguró una expansión del mismo donde hay nuevas aulas, una biblioteca nueva , y una nueva escalera para acceder a el primer piso, un grupo de estudiantes decide medir las dimensiones de esta para asegurarse de que cumpla con las normas de seguridad. Ellos miden lo siguiente:[br][br] • La altura total de la escalera es de 7,46 metros.[br] • La longitud horizontal de la escalera es de 11,62 metros.[br] • La escalera tiene 10 escalones de igual altura y profundidad.[br][br]Los estudiantes quieren determinar el ángulo de inclinación de la escalera y verificar si cumple con el criterio de seguridad que establece que el ángulo debe estar entre 30° y 45°.[br][br]Preguntas:[br][br] 1. ¿Cuál es la altura de cada escalón?[br] 2. ¿Cuál es la profundidad de cada escalón?[br] 3. ¿Cuál es el ángulo de inclinación de la escalera? ¿Cumple con las normas de seguridad?

Vamos a resolver este problema paso a paso utilizando los datos proporcionados:[br][br]1. ¿Cuál es la altura de cada escalón?[br][br]Sabemos que la altura total de la escalera es de 7.46 metros y que tiene 10 escalones de igual altura. La altura de cada escalón se puede calcular dividiendo la altura total entre el número de escalones: 7,46m/10[br]~0,746m cada escalón.[br][br]2. ¿Cuál es la profundidad de cada escalón?[br][br]Sabemos que la longitud horizontal de la escalera es de 11.62 metros y que hay 10 escalones de igual profundidad. La profundidad de cada escalón se calcula dividiendo la longitud horizontal total entre el número de escalones:11,62m/10~1,162m de profundidad de cada escalón.[br][br]3. ¿Cuál es el ángulo de inclinación de la escalera?[br][br]Para encontrar el ángulo de inclinación, modelamos la escalera como un triángulo rectángulo, donde la altura de la escalera es un cateto (7.46 m) y la longitud horizontal es el otro cateto (11.62 m). El ángulo de inclinación (θ) se obtiene usando la función tangente: tan(θ)=altura/longitud horizontal=7,46/11,62[br][br]Calculamos el ángulo tomando el arcotangente:[br]θ=arctan(7,46/11,62)[br][br]Resolviendo:[br]θ~ arctan(0,6419)~32.87°[br][br]El ángulo de inclinación de la escalera es aproximadamente 32.87°.[br][br]¿Cumple con las normas de seguridad?[br][br]Las normas de seguridad establecen que el ángulo de inclinación debe estar entre 30° y 45°. Dado que el ángulo calculado es 32.87°, la escalera cumple con las normas de seguridad.[br][br]Instrucciones para resolverlo en GeoGebra:[br][br] 1. Abrir GeoGebra: Usar la versión clásica o la aplicación de escritorio.[br] 2. Dibujar el triángulo rectángulo:[br] • Usar la herramienta “Segmento” para dibujar un segmento de 7.46 metros desde el origen para la altura.[br] • Dibujar otro segmento de 11.62 metros a lo largo del eje horizontal para la longitud de la base.[br] • Unir ambos puntos para crear la hipotenusa, que representará la escalera.[br] 3. Medir el ángulo:[br] • Usar la herramienta “Ángulo” para medir el ángulo de inclinación entre la hipotenusa y la base horizontal.[br] • El ángulo debería mostrar aproximadamente 32.87°, confirmando que la escalera cumple con las normas.[br]

En el Parque Municipal de La Ribera de Quilmes en el día de ayer ocurrió un accidente que perjudicó a un poste, haciendo que éste se encuentre inclinado. Como sostiene a una cámara que vigila casi la mitad del parque, se requiere arreglo urgentemente porque la seguridad y protección de la comunidad se ve afectada. [br]Por esta razón, se necesita saber a qué distancia se ubica la cámara del piso para que el equipo de mantenimiento municipal pueda arreglar éste problema. [br]Si se sabe que la altura de la persona es de 1,70m, ¿cómo podríamos saber la distancia de la cámara al piso?[br][br][br][br]PLANTEO A TRAVÉS DE GEOGEBRA.[br][list][*]Como no se pudieron tomar las medidas reales de los objetos utilizamos el GeoGebra para poder resolver la situación problema, permitiendo así una visualización mas efectiva. [/*][/list]