Mach dich mit der GeoGebra-Grafik vertraut und beantworte folgende Fragen:[br] a) Welche Linie stellt den Funktionsgraphen dar?[br] b) Welche Linie stellt die Sekante dar?[br] c) Durch welche Punkte verläuft die Sekante?[br] d) Wozu dienen die Schieberegler?[br] e) Welche Werte werden durch die gestrichelten roten Linien markiert?

Bestimme die Steigung der Sekante ([math]h>0[/math]) anhand des Steigungsdreiecks. Gehe dazu folgendermaßen vor:[br] a) Notiere die Formel zur Berechnung der Steigung einer Geraden mithilfe eines Steigungsdreiecks.[br] b) Berechne die Steigung von zwei beliebigen Sekanten. Lies dazu die nötigen Zahlenwerte in der[br] Grafik ab.

Stelle nun eine Formel für die Berechnung eine beliebigen Sekante zur Funktion [math]f\left(x\right)=x^2[/math] auf. Gehe dazu folgendermaßen vor:[br] a) Die in Aufgabe 2 b) abgelesenen Werte werden in der Grafik nicht als [math]x_{1,}x_{2,}y_1[/math] und [math]y_2[/math] bezeichnet. Notiere, wie sie statt dessen bezeichnet werden.[br] b) Ersetze in der Formel für die Steigung [math]x_{1,}x_{2,}y_1[/math] und [math]y_2[/math] durch die neuen Bezeichnungen aus [br] Aufgabe a).[br] c) Vereinfache den Nenner so weit, wie möglich.[br] d) Setze nun [math]f\left(x_0\right)=x_0^2[/math] und [math]f\left(x_0+h\right)=\left(x_0+h\right)^2[/math] in den Term aus c) ein.[br] e) Multipliziere die Klammer im Zähler aus. Vereinfache den Zähler so weit, wie möglich.

In Aufgabe 3 hast du erfolgreich den Differenzenquotient aufgestellt. Mit dem Differenzenquotient wird die Steigung der Sekante berechnet. Sie hängt von der Stelle [math]x_0[/math] und dem Wert von [math]h[/math] ab. Nun soll die Steigung der Tangente an der Stelle [math]x_0[/math] berechnet werden. Gehe dazu folgendermaßen vor:[br] a) Beschreibe kurz in Worten, wie in der Grafik aus der Sekante eine Tangente wird. Welcher[br] Schieberegler muss verwendet werden und welchen Wert muss er annehmen?[br][br]Der Differentialquotient ist der Grenzwert [math]h\longrightarrow0[/math] des Differenzenquotient. Um diesen Grenzwert zu bilden muss zunächst sichergestellt werden, dass nicht durch Null geteilt wird:[br] b) Notiere den Term aus Aufgabe 3 e) und kürze [math]h[/math] im Zähler und Nenner.[br] c) Setze nun [math]h=0[/math] ein und Streiche alle Terme, die dadurch den Wert 0 annehmen.[br] d) Übrig bleibt [math]m=2\cdot x_0[/math]. Berechne m für einige Werte von [math]x_0[/math] und vergleiche mit der Grafik.

Mit der h-Methode kann die Steigung der Tangente an den Graphen einer Funktion berechnet werden. Startpunkt der Herleitung ist die Berechnung der Steigung einer Geraden mithilfe eines Steigungsdreiecks:[br][math]m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}[/math][br]In diese Formel werden neue Bezeichungen eingesetzt, [math]x_2=x_0+h[/math], [math]y_1=f\left(x_0\right)[/math] und [math]y_2=f\left(x_0+h\right)[/math]. [br][br]So entsteht der Differenzenquotient: [math]m=\frac{f\left(x_o+h\right)-f\left(x_0\right)}{x_0+h-x_0}=\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}[/math][br][br]Um die Steigung der Tangente zu berechnen, muss der Grenzwert [math]h\longrightarrow0[/math] gebildet werden. Es muss jedoch darauf geachtet werden, nicht durch Null zu teilen. Daher wird der Zähler zunächst eingesetzt, ausmultipliziert und vereinfacht. Dadurch kann das h im Nenner gekürzt werden (hier am Beispiel der Normalparabel):[br][math]m=\frac{\left(x_0+h\right)^2-x_0^2}{h}=\frac{x_0^2+2\cdot x_0\cdot h+h^2-x_0^2}{h}=\frac{2\cdot x_{0\cdot}h+h^2}{h}=2x_0+h[/math][br]Nun kann der Grenzwert gebildet werden indem [math]h=0[/math] eingesetzt wird: [math]m=2\cdot x_0[/math][br][br]Da die Stelle [math]x_0[/math] beliebig ist, funktioniert dieses Vorgehen überall (außer bei besonderen Funktionen!).[br][br]Der Differentialquotient wird auch als Ableitung [math]f'\left(x\right)[/math] bezeichnet und ist der Grenzwert [math]f'\left(x\right)=lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}[/math] [br]