El [i]plano tangente[/i] a una superficie en un punto nos permite aproximar el valor de la función en puntos cercanos, de manera similar a cómo la recta tangente aproxima funciones de una variable.[br][br]Idea fundamental[br]Si tenemos una función f(x,y) y conocemos su valor en un punto (x₀, y₀), podemos usar el plano tangente en ese punto para estimar f(x,y) en puntos (x,y) próximos a (x₀, y₀).[br][br]El plano tangente[br]La ecuación del plano tangente a z = f(x,y) en el punto (x₀, y₀, f(x₀,y₀)) es:[br][br]z = f(x₀,y₀) + fₓ(x₀,y₀)·(x - x₀) + fᵧ(x₀,y₀)·(y - y₀)[br][br]donde fₓ y fᵧ son las derivadas parciales de f respecto a x e y.[br][br]Aproximación lineal[br]Para aproximar f(x,y) cerca de (x₀, y₀) usamos:[br][br]f(x,y) ≈ f(x₀,y₀) + fₓ(x₀,y₀)·(x - x₀) + fᵧ(x₀,y₀)·(y - y₀)[br][br]Esta expresión se llama [b]aproximación lineal[/b] o [b]diferencial total[/b] de f en (x₀, y₀).[br][br]Interpretación geométrica[br][list][*]El plano tangente "toca" la superficie en (x₀, y₀)[/*][*]Cerca de este punto, el plano y la superficie están muy próximos[/*][*]Cuanto más cerca esté (x,y) de (x₀, y₀), mejor será la aproximación[/*][/list]En definitiva, el plano tangente proporciona una herramienta práctica para estimar valores de funciones complejas usando información local: el valor de la función y sus derivadas parciales en un punto conocido.