[justify][b][u]Unidad de trabajo[/u][/b][/justify][justify]Unidad 2: Factores y Productos[/justify][br][justify][b][u]Objetivos de aprendizaje[/u][/b][/justify][justify]Cada estudiante: Calcula productos notables y los factorizan.[/justify][br][justify][b][u]¿Qué es un producto notable?[/u][/b][/justify][justify]Es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.[/justify][justify]Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.[/justify][br][justify][b][u]Tipos de productos notables[/u][/b][/justify][list][*][b]Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio:[/b][/*][/list][justify][math]\rightarrow[/math]Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:[/justify][center][math](a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/math][/center][justify][math]\rightarrow[/math]Un trinomio de la expresión siguiente [math]a^2+2ab+b^2[/math] se conoce como trinomio cuadrado perfecto.[/justify][justify][math]\rightarrow[/math]Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:[/justify][center][math](a-b)^2=a^2-2ab+b^2[/math][/center][justify]En ambos casos el signo del tercer término es siempre positivo.[/justify][justify][b]Ejemplo:[/b][/justify][center][math](ax-3y)^2=(2x)^2+2(2x)(-3y)+(-3y)^2[/math][/center][justify]Simplificando:[/justify][center][math](2x-3y)^2=4x^2-12xy+9y^2[/math][/center][br][list][*][b]Producto de dos binomios con un término en común:[/b][/*][/list][justify][math]\rightarrow[/math]Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, el cuadrado del término común se suma con el producto del término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.[/justify][center][math](x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab[/math][/center][justify][b]Ejemplo:[/b][/justify][center][math](3x+4)(3x-7)=(3x)(3x)+(3x)(-7)+(3x)(4)+(4)(-7)[/math][/center][justify]Agrupando términos:[/justify][center][math](3x+4)(3x-7)=9x^2-21x+12x-28[/math][/center][justify]Luego:[/justify][center][math](3x+4)(3x-7)=9x^2-9x-28[/math][/center][br][list][*][b]Producto de dos binomios conjugados:[/b][/*][/list][justify][math]\rightarrow[/math]Dos [b]binomios conjugados[/b] se diferencian sólo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene una [b]diferencia de cuadrados.[/b][/justify][center][math](a+b)(a-b)=a^2-b^2[/math][/center][justify][b]Ejemplo:[/b][/justify][center][math](3x+5y)(3x-5y)=(3x)(3x)+(3x)(-5y)+(5y)(3x)+(5y)(-5y)[/math][/center][justify]Agrupando términos:[/justify][center][math](3x+5y)(3x-5y)=9x^2-25y^2[/math][/center][justify][math]\rightarrow[/math]A este producto notable también se le conoce como [b]suma por la diferencia.[/b][/justify][br][list][*][b]Polinomio al cuadrado:[/b][/*][/list][justify][math]\rightarrow[/math]Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.[/justify][center][math](a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)[/math][/center][center][math](a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)[/math][/center][justify][b]Ejemplo:[/b][/justify][center][math](3x+2y-5z)^2=(3x+2y-5z)(3x+2y-5z)[/math][/center][justify]Multiplicando los monomios:[/justify][center][math](3x+2y-5z)^2=3x\cdot3x+3x\cdot2y+3x\cdot(-5z)+2y\cdot3x+2y\cdot2y+2y\cdot(-5z)+(-5z)\cdot3x+(-5z)\cdot2y+(-5z)\cdot(-5z)[/math][/center][justify]Agrupando términos:[/justify][center][math](3x+2y-5z)^2=9x^2+4y^2+25z^2+2(6xy-15xz-10yz)[/math][/center][justify]Luego:[/justify][center][math](3x+2y-5z)^2=9x^2+4y^2+25z^2+12xy-30xz-20yz[/math][/center][br][list][*][b]Binomio al cubo o cubo de un binomio[/b][/*][/list][justify][math]\rightarrow[/math]Para calcular el cubo de un binomio se suman, sucesivamente:[/justify][list=1][*]El cubo del primer término con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.[/*][*]El triple producto del primero por el cuadrado del segundo.[/*][*]El cubo del segundo término.[/*][/list][center][math](a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/math][/center][justify][b]Identidades de Cauchy:[/b][/justify][center][math](a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)[/math][/center][justify][b]Ejemplo:[/b][/justify][center][math](x+2y)^3=x^3+3(x)^2(2y)+3(x)(2y)^2+(2y)^3[/math][/center][justify]Agrupando términos:[/justify][center][math](x+2y)^3=x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3[/math][/center][br][justify][math]\rightarrow[/math]Si la operación del binomio implica resta, el resultado es:[/justify][list=1][*]El cubo del primer término.[/*][*][b]Menos[/b] el triple producto del primero por el segundo.[/*][*][b]Más[/b] el triple producto del primero por el cuadrado del segundo.[/*][*][b]Menos[/b] el cubo del segundo término.[/*][/list][center][math](a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3[/math][/center][justify][b]Identidades de Cauchy:[/b][/justify][center][math](a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b)[/math][/center][justify][b]Ejemplo:[/b][/justify][center][math](x-2y)^3=x^3-3(x)^2(2y)+3(x)(2y)^2-(2y)^3[/math][/center][justify]Agrupando términos:[/justify][center][math](x-2y)^3=x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3[/math][/center]