Lecciones con geogebra classroom
Actividades de geogebra organizadas como lecciones o clases.
Table of Contents
- Triángulos
- Clasificación de los triángulos según sus lados - Lección 01-01
- Clasificación de los triángulos según sus ángulos - Lección 01-02
- Clasificación de los triángulos - Lección 01-03
- Suma de los ángulos interiores de un triángulo - Lección 01-04
- Triángulo rectángulo y Teorema de Pitágoras - Lección 01-05
- Cuadriáteros
- Suma de ángulos internos de un cuadrilátero - Lección 02-01
- Paralelogramo - construcción y propiedades - Lección 02-02
- Recta y Funciones
- Pendiente de una Recta - Lección 03 - 01
- Función cuadrática - Lección 03-12
- Cónicas
- Parábola - Lección 04-01
- Trigonometría
- Segmentos trigonométricos en la circunferencia unitaria - Lección 05-10
- Área y volumen
- Área del rectángulo y del cuadrado - Lección 06-01
- Área del paralelogramo y del rectángulo - Lección 06-02
- Álgebra
- Expansión y factorización de expresiones algebraicas - Lección 07-01
- Física
- Tiro parabólico - Lección 09-01
Clasificación de los triángulos según sus lados - Lección 01-01
[b]Clasificación de los triángulos según sus lados:[/b][br][br]Los triángulos se clasifican en dos formas no excluyentes: una primera forma es [b]por la relación de las medidas de los lados[/b]. La segunda forma es [b]por la medida de los ángulos interiores[/b].[br][br]En esta lección se va a analizar la clasificación según la relación de las medidas de los lados. [br][br]Los triángulos se clasifican en:[br][br]a) Triángulo equilátero[br]b) Triángulo isósceles [br]c) Triángulo escaleno. [br][br][b]Triángulo Equilátero[/b][br][br]Un triángulo es [u]equi[/u]látero cuando los tres lados son congruentes, es decir, las medidas de sus tres lados son iguales.[br][br][b]Triángulo Isósceles[/b][br][br]Un triángulo es [u]isó[/u]sceles cuando las medidas de dos de sus lados son iguales, es decir, dos lados son congruentes. [br][br][b]Triángulo Escaleno[/b][br][br]Un triángulo es escaleno cuando las medidas de sus lados son diferentes entre sí, es decir, no tiene lados congruentes. [br][br][b]Desigualdad triangular[/b][br][br]En todo triángulo, la suma de las medidas de dos lados es mayor que la medida del tercer lado.[br][br]Analicemos tres casos donde los lados del triángulo son [b]a[/b], [b]b[/b] y [b]c[/b].[br][br]a) a = 10 cm b = 5 cm c = 7 cm[br] Al sumar cualquier par de lados, esta suma siempre es mayor que la medida del otro lado:[br] 10 + 5 > 7 10 + 7 > 5 5 + 7 > 10 [br] En este caso se cumple la propiedad. Por lo tanto el triángulo existe.[br] Obsérvese que las dos circunferencias de construcción del applet se intersecan.[br][br]b) a = 7 cm b = 2 cm c = 10 cm[br] El triángulo no existe porque 7 + 2 no es mayor que 10.[br] Obsérvese que las dos circunferencias de construcción del applet no se intersecan. Estas circunferencias son exteriores una con relaión a la otra.on exteriores.[br][br]c) a = 7 cm b = 2 cm c = 4 cm[br] El triángulo no existe porque 2 + 4 no es mayor que 7.[br] Obsérvese que las dos circunferencias de construcción del applet no se intersecan. Una circunferencia es interior a la otra.
[b]Actividades:[br][br][/b]1. Utilice el applet y con la información suministrada, responda el siguiente cuestionario:
2. Los lados de un triángulo son respectivamente 4 cm, 4 cm y 5 cm. Este triángulo es
3. Se tienen tres segmentos cuyas longitudes son 3 cm, 5 cm y 6 cm. [br]Con esos tres segmentos se puede construir un triángulo?
4. Los lados del triángulo ABC miden respectivamente 4 cm, 5 cm y 6 cm. Este es un triángulo
5. Se puede construir un triángulo con tres segmentos cuyas longitudes son 3 cm, 6 cm y 3 cm?
6. Dos lados de un triángulo miden 3 cm y 8 cm. Qué rango o intervalo de medida debe tener el tercer lado para que se forme el triángulo?
Recuerde utilizar el applet como ayuda para desarrollar las tareas.[br][i][br]Para obtener más información, ver la actividad del mismo autor, [/i][b]Clasificación de los triángulos[/b][i], https://www.geogebra.org/m/sj5ghqqt[/i]
Suma de ángulos internos de un cuadrilátero - Lección 02-01
[b]Cuadrilátero[/b] es un polígono de cuatro lados.[br][br][b]Suma de los ángulos internos de un cuadrilátero: [/b][b]En todo cuadrilátero la suma de los ángulos internos es igual a 360°. [br][br][/b]En el applet que se muestra a continuación los vértices del cuadrilátero son [b]ABCD[/b].[br][br]Los ángulos interiores del cuadrilátero son:[br]- Ángulo [b]A[/b] = Ángulo [b]DAB[/b] = Ángulo [b]1[/b][br]- Ángulo [b]B[/b] = Ángulo [b]ABC[/b] = Ángulo [b]2[/b][br]- Ángulo [b]C[/b] = Ángulo [b]BCD[/b] = Ángulo [b]3[/b][br]- Ángulo [b]D[/b] = Ángulo [b]CDA[/b] = Ángulo [b]4[/b][br][br][b]Actividades:[br][/b][br][b]1. Active la animación del applet siguiente (botón Iniciar animación) para visualizar que la suma de los cuatro ángulos del cuadrilátro suman 360°[/b].[br][br]La animación utiliza un solo deslizador el cual se puede manipular directamente.[br][br][i]Para modificar el cuadrilátero utilice los puntos [b]A[/b], [b]B[/b], [b]C[/b] y [b]D[/b]. El punto [b]P[/b] es un punto libre.[br]Se puede mostrar las medidas de los ángulos para comprobar que su suma sea 360°.[/i]
[b]2. Active la animación del applet siguiente (botón Iniciar animación) para visualizar que el cuadrilátero se descompone en dos triángulos.[br][br][/b]Como se sabe, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°. Por lo tanto, la suma de los ángulos interiores de los dos triángulos que conforman el cuadrilátero equivale a 360°.
[b]3.[/b] Sea el cuadrilátero [b]DEFG[/b].
Determine la medida del ángulo [b]D [/b]si [math]\angle[/math][b]E[/b] = 120°, [math]\angle[/math][b]F[/b] = 45° y [math]\angle[/math][b]G[/b] = 95°.
[b]4. [/b]El cuadrilátero [b]MNPQ[/b] es un trapecio isósceles.
Si el ángulo [b]M[/b] mide 120°, determine la medida de los ángulos [b]N[/b], [b]P[/b] y [b]Q[/b].
[b]5[/b]. El cuadrilátero [b]KLMN[/b] es un rombo.
Determine la medida de los ángulos [b]L[/b], [b]M[/b] y [b]N[/b] si el ángulo [b]K[/b] mide 70°.
Pendiente de una Recta - Lección 03 - 01
[b]Pendiente de una recta[/b][br][br]Pendiente de una recta [b](m)[/b], es la inclinación de la recta con relación al semieje positvo X. Se define como el cociente entre la [b]inclinación[/b] y el [b]avance[/b] entre dos puntos cualesquiera de la recta.[br][br] [math]m=\frac{\Delta Y}{\Delta X}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}[/math] [br][br] [math]\Delta[/math][b]X [/b]es el desplazamiento horizontal (en el eje X) y [math]\Delta[/math][b]Y[/b] es el desplazamiento vertical (en el eje Y). [br][br]Normalmente se utiliza la fórmula [math]m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}[/math][br][br][b]Actividades:[br][/b][br][b]1. [/b]Explore el [b]applet[/b] siguiente y responda el cuestionario que sigue.[br][br]Tenga en cuenta lo siguiente:[br][br]- Los puntos [b]P[sub]1[/sub][/b] y [b]P[sub]2[/sub][/b] se definen por sus coordenadas ([b]x[sub]1[/sub][/b], [b]y[sub]1[/sub][/b]), ([b]x[sub]2[/sub][/b], [b]y[sub]2[/sub][/b]). Utilice las [b]casillas de entrada[/b] o los [b]deslizadores [/b]para dar las coordenadas.[br][br]- Active el [b]botón Desplazamientos[/b] para observar los desplazamientos vertical y horizontal para ir de [b]P[sub]1[/sub][/b] a [b]P[sub]2[/sub][/b]. [br][br]- Active las [b]casillas de verificación[/b] para observar diversos aspectos de la recta.
La figura es un cuadrilátero en el cual se han trazado sus dos diagonales y dos rectas adicionales.[br][br]Responda las preguntas 2 a 13 de acuerdo con la información dada en la figura.
[b]2.[/b] Halle la pendiente de la recta [b]AB[/b].
[b]3.[/b] Halle la pendiente de la recta [b]BC[/b].
[b]4.[/b] Halle la pendiente de la recta [b]CD[/b].
[b]5.[/b] Halle la pendiente de la recta [b]AD[/b].
[b]6.[/b] Halle la pendiente de la recta [b]AC[/b].
[b]7.[/b] Halle la pendiente de la recta [b]BD[/b].
[b]8.[/b] Halle la pendiente de la recta [b]EF[/b].
[b]9.[/b] Halle la pendiente de la recta [b]GH[/b].
[b]10.[/b] Encuentre dos rectas que tengan igual pendiente.
[b]11.[/b] Consulte qué propiedad cumplen las pendientes de dos rectas que son paralelas.
[b]12.[/b] Consulte qué propiedad cumplen las pendientes de dos rectas que son perpendiculares.
[b]13.[/b] Existe un par de rectas de la figura que sean perpendiculares? [br]En caso afirmativo escriba las dos rectas.
[i]Para obtener más información, ver la actividad del mismo autor, [b]Pendiente de una recta y ángulo de inclinación[/b], https://www.geogebra.org/m/h8gk9nj6[/i]
Parábola - Lección 04-01
[b]Parábola[/b] es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que su distancia a un punto fijo llamado [b]foco[/b] es igual a su distancia a una recta fija llamada [b]directriz[/b]: [b]distancia FB = distancia BA[/b].[br][br]Se muestran a continuación 4 imágenes de parábola:[br][br]1.a. Parábola convexa. Las ramas abren hacia arriba. Eje de simetría vertical.[br][br]1.b. Parábola cóncava. Las ramas abren hacia abajo. Eje de simetría vertical.[br][br]2.a. Parábola horizontal, ramas abren hacia la derecha. Eje de simetría horizontal.[br][br]2.b. Parábola horizontal, ramas abren hacia la izquierda. Eje de simetría horizontal.
[b]Elementos de la parábola[/b].[b][br][br]Vértice, V = (h, k)[/b]: Es el punto extremo de la gráfica. También es el punto de intersección de la parábola y el [b]eje focal[/b] o [b]eje de simetría[/b].[br][br][b]Eje focal o eje de simetría[/b]: Es la recta que divide a la parábola en dos mitades congruentes. Pasa por el [b]vértice[/b] y por el [b]foco[/b].[br][br][b]Foco, F[/b]: Es el punto fijo de la parábola. Está ubicado sobre el eje focal a una distancia del vértice igual al [b]parámetro p[/b].[br]Las coordenadas del foco dependen de las coordenadas del vértice, del parámetro y de la orientación de la parábola.[br][br][b]Parámetro, p[/b]: Es la distancia entre el [b]foco[/b] y el [b]vértice[/b] o entre el [b]vértice[/b] y la [b]directriz[/b]. Su valor siempre es positivo porque es una distancia. [br][br][b]Directriz[/b]: Es una recta perpendicular al eje focal a una distancia del vértice, igual al [b]parámetro p[/b]. [br][br][b]Radio vector, BF[/b]: Es cada uno de los segmentos que unen el [b]foco[/b] con un punto cualquiera de la parábola. Por definición, el segmento [b]BA[/b] tiene igual medida que el radio vector.[br][br][b]Lado recto, MN[/b]: Es el segmento paralelo a la directriz y pasa por el foco. Los extremos [b]M[/b] y [b]N[/b] son puntos opuestos de la parábola. Su longitud es [b]4p[/b]. [br][br]A continuación se presentan 4 applets, uno para cada orientación de la parábola.
[b]Actividades:[br][br]1. Applet 1.a. Parábola convexa (ramas hacia arriba)[/b].[br][br]Manipule los elementos interactivos del applet. El objetivo es generar la parábola.[br][br]Para generar la parábola haga clic en el botón [b]Activar rastro de B[/b] y a continuación, arrastre el punto [b]A[/b] sobre la [b]directriz[/b]. [br][br]Para modificar la parábola, [b]desactive rastro de B[/b] y [b]borrar rastro[/b]. A continuación modifique los valores [b]h[/b], [b]k[/b] y [b]p[/b].[br][br][b]Características especiales de la parábola convexa (ramas hacia arriba) con vértice V = (h, k)[/b]:[br][br]a. [b]Eje focal o eje de simetría[/b]: Es una recta vertical, paralela al eje Y. Cumple la fórmula [b] x = h[/b]. Pasa por el vértice y por el foco.[br][br]b. [b]Coordenadas del Foco[/b]: Cumple la fórmula [b]F = (h, k + p)[/b]. El foco se ubica por encima del vértice.[br][br]c. [b]Ecuación de la directriz[/b]: Es una recta horizontal, paralela al eje X. Cumple la fórmula [b]y = k - p[/b]. La directriz se ubica por debajo del vértice.[br][br]d. [b]Ecuación canónica de la parábola[/b]: Es una expresión de la forma [math]\left(x-h\right)^2=4p\left(y-k\right)[/math]. El signo del coeficiente [b]4p[/b] siempre es positivo.[br][br]Cuando el vértice de la parábola está en el origen, [b]V = (0, 0)[/b], la ecuación canónica es [math]x^2=4py[/math].
[b]2. Applet 1.b. Parábola cóncava (ramas hacia abajo)[/b].[br][br]Manipule los elementos interactivos del applet. El objetivo es generar la parábola.[br][br]Para generar la parábola haga clic en el botón [b]Activar rastro de B[/b] y a continuación, arrastre el punto [b]A[/b] sobre la [b]directriz[/b]. [br][br]Para modificar la parábola, [b]desactive rastro de B[/b] y [b]borrar rastro[/b]. A continuación modifique los valores [b]h[/b], [b]k[/b] y [b]p[/b].[br][br][b]Características especiales de la parábola cóncava (ramas hacia aabajo) con vértice V = (h, k)[/b]:[br][br]a. [b]Eje focal o eje de simetría[/b]: Es una recta vertical, paralela al eje Y. Cumple la fórmula [b] x = h[/b]. Pasa por el vértice y por el foco.[br][br]b. [b]Coordenadas del Foco[/b]: Cumple la fórmula [b]F = (h, k - p)[/b]. El foco se ubica por debajo del vértice.[br][br]c. [b]Ecuación de la directriz[/b]: Es una recta horizontal, paralela al eje X. Cumple la fórmula [b]y = k + p[/b]. La directriz se ubica por encima del vértice.[br][br]d. [b]Ecuación canónica de la parábola[/b]: Es una expresión de la forma [math]\left(x-h\right)^2=-4p\left(y-k\right)[/math]. El signo del coeficiente [b]4p[/b] siempre es negativo.[br][br]Cuando el vértice de la parábola está en el origen, [b]V = (0, 0)[/b], la ecuación canónica es [math]x^2=-4py[/math]
[b]3. Applet 2.a. Parábola horizontal, ramas hacia la derecha[/b].[br][br]Manipule los elementos interactivos del applet. El objetivo es generar la parábola.[br][br]Para generar la parábola haga clic en el botón [b]Activar rastro de B[/b] y a continuación, arrastre el punto [b]A[/b] sobre la [b]directriz[/b]. [br][br]Para modificar la parábola, [b]desactive rastro de B[/b] y [b]borrar rastro[/b]. A continuación modifique los valores [b]h[/b], [b]k[/b] y [b]p[/b].[br][br][b]Características especiales de la parábola horizontal, ramas hacia la derecha con vértice V = (h, k)[/b]:[br][br]a. [b]Eje focal o eje de simetría[/b]: Es una recta horizontal, paralela al eje X. Cumple la fórmula [b] y = k[/b]. Pasa por el vértice y por el foco.[br][br]b. [b]Coordenadas del Foco[/b]: Cumple la fórmula [b]F = (h + p, k)[/b]. El foco se ubica a la derecha del vértice.[br][br]c. [b]Ecuación de la directriz[/b]: Es una recta vertical, paralela al eje Y. Cumple la fórmula [b]x = h - p[/b]. La directriz se ubica a la izquierda del vértice.[br][br]d. [b]Ecuación canónica de la parábola[/b]: Es una expresión de la forma [math]\left(y-k\right)^2=4p\left(x-h\right)[/math]. El signo del coeficiente [b]4p[/b] siempre es positivo.[br][br]Cuando el vértice de la parábola está en el origen, [b]V = (0, 0)[/b], la ecuación canónica es [math]y^2=4px[/math]
[b]4. Applet 2.a. Parábola horizontal, ramas hacia la izquierda[/b].[br][br]Manipule los elementos interactivos del applet. El objetivo es generar la parábola.[br][br]Para generar la parábola haga clic en el botón [b]Activar rastro de B[/b] y a continuación, arrastre el punto [b]A[/b] sobre la [b]directriz[/b]. [br][br]Para modificar la parábola, [b]desactive rastro de B[/b] y [b]borrar rastro[/b]. A continuación modifique los valores [b]h[/b], [b]k[/b] y [b]p[/b].[br][br][b]Características especiales de la parábola horizontal, ramas hacia la izquierda con vértice V = (h, k)[/b]:[br][br]a. [b]Eje focal o eje de simetría[/b]: Es una recta horizontal, paralela al eje X. Cumple la fórmula [b] y = k[/b]. Pasa por el vértice y por el foco.[br][br]b. [b]Coordenadas del Foco[/b]: Cumple la fórmula [b]F = (h - p, k)[/b]. El foco se ubica a la izquierda del vértice.[br][br]c. [b]Ecuación de la directriz[/b]: Es una recta vertical, paralela al eje Y. Cumple la fórmula [b]x = h + p[/b]. La directriz se ubica a la derecha del vértice.[br][br]d. [b]Ecuación canónica de la parábola[/b]: Es una expresión de la forma [math]\left(y-k\right)^2=-4p\left(x-h\right)[/math]. El signo del coeficiente [b]4p[/b] siempre es negativo.[br][br]Cuando el vértice de la parábola está en el origen, [b]V = (0, 0)[/b], la ecuación canónica es [math]y2=-4px[/math].
[b]5. Applet para construir una parábola con eje focal vertical[/b].[br][br]Para construir la parábola se dan las coordenadas [b]h,[/b] [b]k[/b] del vértice y el valor del parámetro [b]p[/b].[br][br]Utilice el deslizador [b]PasoN[/b] para observar las instrucciones sucesivas necesarias para la construcción y haga uso de las herramientas disponibles.[br][br]Para utilizar la barra de entrada, sólo es necesario escribir la instrucción o comando dado en los pasos 2 y 6.[br][br]En el [b]paso 2[/b] para dibujar el foco, en la [b]barra de entrada [/b]escribir [b]F=(h,k+p)[/b] o [b]F=(h,k-p)[/b]. El punto que se dibuja recibe el nombre de [b]F[/b] y toma las coordenadas [b]h[/b], [b]k[/b] definidas con los deslizadores o casillas de entrada respectivas.[br][br]En el [b]paso 6[/b] para activar el rastro del punto [b]B[/b], escribir [b]Rastro(B,true)[/b] y para desactivar el rastro, escribir [b]Rastro(B,false)[/b]. El punto [b]B[/b] es el punto de la parábola.[br][br]Para generar la parábola, [b]arrastre[/b] el punto [b]A[/b] sobre la [b]directriz[/b].[br][br]Para borrar el rastro mueva el plano cartesiano.
[b]6. Applet para construir una parábola con eje focal horizontal[/b].[br][br]Para construir la parábola se dan las coordenadas [b]h,[/b] [b]k[/b] del vértice y el valor del parámetro [b]p[/b].[br][br]Utilice el deslizador [b]PasoN[/b] para observar las instrucciones sucesivas necesarias para la construcción y haga uso de las herramientas disponibles.[br][br]Para utilizar la barra de entrada, sólo es necesario escribir la instrucción o comando dado en los pasos 2 y 6.[br][br]En el [b]paso 2[/b] para dibujar el foco, en la [b]barra de entrada [/b]escribir [b]F=(h+p,k)[/b] o [b]F=(h-p,k)[/b]. El punto que se dibuja recibe el nombre de [b]F[/b] y toma las coordenadas [b]h[/b], [b]k[/b] definidas con los deslizadores o casillas de entrada respectivas.[br][br]En el [b]paso 6[/b] para activar el rastro del punto [b]B[/b], escribir [b]Rastro(B,true)[/b] y para desactivar el rastro, escribir [b]Rastro(B,false)[/b]. El punto [b]B[/b] es el punto de la parábola.[br][br]Para generar la parábola, [b]arrastre[/b] el punto [b]A[/b] sobre la [b]directriz[/b].[br][br]Para borrar el rastro mueva el plano cartesiano.
Responda las preguntas [b]7[/b] a [b]10 [/b] con base en las figuras [b]1.a[/b], [b]1.b[/b], [b]2.a[/b] y [b]2.b [/b]que se muestran al inicio de eta lección.
[b]7.[/b] El vértice de la parábola de la figura [b]1.a[/b] es el punto
[b]8.[/b] La directriz de la parábola de la figura [b]1.b[/b] tiene por ecuación
[b]9.[/b] El foco de la parábola de la figura [b]2.a[/b] es el punto
[b]10.[/b] La directriz de la parábola de la figura [b]2.b[/b] tiene por ecuación
Una parábola tiene por ecuación [math]\left(y-1\right)^2=8\left(x+3\right)[/math]. Responda las preguntas [b]11[/b] a [b]14[/b] de acuerdo con la información contenida en esa ecuación.
[b]11.[/b] El vértice de la parábola es el punto
[b]12.[/b] El valor del parámetro [b]p[/b] de la parábola es
[b]13.[/b] La parábola de la ecuación es
[b]14.[/b] El foco de la parábola es el punto
[b]15.[/b] Explore las siguientes actividades del mismo autor:[br]- Parábola: Definición, gráfica y ecuaciones, https://www.geogebra.org/m/r5cfabrw[br]- Antena parabólica, https://www.geogebra.org/m/ryvb5mgr[br]- Función cuadrática y cúbica, https://www.geogebra.org/m/cjzfnycw[br]- Ecuación general de segundo grado, https://www.geogebra.org/m/zvmqa2ex
Segmentos trigonométricos en la circunferencia unitaria - Lección 05-10
[b]Circunferencia unitaria, [/b]también llamada[b] cricunferencia trigonométrica[/b], es una circunferencia que tiene como radio la unidad y como centro el origen del sistema de coordenadas. Su ecuación es [math]x^2+y^2=1[/math]. Todo punto P(x, y) que cumpla esta ecuación, pertenece a la circunferencia. [br][br]El applet siguiente muestra el segmento correspondiente a cada una de las razones trigonométricas en la circunferencia unitaria para el ángulo [b]α[/b] en posición normal desde [b]0°[/b] hasta [b]360°[/b]. La amplitud del ángulo se modifica con el dial del deslizador.[br][br]El lado terminal del ángulo se ubica en uno de los cuatro cuadrantes en que se divide la circunferencia:[br][br]- Cuadrante [b]I[/b]. Ángulos entre 0° y 90°.[br][br]- Cuadrante [b]II[/b]. Ángulos entre 90° y 180°.[br][br]- Cuadrante [b]III[/b]. Ángulos entre 180° y 270°.[br][br]- Cuadrante [b]IV[/b]. Ángulos entre 270° y 360°.[br][br]En este applet, con fines didácticos los [b]segmentos trigonométricos[/b] se representan como un vector para indicar fácilmente si es [b]positivo o negativo[/b]:[br][br]- Es [b]positivo (+)[/b] cuando el vector es [b]vertical hacia arriba u horizontal hacia la derecha[/b].[br][br]- Es [b]negativo (-)[/b] cuando el vector es [b]vertical[/b] [b]hacia abajo u horizontal hacia la izquierda[/b].[br][br]Para cada razón se muestra el triángulo de referencia. Obsérvese que en cada caso el segmento ubicado en el denominador de la fracción es la [b]unidad. [/b]De ahí que cada razón quede identificada por un segmento:[br][br]- [math]Sen\left(\alpha\right)[/math], segmento [b]DC[/b]. El triángulo de referencia es [b]ADC[/b], rectángulo en [b]D[/b], donde [b]AC = 1[/b].[br][br]- [math]Cos\left(\alpha\right)[/math], segmento [b]AD[/b]. El triángulo de referencia es [b]ADC[/b], rectángulo en [b]D[/b], donde [b]AC = 1[/b].[br][br]- [math]Tan\left(\alpha\right)[/math], segmento [b]BF[/b]. El triángulo de referencia es [b]ABF[/b], rectángulo en [b]B[/b], donde [b]AB = 1[/b].[br][br]- [math]Cot\left(\alpha\right)[/math], segmento [b]GH[/b]. El triángulo de referencia es [b]AGH[/b], rectángulo en [b]G[/b], donde [b]AG = 1[/b].[br][br]- [math]Sec\left(\alpha\right)[/math], segmento [b]AM[/b]. El triángulo de referencia es [b]ACM[/b], rectángulo en [b]C[/b], donde [b]AC = 1[/b].[br][br]- [math]Csc\left(\alpha\right)[/math], segmento [b]AN[/b]. El triángulo de referencia es [b]ACN[/b], rectángulo en [b]C[/b], donde [b]AC = 1[/b].[br][br]Los triángulos [b]ABD[/b], [b]AGH[/b], [b]ACN[/b] y [b]ACM [/b]son semejantes al triángulo original [b]ADC[/b] por tener los lados correspondientes perpendiculares. [br][br]Matemáticamente, el signo del segmento trigonométrico se obtiene de la definición de cada razón trigonométrica en el triangulo [b]ADC[/b]. El triángulo [b]ADC [/b]queda ubicado en el mismo cuadrante del lado terminal del ángulo. Se debe tener en cuenta que:[br][br]- La [b]hipotenusa siempre es positiva (+)[/b].[br][br]- El [b]cateto opuesto[/b] depende de la orientación con relación al [b]eje X: es positivo (+) si está hacia arriba y es negativo (-) si está hacia abajo[/b].[br][br]- El [b]cateto adyacente[/b] depende de la orientación con relación al [b]eje Y: es positivo (+) si está hacia la derecha y es negativo (-) si está hacia la izquierda.[/b]
[b]Actividades:[br][br]1. [/b]Explore el applet siguiente. Para cada razón trigonométrica observe el vector y analice el triángulo rectángulo de referencia.
Responda el siguientes cuestionario.
[b]2. [math]Cos\left(\alpha\right)[/math] [/b]es positivo en los cuadrantes
[b]3.[/b] [math]Tan\left(\alpha\right)[/math] es positiva en los cuadrantes
[b]4.[/b] [math]Sec\left(\alpha\right)[/math] es positiva en los cuadrantes
[b]5.[/b] En el cuadrante II son positivas las razones
Explore las siguientes actividades del mismo autor:[br]a) Razones trigonométricas - definición y fórmula, https://www.geogebra.org/m/eqzkfx8d[br]b) Razones trigonométricas y segmentos trigonométricos en cuadrante I, https://www.geogebra.org/m/ewapvnjf[br]c) Signo de las razones trigonométricas, https://www.geogebra.org/m/jgad3wpa[br]d) Razones trigonométricas: gráfica de seno y coseno, https://www.geogebra.org/m/xaj8uypg[br]e) Razones trigonométricas: gráfica de tangente y cotangente, https://www.geogebra.org/m/m64ypr32[br]f) Razones trigonométricas: gráfica de secante y cosecante, https://www.geogebra.org/m/ezybfacz[br]
Área del rectángulo y del cuadrado - Lección 06-01
[b]Rectángulo[/b] es un paralelogramo que sus [b]ángulos interiores son rectos[/b], por lo tanto los lados contiguos son perpendiculares entre sí.[br][br]Todos los ángulos interiores del rectángulo son congruentes e iguales a 90°[br][br][b]Cuadrado[/b] es un paralelogramo que sus [b]4 ángulos interiores son rectos[/b] y [b]sus 4 lados son congruentes[/b].[br][br]Dado que el rectángulo y el cuadrado son paralelogramos, la medida de los lados opuestos son congruentes: m(AB) = m(DC) y m(AD) = m(BC).[br][br][b]Superficie y área[br][/b][br][b]Superficie[/b] es la porción de plano que ocupa una figura.[br][br][b]Área[/b] es la medida de una superficie. Se mide en unidades de longitud elevadas al cuadrado: [L][sup]2[/sup] como metro cuadrado (m[sup]2[/sup]), centímetro cuadrado (cm[sup]2[/sup]), etc.[br][br]También se puede utilizar cualquier objeto cuadrado como unidad de superficie así como se muestra en el applet siguiente en donde se puede modificar la unidad de superficie con el deslizador [b]VrUL[/b].
[b]Actividades:[br][br]1. Applet para analizar el área del rectángulo y del cuadrado. [br][br][/b]- Active la cuadrícula y cuente las unidades cuadradas que contiene la figura.[br][br]- Verifique ese dato con el resultado de aplicar la fórmula del área.
[b]2. [/b]Un rectángulo tiene por base 5 cm y por altura 4 cm. El área del rectángulo es
[b]3. [/b]El área de un rectángulo es 48 m[sup]2[/sup]. Si la base del rectángulo mide 8 m entonces la altura mide
[b]4. [/b]Un lote de terreno tiene forma cuadrada y su lado mide 20 m. El área del terreno es
[b]5.[/b] Se quiere cubrir con cerámica el piso de una sala de forma rectangular de 8 m de largo y 4 m de ancho. La cerámica que se va a utilizar es de forma cuadrada de 25 cm de lado. Calcule la cantidad de unidades de cerámica que se necesitan para cubrir el piso de la sala.
[b]6.[/b] Calcule el área del piso de la sala de la pregunta [b]5[/b].
[b]7[/b]. Calcule el área de la unidad de cerámica que se va a utilizar en la pregunta [b]5[/b].
Expansión y factorización de expresiones algebraicas - Lección 07-01
El objetivo de esta lección es [b]desarrollar (expandir) productos indicados[/b] y su operación contraria, [b]factorización[/b], utilizando el software de [b]cálculo simbólico CAS[/b] de geogebra.[br][br]La imagen siguiente muestra la [b]interfaz de CAS geogebra[/b] con la barra de herramientas personalizada. En este caso se muestran las herramientas [b]Conserva la entrada[/b], [b]Desarrolla[/b], [b]factoriza[/b] y [b]Borrar[/b].[br][br]Para observar el nombre de cada herramienta basta con hacer clic sostenido sobre el ícono correspondiente .[br][br]La pantalla de trabajo es una [b]matriz[/b] de dos [b]columnas[/b] y varias [b]filas[/b].[br]Cada fila dispone de dos líneas: En la primera línea se tiene la [b]expresión de entrada[/b] mientras que en la segunda línea se muestra la [b]expresión de salida[/b].[br][br]En [b]fila #1[/b] se utilizó la herramienta [b]Conserva la entrada[/b]: Se observa que las expresiones de entrada y salida son iguales.[br]En las [b]filas #2[/b] y #[b]4[/b] se utilizó la herramienta [b]Desarrolla[/b]: Se efectúan las operaciones de las expresiones #2 y #4 y se muestra el resultado en la segunda línea de cada fila. [br] [math]3^2\cdot2^4=144[/math] [math]\left(2x-1\right)\left(x+3\right)=2x^2+5x-3[/math][br] [br]En las [b]filas #3[/b] y #[b]5[/b] se utilizó la herramienta [b]Factoriza[/b]: Se obtiene los factores de las expresiones #3 y #5. [br] [math]144=3^2\cdot2^4[/math] [math]2x^2+5x-3=\left(2x-1\right)\left(x+3\right)[/math][br]Dado que la expresión #3 es numérica, al factorizarla se obtienen sus factores primos.
Interfaz de CAS geogebra:
Algunas consideraciones importantes:[br][br]- Para escribir exponentes se puede utilizar la combinación [b]Alt + #[/b]. Así por ejemplo para escribir el exponente 2 se utiliza [b]Alt + 2[/b]. Otra forma es utilizar el signo de exponente [b]^[/b].[br][br]- Para ingresar una expresión como [b]3ab[/b] si [b]a[/b] y [b]b[/b] son dos variables diferentes, se puede escribir indicando el producto, [b]3a*b[/b], o dejando un espacio entre las dos variables, [b]3a b[/b].[br][br]- Para ingresar la expresión [math]\sqrt{x}[/math] se debe escribir [b]sqrt(x)[/b].[br][br]- Para borrar una fila se selecciona y luego clic en herramienta [b]Borrar[/b].[br][br]- Para copiar una expresión parcial o totalmente se utiliza el procedimiento normal de copiar/pegar: seleccionar fila - CTRL + C - seleccionar destino - CTRL + V.[br]Otra forma de copiar una expresión completa: seleccionar destino - clic en la segunda línea de la fila de la expresión que se quiere copiar.[br][br]- Con clic del botón secundario del ratón sobre el número de la fila se muestra un menú contextual que permite ejecutar varias acciones.
[b]Actividades:[br][br][/b]A continuación se muestra una colección de ejercicios de [b]expansión[/b] y otra de ejercicios de [b]factorización[/b] que pueden ser utilizadas como guía para estudiar estos dos temas.[br]Utilice la [b]vista CAS[/b] de geogebra para desarrollar uno o varios de estos ejercicios.
[b]Ejercicios de expansión de expresiones algebraicas[/b].
[b]Ejercicios de factorización de expresiones algebraicas[/b].
Tiro parabólico - Lección 09-01
[b]Tiro parabólico[/b] es un tipo de [b]movimiento en el plano[/b].[br][br][b]Actividades:[/b][br][br][b]1. Elementos del tiro parabólico[/b][br][br]La aplicación permite analizar los diferentes elementos del tiro parabólico. [br][br]- Defina una [b]Velocidad inicial[/b] con el deslizador o con la casilla de entrada.[br]- Defina el [b]Ángulo de tiro[/b] con el deslizador o con la casilla de entrada.[br]- Haga clic en el botón [b]Iniciar movimiento[/b] o utilice el deslizador [b]Tiempo[/b] para ver la trayectoria del proyectil (Punto P).[br]- Utilice las casillas de verificación para analizar los elementos del movimiento.
En este applet, los elementos del tiro parabólico se notan así:[br][br][b]- Velocidad inicial, Vo[/b] y sus componentes rectangulares [b]Vo[sub]x[/sub][/b] y [b]Vo[sub]y[/sub][br][/b][b]- Ángulo de tiro, [/b][math]\theta[/math] [br][b]- Tiempo de vuelo, t[br]- Trayectoria[br]- Posición, P = (P[/b][sub]x[/sub][b], P[/b][sub]y[/sub][b])[br][/b][b]- Alcance[br]- Alcance máximo, X[sub]M [/sub]= segmento AB[br][/b][b]- Punto máximo, [math]P_M=\left(\frac{X_M}{2},Y_M\right)[/math] [br]- Velocidad en cualquier punto, V [/b]y sus componentes rectangulares [b]V[sub]x[/sub] [/b]y [b]V[sub]y[/sub] [/b]
[b]2. Definición y fórmulas de los elementos del tiro parabólico[br][br][/b]Abra el archivo pdf y utilice las fórmulas necesarias para verificar los datos que se muestran en la tabla de valores para un [b]tiempo[/b] determinado. Los elementos son:[br]- componentes de la [b]pocisión[/b] (Alcance P[sub]x[/sub], Altura P[sub]y[/sub])[br]- [b]velocidad V [/b]del proyectil
[b]3. Alcance y ángulo de tiro[br][br][/b]En el applet siguiente asigne una velocidad inicial cualquiera y modifique los ángulos de tiro de los dos proyectiles para conseguir que los dos tengan igual alcance.[br][br]Analice la relación entre las medidas de los dos ángulos de tiro cuando los dos proyectiles tienen el mismo alcance.
[b]Responda las siguientes preguntas:[/b] [br][br]Tomar la aceleración de gravedad, g = 9.8 s
[b]4.[/b] Analice la magnitud, dirección y sentido de las componentes de la velocidad de un proyectil cuando se encuentra en la altura máxima de su trayectoria.
[b]5. [/b]Consulte la medida del ángulo de tiro para que un proyectil tenga el alcance máximo. [br]Compruebe la respuesta para una velocidad inicial determinada y tres ángulos de tiro diferentes.
[b]6.[/b] El tiempo de vuelo de un proyectil lanzado con velocidad inicial de 28 m/s y con ángulo de tiro 30° es
[b]7.[/b] La altura máxima que alcanza un proyectil lanzado con velocidad inicial de 25 m/s y con ángulo de tiro 56° es
[b]8.[/b] La componente horizontal de un proyectil lanzado con velocidad inicial de 30 m/s y con ángulo de tiro 40° al cabo de 2 segundo de vuelo es