[url=https://es.wikipedia.org/wiki/D%27Arcy_Wentworth_Thompson]D'Arcy Thompson[/url] resume así el problema de las abejas en su obra "Sobre el crecimiento y la forma": [i]La más famosa de todas las construcciones hexagonales, y una de las más bellas, es la celdilla del panal. Lo mismo que el basalto o el coral, nos encontramos con unos cilindros iguales, de sección circular, comprimidos hasta transformarse en prismas hexagonales. Pero en este caso existen dos capas de cilindros o prismas enfrentadas, lo cual supone un nuevo problema en relación con sus extremos interiores. Podríamos suponer que los cilindros originales tenían extremos esféricos, que es la forma natural y simétrica de rematarlos....[/i][br][br]Así comienza un problema en el que nos vamos a adentrar con las herramientas de la ciencia, de las matemáticas y de GeoGebra para estudiar la solución de las abejas y de paso abrir caminos a otras posibilidades para el desarrollo de su especie.[br][br]Las explicaciones que se han dado a lo largo de la historia en algunos casos han sido de tipo animista: [i]la mentalidad geométrica de las abejas y su disciplina, hacen que construyan de la mejor manera posible[/i]. En otros momentos se ha ido hacia ideas económicas: [i]Las abejas utilizan una disposición que requiere la menor cantidad de cera para construir recintos en los que quepa la mayor cantidad de miel posible para asegurar el futuro de la colmena[/i]. Sin olvidar las leyes de la física: [i]Las presiones de unos círculos contra otros dan lugar a unos polígonos determinados[/i].[br][br]Una cronología en el estudio de los panales[br][list][*]En el 36 a.c. [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Varr%C3%B3n]Marco Terencio Varrón[/url], militar, político y filólogo es autor de un tratado sobre la agricultura en el que describe las construcciones hexagonales de los panales y afirma: "los geómetras prueban que el hexágono inscrito en una circunferencia contiene la cantidad más grande de espacio"[/*][*]En el 320 d.c., [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Papo_de_Alejandr%C3%ADa]Pappus de Alejandría[/url] estudia la disposición hexagonal de celdillas y justifica la ausencia de huecos entre ellas: para que no se almacenen impurezas que contaminen la miel ni a las larvas y concluye: [i]de los tres polígonos regulares que rellenan el plano, el hexágono es el que tiene la mayor relación superficie/perímetr[/i]o. Esta afirmación se generaliza en forma de [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_del_panal_de_abeja]conjetura del panal de abejas[/url] y se extiende la afirmación anterior a todo tipo de polígonos: [i]Cualquier partición del plano en regiones de igual área tiene como mínimo el mismo perímetro que la división hecha con hexágonos regulares[/i].[/*][*]En 1611 [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler]Kepler[/url] en "Regalo de Año nuevo. Sobre el copo de nieve hexagonal" va más allá al analizar el fondo de las celdillas y los encajes de unas con otras que vienen en sentido opuesto y a partir de esas observaciones encuentra que las abejas utilizan una parte de un poliedro que él ha estudiado con detenimiento, el dodecaedro rómbico. [/*][*]En 1712, el matemático y astrónomo [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Jacques_Philippe_Maraldi]Giacomo Maraldi[/url] realiza mediciones de los ángulos de los rombos del fondo de las celdillas obteniendo 109º 28' y 70º 32' aunque tanta precisión sorprende para unos polígonos tan pequeños con los instrumentos de la época.[/*][*]En el siglo XVIII el físico y entomólogo francés [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Antoine_Ferchault_de_R%C3%A9aumur]R. de Réaumur[/url] pensaba que la estructura de las celdillas se debía a un principio de mínimo y propuso a los matemáticos el cálculo de los ángulos del rombo para que el gasto en cera sea el menor posible para un determinado volumen de la celdilla. En 1739 [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Johann_Samuel_K%C3%B6nig]Johan Koening[/url] da un cálculo muy aproximado (dos minutos de error que se debe al arrastre de un error existente en las tablas de cálculo de la época) y en 1743 [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Colin_Maclaurin]Colin Maclaurin [/url]realiza los cálculos exactos con métodos geométricos.[/*][*]Charles Darwin (1809-1882) también intervino en el debate científico acerca de los panales:[i] las abejas que mejor economizan la cera para construir sus celdillas son las que han evolucionado.[/i][br][/*][*]En 1964 [url=https://en.wikipedia.org/wiki/L%C3%A1szl%C3%B3_Fejes_T%C3%B3th]Lázsló FejesTóth[/url] probó que las bases de las celdillas cerradas con tres rombos no eran formas óptimas y encontró un poliedro formado por dos hexágonos y dos rombos que deriva del octaedro truncado (sólido de Kelvin). [/*][*]En 1999 [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Thomas_Callister_Hales]Thomas C. Hales[/url], utilizando ideas de Féjés Tóth, convierte en teorema la conjetura del panal demostrando que la rejilla hexagonal es la mejor manera de dividir una superficie en regiones de igual área y con el mínimo perímetro total. Un problema que se había mantenido abierto durante más de 2000 años.[br][/*][/list][br]En las siguientes páginas del libro de GeoGebra comenzaremos con círculos que se convierten en hexágonos para rellenar el plano, pasaremos a rellenar el espacio sin dejar huecos y terminaremos preguntando a los apicultores qué técnicas utilizan para mejorar la producción de las abejas. El camino está sembrado de polígonos, ángulos, poliedros, fuerzas, economía de materiales, optimización y geometría y es que los científicos no han encontrado una única causa que justifique estas construcciones. Actualmente (Nezzi, 2016) se considera que la conjunción de explicaciones físicas, biológicas, económicas y matemáticas se traducen en la geometría de los panales.

Esta actividad pertenece al libro[url=https://www.geogebra.org/m/yptgm5n4] La geometría del panal [/url]de [url=https://www.geogebra.org/u/jamora]José Antonio Mora[/url]