Szerkesztések
Napjainkban a közoktatás geometria oktatásában háttérbe szorulnak a szerkesztési feladatok. Nem biztos, hogy ez szerencsés, mert sok hasznos gondolat nem tud kibontakozni emiatt. A GeoGebra eszközt kínálhat arra is, hogy a szerkesztések megközelítsék az őket megillető helyet tanításaban.
Table of Contents
- Általános
- Technikai tudnivalók (48.)
- Osszunk fel egy körlapot egy folytonos vonallal ...
- KöMaL B. 5267.
- Háromszög szerkesztése
- Adott a síkban két pont, (4.)
- Szerkesszünk háromszöget! (3.)
- gyk_66 - Derékszögű háoromszög szerkesztése
- gyk_355 - Egy szerkesztési probléma
- 209. - Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok
- Kék feladatgyűjtemény 228.
- Kék feladatgyűjtemény 226.
- Kék feladatgyűjtemény 225.
- 2025. 158.
- Kék feladatgyűjtemény 241.
- Geometriai inverziós szerkesztések
- Sz02 Adott két kör ...
- Sz04 Adott a síkban 3 különböző pont, ...
- Kör szerkesztése
- Sz03 Adott két egyenes, ...
- Korlátozott szerkesztési lépések
- Szerk.01 Szerkesztés "egyélű" egyenes vonalzóval
- Négyszög szerkesztés
- gyk_121 - hasonlóság
- gyk_127 - trapéz szerkesztése
- Apollóniusz-körös szerkesztések
- Adott a síkban három pont ... (283.)
Technikai tudnivalók (48.)
[size=85][list=1][*]A GeoGebra tananyagok appleteket tartalmaznak.[/*][*]Minden applet jobb alsó sarkán egy négyzetet tartalmazó gomb látható, erre kattintva az applet "kinyílik". Az egész képernyőt elfoglalja. Ha még egyszer kattintunk, akkor az applet visszanyeri eredeti méretét.[/*][*]Az appletek nagy részén vezérlő gombok találhatók:[br]"T" - egy előre lépés (Ha eltűnik, akkor nem lehet tovább előre lépni.)[br]"V" - egy visszalépés[br]"C" - újra kezdés[/*][*]Ha az appletek animációkat tartalmaznak, akkor az applet alján az animációt indító, és leállító gombok találhatók[/*][*]Ha nyomvonalat rajzoltatunk az appletben, akkor a kép kis mozgatásával törlődik a nyomvonal,[/*][/list][/size]
Adott a síkban két pont, (4.)
[size=85][i]O [/i]és [i]M. S[/i]zerkesszünk olyan háromszöget melynek magasságpontja [i]M, [/i]és köré írt körének középpontja O[i].[/i][/size]
A lemmára vonatkozó sejtéshez
Lemma (segédtétel)
[size=85]A háromszög magasságpontját tükrözve az egyik oldal felezőpontjára, a háromszög köré írt kör szemközti csúccsal átellenes pontját kapjuk.[br][br][/size][size=85]A bizonyítás történhet [url=http://sagv.gyakg.u-szeged.hu/tantargy/mat/VEKTOR.HTM]vektorosan[/url] is , da a[url=http://lexikon.fazekas.hu/206.html] húrnégyszögek tételével[/url] is.[/size]
Szerkesztés
[size=85]A szerkeszthetőség feltétele, hogy az [math]F_a[/math][/size]-[size=85]ra illeszkedő, [math]m_a[/math][/size]-[size=85]ra merőleges egyenes metssze a kört.[/size]
Sz02 Adott két kör ...
[size=85]([i]k[/i][sub]1[/sub], [i]k[/i][sub]2[/sub]) és egy pont (O). Szerkesszünk olyan kört, ami illeszkedik az adott pontra és érinti az adott köröket![/size]
Szerkesztés
[size=85]Egy [i]O[/i] pólusú inverzió esetén a keresett [url=https://www.geogebra.org/m/ybbjdppp#material/xnhfn7bn]kör képe egyenes[/url]. Ez az egyenes érinti az adott két kör inverz képeit. Kényelmi szempontból olyan inverziót választunk, melyre nézve a [i]k[/i][sub]1[/sub] kör invariáns. Kihasználhatjuk még, hogy a geometriai inverzió [url=https://www.geogebra.org/m/ybbjdppp#material/dfyyjpak]szimmetrikus transzformáció[/url]. Ezek alapján a szerkesztés menete:[br][list=1][*][size=85]az inverzió alapköre [math]\Longrightarrow k_0[/math][br][/size][/*][*][size=85][math]k_2[/math] inverze [math]k_0[/math]-ra [math]\Longrightarrow k_2'[/math][br][/size][/*][*][size=85][url=https://tudasbazis.sulinet.hu/hu/matematika/matematika/matematika-10-osztaly/a-korokrol-tanultak-ismetlese/ket-kor-kozos-erintoinek-megszerkesztese]közös érintők szerkesztése[/url] [url=https://www.youtube.com/watch?v=z-YxfG42P2M][math]k_1[/math]-hez és [math]k_2'[/math]-hez[/url][/size][/*][*]a 3.-ban kapott érintők inverzei[/*][/list][/size]
Diszkusszió
[size=85]A megoldások számának vizsgálata nagyon bonyolult. Próbálkozunk minél több esetet vizsgálni, de a teljesség illúziójában nem ringatjuk magunkat.[br][/size][size=85]Ha [i]k[/i][sub]1[/sub] és [i]k[/i][sub]2[/sub] egymáson kívül vannak, és [i]O [/i]mindegyik körnek külső pontja, akkor [u]4 megoldás[/u]. (lásd 1. applet)[br][/size][size=85]Ha [i]k[/i][sub]1[/sub] és [i]k[/i][sub]2[/sub] kívülről érintik egymást, és [i]O [/i]mindegyik körnek külső pontja, akkor [u]3 megoldás[/u].[/size]
[size=85]Ha [i]k[/i][sub]1[/sub] és [i]k[/i][sub]2[/sub] metszik egymást, és [i]O [/i]mindegyik körnek külső pontja, akkor 2[u] megoldás[/u]. (lásd 1. applet)[br]Ha a két adott kör közül az egyeik belsejében van a másik, és az adott pont mindegyiknek külső pontja, akkor [u]mincs megoldás[/u].[br]Ha a körök közül az egyik a másikat belülről érinti, és [i]O [/i]mindegyik körnek külső pontja, akkor [u]1 megoldás[/u].[/size]
[size=85]Ha az adott pont az egyik adott körre illeszkedik, akkor az keresett kör inverz [url=https://www.geogebra.org/m/ybbjdppp#material/nuv3dxgm]képe egyenes[/url]. Ekkor módosul a szerkesztés:[/size]
Sz03 Adott két egyenes, ...
[size=85][i]a[/i], és [i]b[/i] valamint az utóbbi egyenesre illeszkedő [i]P [/i]pont. Szerkesszünk olyan kört, illeszkedik a [i]P[/i]-re, érinti [i]a-[/i]t, és a középpontja illeszkedik [i]b[/i]-re! (KöMaL Gy. 1795.)[br][br][/size]
P pólusú geometriai inverzió inverzió esetén
[math]b'=b[/math][br][size=85][i]a'[/i]: [i]P-[/i]re illeszkedő kör[br][/size][size=85]A keresett [i]k [/i]kör esetén [i]k'[/i] [i]b[/i]-re merőleges egyenes, ami érinti az [i]a'-[/i]t.[/size]
Szerkesztés
Diszkusszió
[size=85]Ha [math]a\bot b[/math][/size] [size=85]és [math]P\in a\cap b[/math], akkor végtelen sok megoldás van. (Minden olyan kör, aminek középpontja illeszkedik [i]b[/i]-re és illeszkedik a [i]P-[/i]re megoldás.[br][/size][size=85]Ha [math]a\bot b[/math][/size] [size=85]és [math]P\notin a\cap b[/math], akkor egy megoldás van.[br][/size][size=85]Ha [i]a [/i]nem merőleges [i]b[/i]-re, és [math]P\in a\cap b[/math], akkor nincs megoldás.[br][/size][size=85]Minden más esetben két megoldás van.[/size]
Szerk.01 Szerkesztés "egyélű" egyenes vonalzóval
[size=85]Adott egy [i]AB[/i] szakasz és annak az [i]F[/i] felezőpontja valamint az [i]AB[/i] egyenesre nem illeszkedő [i]P [/i]pont. Szerkesszünk a [i]P[/i]-re illeszkedő, az [i]AB[/i]-vel párhuzamos egyenest, egyetlen "egyélű" egyenes vonalzó felhasználásával![/size]
Sejtés
Bizonyítás
[size=85][url=https://tudasbazis.sulinet.hu/hu/matematika/matematika/matematika-10-osztaly/a-kozeppontos-hasonlosagi-transzformacio-tulajdonsagai/a-parhuzamos-szelo-szakaszok-tetele]P. sz. sz t.[/url][br][/size][size=85][url=http://www.jgypk.hu/mentorhalo/tananyag/Geometria_I/42_prhuzamos_szelk_s_szelszakaszok_ttele.html]Párhuzamos szelők tételének megfordítása speciális esetben[/url][/size]
gyk_121 - hasonlóság
[size=85]Kérdés: [url=https://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazifeladat-kerdesek__10484553-hogyan-szerkesztheto-egy-adott-sugaru-felkorbe-negyzet-amelynek-egyik-oldala-az]https://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazifeladat-kerdesek__10484553-hogyan-szerkesztheto-egy-adott-sugaru-felkorbe-negyzet-amelynek-egyik-oldala-az[/url][/size]
Adott a síkban három pont ... (283.)
[size=85][i]... A, B, C[/i]. Keressük a síkban azt a [i]P[/i] pontot, melyre [math]\frac{PA}{PB}=\frac{PB}{PC}=\frac{AB}{BC}[/math].[br][br]Az [url=https://matekarcok.hu/apolloniosz-kor/]Apollóniusz-kör[/url]ről tanultak felhasználásával:[/size]