[justify][b][size=150][br][br]Objetivo:[/size][/b][br][br]Compreender o teorema através de manipulações no GeoGebra, aplicando em exemplos e exercícios e comparando demonstrações algébricas. [/justify]

[justify][br][br]Sejam [math]f: [a,b]→R[/math] uma função limitada em [a, b] e [math]A=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2;a\le x\le b,0\le y\le f\left(x\right)\right\}[/math], o conjunto dos “pontos do plano compreendidos entre o eixo das abscissas, o gráfico de f e as retas verticais [math]x = a[/math] e [math]x = b[/math]”. (LIMA, 2013, p. 302)[br][br]A área do conjunto A é um número real e pode ser calculada por aproximação (por falta ou excesso) das áreas dos polígonos retangulares P contidos em A. Neste caso, consideremos esses polígonos regulares como “reuniões de retângulos justapostos de lados paralelos aos eixos [math] x = 0[/math] e [math] y = 0[/math]” (LIMA, 2013, p.303). [br][/justify]

[justify]Os retângulo [math]R⊂A[/math] de base [math]\left\{t_{i-1},t_i\right\},i=1,...,n[/math] determina uma partição do intervalo [a, b] em subintervalos justapostos. Por definição, uma partição do intervalo [a, b] é um subconjunto finito [math]P ⊂ [a, b][/math] tal que [math]a ∈ P[/math] e [math]b ∈ P[/math]. Convencionaremos sempre que [math]a< t_0< t_1< t_2< t_3<...< t_n< b[/math]. (LIMA, 2013, p.303)[br][/justify]

[justify][br][br]Consideremos uma função [math]f: [a,b] →R [/math] limitada num intervalo compacto [a, b]. Sejam [math]m_i=inf\left\{f\left(x\right);x\in\left[t_{i-1},t_i\right]\right\}[/math] e [math]M_i=sup\left\{f\left(x\right);x\in\left[t_{i-1},t_i\right]\right\}[/math], sendo [math]m_i[/math] o ínfimo e [math] M_i[/math] o supremo dos valores de f no intervalo[math] [t_{i-1},t_i ][/math].[/justify][br][justify]Lembre-se que, por definição, uma função f: [a,b] →R é limitada num intervalo [a, b], se existem m,M números reais tais que [math] m ≤f(x)≤M[/math] para todo [math] x ∈[a,b][/math].[/justify][br][justify]Ao particionarmos o intervalo [a, b] em [math]P={t_0,t_1,...,t_n}[/math] com [math]a< t_0< t_1< t_2< t_3<...< t_n< b[/math] podemos calcular a área dos retângulos com base [math][t_(i-1),t_i ][/math] e alturas [math]m_i[/math], [math]M_i[/math], respectivamente. Note que a área desses retângulos aproxima por baixo e por cima a área da região delimitada pelo conjunto A. Quanto maior a partição, menor será o erro. Sendo assim, podemos dizer que:[/justify][br][justify]A soma inferior [math] s(f;P)[/math] e a soma superior [math] S(f;P)[/math] da função f relativamente à partição P é definida por:[/justify][br][center][math]s(f;P)= m_{1 }.{(t_1-t_0)}+...+m_n.{(t_n- t_{n-1}) }= ∑_{i=1}^n{m_i.{(t_i- t_{i-1})}}[/math][br]e[br][math]S(f;P)= M_{1}⋅{(t_1-t_0 )}+ ...+M_n⋅{(t_n- t_{n-1} )}= ∑_{i=1}^n{M_i⋅{(t_i- t_(i-1)}}[/math][/center][br][justify]Se m é o ínfimo e M o supremo de f em [a,b], temos [math]m ⋅(b-a)≤s(f;P)≤S(f,P)≤M⋅(b-a)[/math], para toda partição P do intervalo [a,b].[/justify][br][justify]Quando [math]f≥0,∀x ∈[a,b][/math], as somas inferior e superior, representadas por [math] s(f;P) [/math] e [math] S(f;P)[/math], respectivamente, podem ser interpretadas como áreas dos retângulos inscritos e circunscritos ao gráfico de f, e portanto como valores aproximados (por falta e por excesso) da área delimitada pelo conjunto A. Toda soma inferior de f é menor ou igual a qualquer soma superior.[/justify][br][justify]Observe na figura abaixo os retângulos inscritos (tracejados em vermelho) e circunscritos (em verde) ao gráfico de f:[/justify]

[justify][/justify][br]Quais são as condições necessárias para que uma função [math]f:[a,b]→R[/math] seja dita integrável?

[justify]Considere as funções [math]h:[a,b]\longrightarrow R[/math], tal que [math]h(x)=x^n,n\in R[/math].  [br][br][b]1º passo: [/b]Movimente os controles deslizantes a e b e escolha um intervalo [a, b] de sua preferência. [br][br][b]2º passo: [/b]Movimente livremente o controle deslizante n, observe as funções geradas, escolha uma função e responda as perguntas abaixo:[/justify]

[justify][br]Segundo Lima (2013):[br][/justify][center][/center][center][br][b]TFC (versão 1):[/b] Se uma função integrável [math]$f:[a,b]\longrightarrow R$[/math] possui uma primitiva [math]$F:[a, b]\longrightarrow R$[/math], então [math]\int_{^a}^bf\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)[/math].[/center][center]ou ainda,[/center][center][b]TFC (versão 2):[/b] Se uma função [math]$F:[a, b]\longrightarrow R$[/math] possui uma derivada integrável, então [math]F\left(b\right)-F\left(a\right)=\int_{^a}^bF'\left(t\right)dt[/math].[/center][justify][/justify]

Aplique o TFC para resolver as situações abaixo: