Einleitung

Kurzinformation
[list][*]Thema: Räuber-Beute-Modell, Differentialgleichungen[br][/*][*]Schulstufe: 7. -8. Klasse (AHS)[br][/*][*]Fach: WPG Mathematik[/*][*]Dauer: 4 Einheiten[br][/*][*]Spezielle Materialien: Laptops[br][/*][*]Ort: Klassenzimmer[br][/*][/list][br]Die Schüler:innen sollen in Gruppenarbeit verschiedenen Pandemie-Modelle erarbeiten. Dazu erhalten sie über ein Padlet verschiedenen Arbeitsblätter. Das Ziel dieses Workshops besteht darin, den Schüler:innen einen Einblick zu geben, wie die gegenseitige Beeinflussung unterschiedlicher Populationen modelliert werden kann, welche Parameter dazu notwendig sind und auf welchen Annahmen die Modelle erstellt wurden. Darüber hinaus sollten sie dazu in der Lage sein, die Modelle interpretieren zu können.
Eingliederung
Das Räuber-Beute-Modell stellt ein sogenanntes biomathematisches Modell dar. Von biomathematischem Modell spricht man dann, wenn zu biologischen oder gesellschaftlichen Fragestellungen mathematische Modelle gesucht und aufgestellt werden. Damit ergibt sich auch ein fächerübergreifender Charakter zur Biologie bzw. Geschichte. 
Rahmenbedingungen
Der hier beschriebene Workshop ist für einen Wahlgegenstand oder auch Wahlpflichtgegenstand (WPG) in Mathematik erstellt worden. Demnach ist davon auszugehen, dass hauptsächlich an Mathematik interessierte Schüler:innen an diesem Workshop teilnehmen. Es ist also grundsätzlich mit Motivation und Bereitschaft auf Seiten der Schüler:innen zu rechnen. Die Gruppe kann dennoch sehr heterogen sein, was entsprechendes Wissen, Fähigkeiten und Fertigkeiten in Bezug auf Mathematik betrifft.   Daher sollte der Workshop auch Elemente der Differenzierung enthalten.Die gegebenen Rahmenbedingungen erlauben es, auch Themen aufzugreifen, die nicht direkt im Lehrplan vorkommen bzw. diesen erweitern. Das hier beschriebene Thema „Räuber- und Beute-Modell“ ist für die 7. – 8. Klasse vorgesehen.  Weiters wird davon ausgegangen, dass der Workshop geblockt im Rahmen von vier Unterrichtseinheiten abgehalten werden kann. Das bedeutet, dass der Workshop in einem durchgeführt werden kann und nicht an unterschiedlichen Tagen stattfindet. Die Schüler:innen brauchen sich demnach nicht jede Einheit neu in das Thema einfinden und haben die Möglichkeit, sich für eine längere Zeitspanne durchgehend mit dem Thema beschäftigen zu können. Das Ziel dieses Workshops besteht darin, den Schüler:innen einen Einblick zu geben, wie die gegenseitige Beeinflussung unterschiedlicher Populationen modelliert werden kann, welche Parameter dazu notwendig sind und auf welchen Annahmen die Modelle erstellt wurden. Darüber hinaus sollten sie dazu in der Lage sein, die Modelle interpretieren zu können. Konkreter bedeutet dies, zu erfassen, welche Auswirkung die Veränderung eines Parameters auf das Geschehen hat. In diesem Zusammenhang sollte die Vorhersage zukünftiger Entwicklungen diskutiert werden.
Vorwissen
[size=100][u]Vorwissen der Schüler:innen:[/u][list][/list][list][*]Wachstums- und Abnahmeprozesse[br][/*][*]Wachstumsmodelle (z.B. Weltbevölkerung, Bakterien, …)[br][/*][*]Differentialrechnung (inkl. Infinitesimale Änderungen, Übergang von diskret zu kontinuierlich, Schreibweise mit „∆“, Interpretationen von Veränderungen, …)[br][/*][*]Diskrete Beschreibung von Prozessen[br][/*][*]Grafische Veranschaulichung von Prozessen[br][/*][*]Interpretationen von dynamischen Veränderungen[/*][/list][br]Darüber hinaus sollten die Schüler:innen mit dem Modellieren vertraut sein. Das heißt, sie wissen, welche Schritte bei einem Modellierungskreislauf zu bewältigen sind. Weiters sind die Schüler:innen Kleingruppenarbeiten gewöhnt und können angemessen sozial interagieren. Ebenso können die Schüler:innen mit Technologie umgehen und diese zur Veranschaulichung und Beschreibung mathematischer Zusammenhänge sinnvoll einsetzen. Insbesondere kennen sie GeoGebra und sind mit den grundlegenden Funktionen vertraut. [/size]
Lernergebnisse und Kompetentzen
[u]Inh[/u][size=100][u]altliche/ mathematische Ziele:[br][/u][br]Die Schüler:innen ...[br][list][*]erfassen das dem Räuber-Beute-Modell zugrundeliegende Konzept zweier Populationen, die einander beeinflussen.[/*][*]erarbeiten mit der Lehrkraft gemeinsam Annahmen, welche für das Räuber-Beute Modell notwendig sind.[/*][*]können nachvollziehen und in eigenen Worten erklären, warum es notwendig ist, entsprechende Annahmen zu treffen, um ein Modell aufzustellen.[/*][*]beschreiben die Grenzfälle des Populationsverhaltens (Beute: exponentielles Wachstum, wenn keine Räuber vorhanden; Räuber: sterben aus, wenn keine Beute vorhanden).[/*][*]sind dazu in der Lage, Parameter zu nennen, welche für die Beschreibung des Populationsverhaltens notwendig sind.[/*][*]können unter Anleitung und Hinführung der Lehrkraft die zugehörigen Differentialgleichungen aufstellen, welche die Zusammenhänge beschreiben.[/*][*]stellen die Differentialgleichung in diskrete Form als Rekursionsformel dar.[/*][*]können mit Hilfe von Technologieeinsatz Verläufe qualitativ wiedergeben, Parameter interpretieren sowie die Konsequenzen bei Veränderung von gewissen Parameterwerten erklären.[/*][*]diskutieren über Grenzen des Modells und reflektieren das Modell hinsichtlich der getroffenen Annahmen.[/*][*]geben Verbesserungsvorschläge an, wodurch das Modell genauer werden würde.[/*][*]können ein zum Räuber-Beute-Modell analoges Modell zur Ausbreitung von Epidemien entwickeln.[/*][*]erläutern, inwiefern gewisse Annahmen zu Vereinfachungen der realen Situation führen.[/*][*]stellen auf Basis von Annahmen zugehörige Differenzen- und Differentialgleichungen auf.[/*][*]nennen zur Beschreibung notwendige Parameter bzw. führen diese ein.[/*][*]nützen Technologie, um das Verhalten unter bestimmten Voraussetzungen qualitativ beschreiben zu können.[/*][*]interpretieren mit Hilfe des Technologieeinsatzes die Differenzen- bzw. Differentialgleichungen bezüglich der verschiedenen Parameter und deren Veränderung.[/*][*]reflektieren und Validieren das vorliegende Modell.[/*][*]geben Möglichkeiten an, wie das Modell verbessert werden kann.[/*][*]betrachten ein verbessertes/genaueres Modell (mit analogen Zielen).[/*][*]vergleichen verschiedene Modelle untereinander und nennen Vor- und Nachteile der einzelnen Modelle.[/*][*]diskutieren einen komplizierteren Epidemic-Calculator im Internet nach Annahmen, Parameter, Verläufe, … .[/*][/list][u]überfachliche Ziele:[br][/u]Die Schüler:innen ...[br][/size][list][*]arbeiten unter Einbeziehung des Individuums in Kleingruppen zusammen.[/*][*]diskutieren über alltagsrelevante und reale Situationen.[/*][*]erkennen Mathematik als Möglichkeit, um Situationen, Fragestellungen und Probleme aus sachlicher Perspektive betrachten zu können.[/*][*]sehen ein, dass durch Mathematik Wirkungszusammenhänge erklärt und beschrieben werden können.[/*][*]nutzen Technologie vorteilhaft aus, um Sachverhalte veranschaulichen und Interpretieren zu können.[/*][*]diskutieren und reflektieren über Gültigkeit und Grenzen.[/*][/list]

Erläuterungen zum didaktischen Szenario

Lehrplanbezug
Da es sich bei dieser Planung um einen Workshop zu einem Wahlgegenstand bzw. Wahlpflichtgegenstand in Mathematik handelt, muss und sollte das Thema nicht zwingend durch den Lehrplan verpflichtend vorgegeben sein. Sinn und Zweck des Workshops ist es, den Schüler:innen zu ermöglichen, für sie interessante mathematische Zusammenhänge zu erkunden und zu beschreiben, die über den Regelstoff hinausgehen. Das gilt auch für das Räuber-Beute-Modell.  Dennoch kann eine grobe Zuteilung zum Lehrplan erfolgen, indem angegeben wird, in welchen Themenbereich das „Räuber-Beute-Modell“ einzuordnen ist:Bereits in der 7. Schulstufe beschäftigen sich die Schüler:innen mit der Differentialrechnung. Im 5. Semester unter „Grundlagen der Differentialrechnung anhand von Polynomfunktionen“ findet sich „Den Differenzen- und Differentialquotienten als Sekanten- bzw. Tangentensteigung sowie in außermathematischen Bereichen deuten können“ (Rechtsinformationssystem des Bundes, 2023), im 6. Semester unter „Erweiterungen und Exaktifizierungen der Differentialrechnung“ ist „Weitere Anwendungen der Differentialrechnung, insbesondere aus Wirtschaft und Naturwissenschaft, durchführen können“ (Rechtsinformationssystem des Bundes, 2023) angeführt. Da das Räuber-Beute-Modell auf Differentialgleichungen basiert und somit die Differentialrechnung eine Voraussetzung für ein Verständnis darstellt, ist das Thema frühestens in der 7. Klasse zu behandeln. Nun werden beim Räuber-Beute-Modell nicht nur einfache Differential-Rechnungen betrachtet, sondern Differential- bzw. Differenzengleichungen. Diese finden sich in der 8. Klasse (7. Semester) unter dem Punkt „Differenzen- und Differentialgleichungen; Grundlagen der Systemdynamik“. Konkreter wird darunter folgendes angeführt: [list][*]Diskrete Veränderungen von Größen durch Differenzengleichungen beschreiben und diese im Kontext deuten können[/*][*]Kontinuierliche Veränderungen von Größen durch Differentialgleichungen beschreiben und diese im Kontext deuten können[/*][*]Einfache Differentialgleichungen lösen können[/*][*]Einfache dynamische Systeme mit Hilfe von Diagrammen oder Differenzengleichungen beschreiben und untersuchen können[/*][/list](Rechtsinformationssystem des Bundes, 2023)Das Räuber-Beute-Modell kann diskret als auch kontinuierlich betrachtet werden, also sind hier Differenzen- als auch Differentialgleichungen relevant. Dieser Punkt des Lehrplans hebt zudem die Deutung von Veränderungen und den dynamischen Aspekt hervor, der auch auf Räuber-Beute-Modelle zutrifft. Beim Räuber-Beute-Modell handelt es sich allerdings nicht um isoliert betrachtete Differentialgleichungen, sondern um gekoppelte, wodurch das Thema mathematisch über den Lehrplanstoff hinausgeht. Unter den allgemeinen Grundsätzen des Mathematikunterrichts wird im Lehrplan unter Aspekte der Mathematik angegeben, dass Mathematik dazu beitragen soll, die Erscheinungen der Welt wahrzunehmen. Unter den Didaktischen Grundsätzen findet sich Lernen in anwendungsorientierten Kontexten und unter den Mathematischen Kompetenzen wird Darstellend-modellierendes Arbeiten erwähnt (Rechtsinformationssystem des Bundes, 2023). Das Räuber-Beute Modell kann auch in diesen grundsätzlichen Leitvorstellungen wiedergefunden werden und berücksichtigt somit Aspekte, die über konkrete mathematische Inhalte des Lehrplans hinausgehen.
Zugang zum Thema
Grundlage, um das Räuber-Beute Modell bearbeiten und verstehen zu können, sind Wachstumsprozesse. Schüler:innen sollten zunächst ein Grundverständnis von solchen Wachstumsprozessen aufbauen. Der Fokus dabei liegt aber nicht auf den zugehörigen Differentialgleichungen und deren Lösung. Bedeutsam ist es, dass die Schüler:innen in Schritte denken können, also mit einer Rekursionsformel umzugehen wissen. In diesem Zusammenhang ist es auch besonders wichtig, dass die vorkommenden Terme richtig interpretiert werden und der Verlauf des Wachstumsprozesses qualitativ beschrieben werden kann. Schließlich sollten verschiedene Wachstumsprozesse, wie beispielsweise das lineare Wachstum, das exponentielle Wachstum, das begrenzte Wachstum und das logistische Wachstum behandelt werden. Dabei soll auf konkrete Anwendungssituationen der jeweiligen Modelle eingegangen und auch Unterschiede der Modelle herausgearbeitet werden. Wachstumsmodelle, in denen es um isolierte Differentialgleichungen und Entwicklungen von einer Population geht, stellen somit eine Grundlage da, auf der ein System aus gekoppelten Differentialgleichungen, wie das Räuber-Beute-Modell, eingeführt und thematisiert werden kann (vgl. Ableitinger, 2011)[br]
Warum lohnt es sich, dieses Szenario durchzuführen?
[size=100]Dieses gewählte Szenario ist lohnenswert, weil es an die Lebenswelt der Schüler:innen anknüpft und ein für sie interessantes Themengebiet darstellt. Dementsprechend wird auch die Motivation zur Bearbeitung höher ausfallen. Außerdem werden damit wichtige mathematische Kompetenzen und Vorgehensweisen abgedeckt, wie zum Beispiel das Modellieren, Differentialgleichungen, das Interpretieren, der Technologieeinsatz usw., wie es die obige didaktische Analyse bereits konkretisiert. Die Schüler:innen können in Kleingruppen selbstständig an einem solchen Modell arbeiten und erleben dabei den Modellierungsprozess mit. Vor allem das Suchen nach weiteren Verbesserungen des Modells kommt hier zum Tragen, indem neue Parameter und noch komplexere Modelle erstellt werden können. Gerader dieser Schritt bleibt im herkömmlichen Mathematikunterricht oft aus, da häufig Verbesserungsvorschläge nur hinterher diskutiert, aber meist nie tatsächlich umgesetzt werden. [/size]
Modellieren im Mathematikunterricht
Das Modellieren im Mathematikunterricht weißt einen starken Realitätsbezug auf. Es wird von einer Problemstellung oder Fragestellung in der Realität ausgegangen. Um eine Lösung zu finden, wird das Problem bzw. die Fragestellung in die Mathematik übersetzt. Dieser Prozess wird als Mathematisierung bezeichnet. Durch das Anwenden von mathematischen Werkzeugen (Formeln, Gleichungen, Grafen, Algorithmen, …) gelangt man zu einem mathematischen Resultat. Dieses Resultat wird dann wieder auf die Realität übertragen. Es folgen Interpretationen und ein Validieren des ursprünglichen Problems der Realität. In diesem Zusammenhang sollten sich die Schüler:innen die kritische Frage stellen, ob das Modell und die zugehörige Lösung für die Realität geeignet und genügend genau ist. Falls nein, kann/muss das mathematische Modell überarbeitet werden. Es handelt sich also um eine Modellierungskreislauf, der durchlaufen wird und beliebig genau angepasst werden kann (vgl. Lindner, 2021).[br][br][img]data:image/png;base64,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vorgestellte Modellierungskreislauf stellt auch Grundlage für die Behandlung des Räuber-Beute-Modells dar. Zu Beginn möchte man in diesem Fall das Verhalten zweier Populationen aus der realen Lebenswelt beschreiben können. Um diese Realität in ein mathematisches Modell zu überführen, müssen entsprechende Annahmen getroffen werden, es kommt also zu Vereinfachungen. Im Falle des Räuber-Beute Modells wären solche Annahmen zum Beispiel: keine weiteren Räuber, keine Krankheiten, konstante Geburten- und Sterberate, unbegrenzter Lebensraum und unbegrenztes Nahrungsangebot für die Beute. Unter diesen Annahmen wird dann ein mathematisches Modell aufgestellt, indem notwendige Parameter (z.B. Geburten- und Sterberaten und Fressfaktor) eingeführt werden. Durch mathematisches Arbeiten, im Falle des Räuber-Beute-Modells das Lösen von gekoppelten Differentialgleichungen oder das Berechnen von Werten durch Rekursion, erhält man mathematische Resultate. Diese werden dann auf die reale Situation übertragen. In diesem Schritt spielen Interpretationen und das Validieren eine wichtige Rolle. Dazu gehören die Interpretation und Auswirkung der einzelnen Parameter, sowie kritisches Denken und Reflektieren, ob die mathematische Lösung realistisch ist. Hierbei soll sich auch wieder bewusst gemacht werden, dass zu Beginn Annahmen getroffen wurden. Gegebenenfalls muss das Modell auch angepasst werden. Zudem kann und soll die Frage gestellt werden, wie ein noch genaueres und besseres Modell erstellt werden könnte. [br][br]Bei Modellierungsaufgaben handelt es sich um „echte“ Anwendungen, die für Schüler:innen relevant und authentisch sind. Sie können für Motivation sorgen und Interesse wecken. In diesem Sinne tragen Modellierungsaufgaben dazu bei, dass Schüler:innen ein besseres Verständnis der Umweltsituation erlangen, die Alltagsrelevanz von Mathematik erfahrbar wird und heuristische Strategien wie Problemlösen, Argumentieren und kreatives Verhalten angeeignet werden (vgl. Lindner, 2021). [br] 
Alltagsrelevanz und didaktischer Mehrwert
Durch die Behandlung von biomathematischen Modellen, wie das Räuber-Beute-Modell oder der Ausbreitung einer Epidemie, können Themen in den Mathematikunterricht eingebunden werden, die auch in den Medien Präsenz haben. Oft werden solche Themen wild diskutiert und lösen emotionale Reaktionen aus. Mit Hilfe der Mathematik und zugehörigen mathematischen Modellen können solche Themen sachlich betrachtet und diskutiert werden. Die Mathematik ermöglicht es, Wirkungszusammenhänge besser zu verstehen und Abhängigkeiten aufzuzeigen. Einfache Modelle, wie sie in diesem Workshop behandelt werden, erlauben zwar keine quantitative Vorhersage, aber es können qualitative Verläufe verstanden und nachvollzogen werden, was wiederum das Verständnis für solche Vorgänge stärkt. In diesem Sinne trägt die Behandlung von solchen Modellen auch zur Allgemeinbildung bei. Die mathematische Betrachtung solcher Modelle ermöglicht es den Schüler:innen, Prozesse der Natur zu verstehen, Einflussfaktoren zu erkennen und zu interpretieren und Zusammenhänge wahrzunehmen (vgl. Ableitinger, 2011). Besonders dieser Realitätsbezug und die Alltagsrelevanz führen dazu, dass das Interesse der Schüler:innen geweckt und eine entsprechende Motivation zur Behandlung solch mathematischer Modelle aufgebaut wird. Genauso bietet sich diese Thematik dazu an, über mathematische Modelle miteinander zu diskutieren. Damit wird auch die soziale Interaktion zu einem wichtigen Bestandteil des Mathematikunterrichts. Durch Zusammenarbeit können andere Blickwinkel wahrgenommen werden oder Aspekte betont werden, an die eine Einzelperson vielleicht gar nicht denken würde. Vor allem für die Modellierung, in der diverse Annahmen getroffen werden und in der reflektiert und validiert wird, ist es umso wichtiger, verschiedenste Positionen einzunehmen und durchzudenken. Durch das Räuber-Beute Modell kann demnach in der Schule soziale Interaktion angeregt werden. Außerdem kann dadurch auch der Vorteil der Zusammenarbeit erkannt und als wertvoll erlebt werden.  
Mehrwert Technologieeinsatz
Für das Räuber-Beute-Modell stellt der Technologieeinsatz speziell für die Auswertung bzw. Interpretation der Parameter und die Beschreibung von Verläufen ein wichtiges Hilfsmittel dar. Durch Differenzengleichungen, welche die mathematische Beschreibung des Modells entsprechen, ist eine rekursive Beschreibung der Entwicklung möglich. Rekursive Berechnungen per Hand sind relativ mühsam, wenn viele Rekursionsschritte notwendig sind. Hier kommt der Mehrwert von Technologie, im Speziellen von Tabellenkalkulationsprogrammen, zum Vorschein. Rekursionsformeln, also im Fall des Räuber-Beute-Modells die Differenzengleichungen, brauchen nur einmal eingegeben werden und damit können in kurzer Zeit eine große Zahl an Durchführungen berechnet werden. Neben der raschen Berechnung vieler Rekursionsschritte ermöglicht Technologieeinsatz auch die zugehörige grafische Veranschaulichung. Dadurch können Verläufe einfach dargestellt werden. Die Veranschaulichung bildet dann eine gute Grundlage, um Verläufe qualitativ zu beschreiben und zu interpretieren. Außerdem können auch Parameter durch Technologieeinsatz einfach analysiert werden, indem verschiedene Zahlenwerte eingesetzt werden können und sofort die neuen zugehörigen Ergebnisse ersichtlich sind. Ohne Technologie müssten hier wieder alle Rekursionsschritte von Beginn an händisch durchgearbeitet werden. In diesem Zusammenhang erweist sich der Technologieeinsatz auch bei der Interpretation als äußerst hilfreich. Es können „Was-wäre-wenn“ Szenarien einfach durchgespielt werden, wodurch wiederum Diskussionsräume geschaffen werden können. 
Mehrwert gegenüber Unterricht im Klassenraum
Dieses Thema wurde einerseits als Workshop entwickelt, da das Thema „Räuber-Beute-Modell“ im Lehrplan nicht direkt vorkommt und somit oft nicht die nötige Zeit dafür im Unterricht übrigbleibt. Andererseits bietet die Aufbereitung des Workshops im Gegensatz zum Unterricht im Klassenraum die Möglichkeit, dass die Schüler:innen in Kleingruppen daran arbeiten, ein eigenes Modell zur Ausbreitung einer Pandemie aufzustellen. Dazu können sie auch losgelöst vom Klassenraum in anderen Räumlichkeiten arbeiten. Zudem gibt es keine konkreten Vorgaben, was erreicht werden muss. Das Ziel liegt darin, dass sich die Schüler:innen mit dem Thema auseinandersetzen und im eigenen Tempo Zusammenhänge und Abhängigkeiten erkunden und auch interpretieren. Sie sollten die Einflüsse verschiedenster Parameter herausfinden und einschätzen lernen. Dazu darf auch Technologie verwendet werden. Damit wird es möglich, in der Kleingruppe verschiedenste Verläufe nachzustellen und zu interpretieren. Die Tatsache, dass es sich hier nicht um einen Unterricht im Klassenraum im klassischen Sinne handelt, sollte auch etwas die Angst vor eventuell falschen Vermutungen und Äußerungen nehmen. Jede Idee soll in der Kleingruppe diskutiert und mit Hilfe von Technologie überprüft werden und kann damit zu einem besseren und vertiefteren Verständnis beitragen. Außerdem handelt es sich um einen Workshop, der im Zuge des Wahlpflichtfaches in Mathematik durchgeführt wird. In diesem Sinne sollte hier auch auf die Interessen der Schüler:innen eingegangen werden. Durch den Alltagsbezug ist die Thematik des „Räuber-Beute-Modells“ dabei meist sehr geeignet. 
Warum haben Sie diesen Ansatz gewählt?
Die obigen Punkten sind der Grund, warum wir diesen Ansatz gewählt haben.[br][br]Die Inhalte gehen über den Lehrplan hinaus, dienen der Vertiefung und haben daher einen großen Mehrwert für die Schüler:innen. Zusätzlich besteht ein großer Alltagsbezug und der Inhalt knüpft an der Lebenswelt der Schüler:innen an. Das Thema bietet auch die Möglichkeit vielfältige inner- und außermathematische Kompetenzen zu fördern (Modellieren, Technologieeinsatz, ...).[br]
Literatur
[list][*]Ableitinger, C. (2011). Biomathematische Modelle im Unterricht. Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlage mit Unterrichtsmaterialien. Vieweg + Teubner Verlag. [/*][*]Linder, A. (2021). FD Mathematik der SEK 2. SS 2021.[br][/*][*]Rechtsinformationssystem des Bundes (2023). Bundesrecht konsolidiert: Gesamte Rechtsvorschrift für Lehrpläne – allgemeinbildende höhere Schulen, Fassung vom 30.03.2023. URL: [url=https://www.ris.bka.gv.at/GeltendeFassung.wxe?Abfrage=Bundesnormen&Gesetzesnummer=10008568]https://www.ris.bka.gv.at/GeltendeFassung.wxe?Abfrage=Bundesnormen&Gesetzesnummer=10008568[/url][br][/*][/list]

Ablauf der Unterrichtssequenz

Tabellarische Übersicht
[br][table][tr][td][b][size=150][size=200][/size][/size][size=150]Phase[/size][size=150][size=200][/size][/size][/b][/td][td][b][size=150]Dauer[/size][/b][/td][td][b][size=150]Ablauf[/size][/b][/td][td][b][size=150]Medien, Sozialform[/size][/b][b][/b][/td][/tr][tr][td]Einführung in das Räuber-Beute-Modell[br][/td][td]75 min[/td][td][list][*]Vorwissen aktivieren: Wachstumsmodelle [/*][*]Überleitung: Entwicklung zweier voneinander abhängiger Populationen [/*][*]Modell aufstellen:  Annahmen treffen, Grenzfälle betrachten, notwendige Parameter definieren[/*][*]System aus gekoppelten Differentialgleichungen aufstellen[/*][*]Geschichte: Lotka-Volterra Modell[/*][*]Rekursive Darstellung (diskrete Form) des Räuber-Beute Modells und Veranschaulichung durch GeoGebra ([url=https://www.geogebra.org/m/vwethmwy]https://www.geogebra.org/m/vwethmwy[/url]) [/*][*]Partnerarbeit: Interpretation[/*][*]Ergebnissicherung [/*][/list][br][/td][td]GeoGebra, Padlet, PowerPoint[br][br]Plenum, Lehrer-Schüler-Interaktion, fragestellender Charakter, Partnerarbeitsphasen[br][/td][/tr][tr][td]Kleingruppenarbeit: Ausbreitung einer Epidemie[/td][td]100 min[br][/td][td][list][*]Übertragung des Räuber-Beute-Schemas auf die Ausbreitung einer Epidemie[/*][*]Schüler:innen teilen sich in kleinen Gruppen zu je maximal  3 Personen [/*][*]Schrittweise werden drei verschiedene, immer komplizierter bzw. umfangreicher werdende Modelle anhand zugehöriger Arbeitsblätter selbstständig erarbeitet, interpretiert und analysiert, die zugehörigen Materialien finden sich am Padlet ([url=https://padlet.com/gutenbergereva/r-uber-beute-modell-8tcpm9dtuj7grd4d]https://padlet.com/gutenbergereva/r-uber-beute-modell-8tcpm9dtuj7grd4d[/url])[/*][*]Nach jedem Modell erfolgt eine Ergebnissicherung, indem Kommentare und ausgefüllte Arbeitsblätter im Padlet festgehalten werden[/*][*]Die Lehrperson beobachtet das Geschehen und steht für Hilfe zur Verfügung, anhand der Ergebnissicherung im Padlet verfolgt sie den Fortschritt und kann gegebenenfalls bei Schwierigkeiten eingreifen[/*][*]AB zum Phasendiagramm/Gleichgewichtslage für schnelle bzw. interessierte Schüler:innen[/*][/list][/td][td]Padlet, Arbeitsblätter, GeoGebra[br]Kleingruppenarbeit[br][/td][/tr][tr][td]Ergebnissicherung[/td][td]25 min[/td][td][list][*]Nach der Kleingruppenarbeit werden die Ergebnisse unter Zuhilfenahme des Padlets und eines noch umfangreicheren Epidemic-Calculators ([url=https://gabgoh.github.io/COVID/index.html]https://gabgoh.github.io/COVID/index.html[/url])  im Plenum verglichen und diskutiert[/*][*]Wichtige Aspekte werden nochmal im Lehrer-Schüler-Gespräch aufgegriffen und betont (Differenzen- und Differentialgleichungen, verwendete Parameter, Interpretationen und qualitativer Verlauf)[/*][*]Fragen werden gegebenenfalls geklärt[/*][*]Musterlösungen zu den Arbeitsblättern werden am Ende über das Padlet zur Verfügung gestellt[/*][/list][/td][td]Padlet, Epidemic-Calculator, GeoGebra[br]Plenum, Lehrer-Schüler-Interaktion[br][br][/td][/tr][/table]
Padlet
Die Basis des Workshops bildet ein Padlet ([url=https://padlet.com/gutenbergereva/r-uber-beute-modell-8tcpm9dtuj7grd4d]https://padlet.com/gutenbergereva/r-uber-beute-modell-8tcpm9dtuj7grd4d[/url]), auf dem notwendige Informationen, Arbeitsblätter, GeoGebra Applets, Anleitungen und Inputs zu finden sind. Gleichzeitig sollten in diesem Padlet wichtige Erkenntnisse und Ergebnisse der Schüler:innen festgehalten werden, indem sie Beiträge (z.B. Kommentare und ausgefüllte Arbeitsblätter) nach jedem Arbeitsschritt posten. Damit wird es für die Lehrkraft möglich, den Fortschritt nachzuvollziehen und gegebenenfalls auftretende Schwierigkeiten bereits in der Arbeitsphase zu erkennen und darauf reagieren zu können. Gleichzeitig findet somit bereits eine Form der Ergebnissicherung statt. Da alle Gruppen auf das Padlet zugreifen können, wird es auch möglich, die verschiedenen Ergebnisse und Erkenntnisse miteinander zu vergleichen und zu diskutieren. Am Ende ist somit das Thema des Workshops übersichtlich festgehalten. 
Einleitung/ Erarbeitung
In der ersten Phase des Workshops, der Einführung, wird das Schema des Räuber-Beute Modells gemeinsam mit den Schüler:innen in einem aktiven Prozess des Lehrer-Schülergesprächs und kleinen Partnerarbeiten eingeführt und folgenderweise erarbeitet:Vorwissen aktivieren: Verschiedene Wachstumsmodelle werden im Klassenverband als Möglichkeit zur Beschreibung der Entwicklung von Populationen wiederholt (lineare, exponentielles, logistisches und begrenztes Wachstum). Fragestellung: Basierend auf das Vorwissen wird die Frage: „Wie kann die Entwicklung zweier voneinander abhängiger Populationen beschrieben werden?“ in den Klassenraum gestellt. Entsprechende Ideen auf Seiten der Schüler:innen werden gesammelt und diskutiert. In diesem Zusammenhang wird auch nach Beispielen für solch voneinander abhängigen Populationen gesucht (z.B. Hase – Fuchs, Hai – Speisefisch, …)Einfaches Räuber-Beute-Modell aufstellen: Zunächst werden im Plenum Annahmen gesammelt, die man für die Beschreibung der Wechselwirkung der Populationen (Hai und Speisefisch) treffen kann. Dies geschieht durch Unterstützung einer PowerPoint, welche die Lehrkraft mit den Ideen der Schüler:innen ergänzt. Gegebenenfalls gibt die Lehrkraft unterstützende Fragestellungen, damit notwendige Annahmen abgeleitet werden können. Anschließend werden die Grenzfälle diskutiert, in denen entweder nur Räuber ohne Beute oder nur Beute ohne Räuber existiert. Dazu kann die Lehrkraft wieder entsprechende Fragen stellen. Die Schüler:innen sollten kurz in Partnerarbeit darüber diskutieren, bevor die Erkenntnisse im Plenum zusammengetragen werden.  Anschließend wird der wechselseitige Einfluss beider Populationen aufeinander im Plenum diskutiert. Dabei werden notwendige Parameter, wie Geburtenrate, Sterberate und Fressrate eingeführt und festgehalten. Daraus wird die Wechselwirkung in Form eines Systems aus gekoppelten Differentialgleichungen mit den Schüler:innen gemeinsam erarbeitet. Es folgt ein kurzer geschichtlicher Input der Lehrperson über das sogenannte Lotka-Volterra Modell. Veranschaulichung und Interpretation: Um anschließend die Wechselwirkung der Populationen (Haie und Speisefische) veranschaulichen zu können, wird im Plenum die Differentialgleichung in eine Differenzengleichung umgeschrieben. Mit der rekursiven Darstellung ergibt sich nun eine Möglichkeit, Rekursionsglieder zu berechnen. Dazu zeigt die Lehrperson über den Beamer ein zugehöriges GeoGebra Applet ([url=https://www.geogebra.org/m/vwethmwy]https://www.geogebra.org/m/vwethmwy[/url]) her. Anschließend bearbeiten und probieren die Schüler:innen in Partnerarbeit dieses Appelt. Durch Variation der Parameter sollen entsprechende Auswirkungen diskutiert werden. Es folgt eine Ergebnissicherung der Erkenntnisse im Plenum. Die Interpretationen werden wieder auf PowerPoint verschriftlicht. 
Kleingruppenarbeit: Ausbreitung einer Epidemie
In dieser Arbeitsphase soll das in der Einführung kennengelernte Räuber-Beute-Modell auf die Ausbreitung einer Epidemie übertragen werden. Das soll in Form von Kleingruppen von maximal 3 Personen pro Gruppe erfolgen. Die Schüler:innen dürfen sich die Gruppen dabei frei einteilen. Die Erarbeitung erfolgt in drei Schritten, wobei in jedem Schritt ein komplizierter werdendes, erweitertes Modell des vorangegangenen aufgestellt wird. Die Grundlage für die Erarbeitung stellen zugehörige Arbeitsblätter dar: [br][br]AB Modell 1: es findet eine Beschränkung auf nur kranke und gesunde Personen statt[br]AB Modell 2: Erweiterung des Modells 1 um immunisierte Personen[br]AB Modell 3: Erweiterung des Modells 2 um einen Grenzwert an erkrankten Personen[br][br]Mit Hilfe der Arbeitsblätter wird der jeweils zugehörige Modellierungskreislauf mit entsprechenden Annahmen, dem Einführen notwendige Parameter, etc. durchlaufen, sodass ein diskretes und kontinuierliches Modell aufgestellt werden kann. Anschließend wird dieses Modell interpretiert und die Variation verschiedener Parameter diskutiert – Es findet die Anwendung auf die Realität statt. Dazu kann und soll ein für jedes Modell angefertigtes GeoGebra Applet in einem dafür angefertigtem GeoGebra Buch ([url=https://www.geogebra.org/m/h2anzdcf]https://www.geogebra.org/m/h2anzdcf[/url]) verwendet werden. Abschließend werden Vor- und Nachteile des jeweiligen Modells gesammelt und Verbesserungsvorschläge, um ein noch genaueres und besseres Modell zu erhalten, gesucht. Die Schüler:innen halten dabei ihre Ergebnisse zu jedem der Modelle schriftlich im Padlet fest, indem sie beispielsweise ihr ausgefülltes Arbeitsblatt hochladen. Die Lehrperson dient während dieser Arbeitsphase als Coach und steht für Fragen zur Verfügung. Zudem beobachtet sie den Fortschritt, unter anderem auch durch die entsprechende Ergebnissicherung im Padlet, und kann bei Schwierigkeiten eingreifen. Im Rahmen dieser Arbeitsphase dürfen sich die Schüler:innen die Pausenzeit des 4h -Blocks frei einteilen. Für besonders schnelle und/oder interessierte Schülerinnen und Schüler wurde ein zusätzliches Arbeitsblatt erstellt, mit Hilfe dessen das Phasendiagramm vom Räuber-Beute-Modell, in dem die Räuberpopulation gegen die Beutepopulation aufgetragen wird, erarbeitet wird. In diesem Zusammenhang wird auch die Gleichgewichtslage betrachtet. 
Ergebnissicherung
Die Ergebnissicherung findet im Plenum statt. Dazu wird das Padlet mit den Ergebnissen aller Gruppen verwendet. Zunächst werden die wesentlichen Erkenntnisse der drei Modelle (Differenzen- und Differentialgleichungen, Annahmen, Vereinfachungen, notwendige Parameter, Interpretationen und Verläufe) diskutiert. In diesem Zusammenhang werden zugehörige GeoGebra Applets aus dem GeoGebra Buch bzw. ein komplizierterer und umfangreicherer Epidemic-Calculator ([url=https://gabgoh.github.io/COVID/index.html]https://gabgoh.github.io/COVID/index.html[/url]) verwendet. Anschließend werden die Ergebnisse und Erkenntnisse der Gruppen aufgegriffen und diskutiert. Auftretende Fragen und Unklarheiten werden geklärt. Diese Ergebnissicherung wird in Form eines Lehrer-Schüler-Gespräches abgehalten, indem auch die einzelnen Gruppen immer wieder dazu aufgefordert werden ihre Ergebnisse und Überlegungen mit allen anderen zu teilen. Nach dem Workshop werden Musterlösungen zu den Arbeitsblättern auf dem Padlet zur Verfügung gestellt. 
Ausblick
Falls auf Seiten der Schüler:innen Interesse besteht, könnte an diesem Workshop anschließend auch die Wechselwirkung von drei Populationen betrachtet werden. Zum Beispiel den Verlauf von Populationsentwicklungen, wenn es zwei Räuber und eine Beute gibt. Diese Wechselwirkung ist jedoch noch weit komplexer und muss für Schüler:innen entsprechend aufbereitet und vereinfacht werden.

Arbeitsblätter & PowerPoint

Räuber-Beute-Modell
Modell1_AA
Modell1_Musterloesung
Modell2_AA
Modell2_Musterloesung
Modell3_AA
Modell3_Musterloesung
AB_Phasendiagramm
AB_Phasendiagramm_Musterloesung

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