[table][tr][td][url=https://www.geogebra.org/m/nzfg796n#material/dzyjgp64][img]data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAACUAAAA2CAYAAABA3FA2AAAAAXNSR0IArs4c6QAAAARnQU1BAACxjwv8YQUAAAAJcEhZcwAADsQAAA7EAZUrDhsAAACpSURBVGhD7dkxCsJAFEXR/wZiJWJhIW7MUnApriwLEFdhZy0iiN8M2tjdLr94h8wEUt3yQaRhyMiMiH7mpulRv0vU/Gm/dymOohxFOYpyFOUoylGUoygdd9tye0qv1upFTUVenoSjKEdRjqIcRTmKchTlKErX/abgyLvUG3nKs5cn4ijKUZSjKEdRjqIcRRWN6j9six2dxkMu9YiV7t+Ps8l45iJu73V8AE/fHKUjFbbZAAAAAElFTkSuQmCC[/img][/url][/td][td][size=50] this activity is a page of [color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color][br] [url=https://www.geogebra.org/m/y9cj4aqt][color=#0000ff][u][i][b]elliptic functions & bicircular quartics & . . .[/b][/i][/u][/color][/url]([color=#ff7700][i][b]27.04.2023[/b][/i][/color])[/size][/td][/tr][/table][size=85][i][color=#ff00ff][right]translation is in progress[/right][/color][/i][/size]

[size=85][b][i][u][color=#cc0000]Vorgabe: Koeffizienten [math]A_x,B_y[/math] :[/color][/u][/i][/b][br][b][i][color=#ff7700]bizQuAB[/color][/i][/b] als [b][i]implizite Kurve[/i][/b]: [math]\left(x^2+y^2\right)^2-2\cdot A_x\cdot x^2-2\cdot B_y\cdot y^2+\delta=0[/math] mit [math]\delta\in\left\{-1,0,1\right\}[/math][br][/size][list][*][math]\delta=1[/math]: [size=85][b][color=#cc0000] 2[/color][/b]-[b][i]teilige[/i][/b] [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartik[/color][/i][/b], [b][i][color=#bf9000]symmetrisch[/color][/i][/b] zu den Achsen und zum [b][i][color=#bf9000]Einheitskreis[/color][/i][/b][/size][br][/*][*][math]\delta=-1[/math]: [b][color=#cc0000][/color][/b][size=85][b][color=#cc0000]1[/color][i]-teilige[/i][/b] [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartik[/color][/i][/b], [b][i][color=#bf9000]symmetrisch[/color][/i][/b] zu den Achsen[/size][br][/*][*][size=85][math]\delta=0[/math]: [b][i][color=#ff7700]Mittelpunktskegelschnitt[/color][/i][/b], [b][i][color=#bf9000]gespiegelt[/color][/i][/b] am [b][i][color=#bf9000]Einheitskreis, [/color][/i][/b]achsensymmetrisch[br][/size][/*][/list][size=85][br][table][tr][td][size=85][b][i][color=#ff7700][u]Scheitel:[/u] [/color][/i][/b][/size][/td][td][math]s=s_x=\pm\sqrt{A_x\pm\sqrt{A_x^2-\delta}}[/math], [b][i][color=#ff7700]Scheitel[/color][/i][/b] auf der [math]x[/math]-Achse, können imaginär sein: Wurzel wird reell gerechnet[/td][/tr][tr][td][/td][td][math]s_y=\pm i\cdot \sqrt{B_y\pm\sqrt{B_y^2-\delta}}[/math], [b][i][color=#ff7700]Scheitel[/color][/i][/b] auf der [math]y[/math]-Achse, [size=85]Wurzel wird reell gerechnet[/size][/td][/tr][tr][td][br][/td][td][math]s_E=\pm\sqrt{\frac{B_y-\frac{1+\delta}{2}}{B_y-A_x}}\pm i\cdot\sqrt{\frac{A_x-\frac{1+\delta}{2}}{A_x-B_y}}[/math], [b][i][color=#ff7700]Scheitel[/color][/i][/b] auf dem [b][i][color=#bf9000]Einheitskreis[/color][/i][/b], [size=85]Wurzel wird reell gerechnet[/size][/td][/tr][/table][color=#00ff00][u][i][b]Brennpunkte: [/b][/i][/u][/color][br] mit [math]Q=\frac{A_x\cdot B_y-\delta}{B_y-A_x}[/math] berechnet man [math]f=\pm\sqrt{Q\pm\sqrt{Q^2-\delta}}[/math], die Wurzel wird [b][i]komplex[/i][/b] berechnet: [br] [math]\searrow[/math] [b][i][color=#980000]geogebra[/color][/i][/b]-Trick : [math]\sqrt{0\cdot i+Q+\sqrt{Q^2-\delta+0\cdot i}}[/math].[br][b][i][u][color=#38761d]Konfokale[/color] [color=#ff7700]bizirkulare Quartiken[/color] [/u][/i][/b][u][i]durch einen[/i][/u][b][i][u] [color=#ff0000]Punkt[/color][/u][/i][/b] [math]p_0=x_0+i\cdot y_0[/math]:[br]Für die [b][i]Koeffizienten[/i][/b] [math]A'_x[/math], [math]B'_y[/math] einer Schar [b][i][color=#38761d]konfokaler[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b] ist [math]Q=\frac{A'_x\cdot B'_y-\delta}{B'_y-A'_x}[/math] konstant, [br]woraus [math]B'_y=\frac{Q\cdot A'_x-\delta}{Q-A'_x}[/math] folgt. [br]Zu vorgegebenem [math]p_0[/math] besitzt die in [math]A'_x[/math] [b][i][color=#0000ff]quadratische Gleichung[/color][/i][/b][/size][list][*][math]\left(x_0^2+y_0^2\right)^2-2\cdot A'_x\cdot x_0^2-2\cdot\frac{Q\cdot A'_x-\delta}{Q-A'_x}\cdot y_0^2+\delta=0[/math][br][/*][/list][size=85][b][color=#cc0000]2[/color][/b] Lösungen, welche die beiden [b][i][color=#38761d]konfokalen[/color][/i][/b] [b][i]Quartiken[/i][/b] durch den [b][i][color=#ff0000]Punkt [/color][/i][/b][math]p_0[/math] liefern.[br][br]Der [b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b] zu [b][color=#00ff00]f[/color][/b], bezüglich der [math]y[/math]-[b][i][color=#bf9000]Achsensymmetrie, [/color][/i][/b]wird im Applet nur angezeigt, wenn [b][color=#00ff00]f[/color][/b] und [b][color=#00ff00]f'[/color][/b] auf der [math]x[/math]-Achse liegen.[br]In diesem Falle ist der [b][i][color=#0000ff]Leitkreis [/color][/i][/b] [math]x[/math]-achsensymmetrisch und schneidet die [math]x[/math]-Achse in [math]qL_y=\frac{s^2}{f}[/math] und [math]qL'_y=\frac{\delta}{s^2\cdot f}[/math].[br]Gleichung dieses [b][i][color=#0000ff]Leitkreises[/color][/i][/b]: [math]x^2+\frac{2}{f}\cdot\kappa_{\delta}\left(s\right)\cdot x+y^2+\frac{\delta}{f^2}=0[/math].[br]Leider können wir die Bedeutung des [b][i][color=#0000ff]Leitkreises [/color][/i][/b]hier nur ohne [b][i]Formeln[/i][/b] anführen: es fehlt noch der passende Kalkül![br]Zu jedem [b][i][color=#ff0000]Punkt[/color][/i][/b] [b][color=#00ffff]q[/color][/b] auf dem [b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b] gibt es genau einen [math]y[/math]-achsensymmetrischen [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] [b][color=#666666]cdb[/color][/b], an welchem invertiert [/size][size=85][b][color=#00ffff]q[/color][/b][/size][size=85] und [/size][size=85][b][color=#00ff00]f[/color][/b][/size][size=85] vertauscht[br]werden. Dieser [/size][size=85][b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b][/size][size=85] [b][i][color=#999999]berührt[/color][/i][/b] die [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartik[/color][/i][/b] [b][i][color=#999999]doppelt[/color][/i][/b]. [br]Die [b][i][color=#ff7700]Berührpunkte[/color][/i][/b] erhält man als Schnitt von [/size][size=85][b][color=#666666]cdb[/color][/b][/size][size=85] mit dem [math]y[/math]-achsensymmetrischen [b][i][color=#ff0000]Kreises[/color][/i][/b] [b][color=#ff0000]cw[/color][/b] durch [/size][size=85][b][color=#00ffff]q[/color][/b][/size][size=85], dessen Mittelpunkt[br]der Schnittpunkt der [b][i][color=#444444]Tangente[/color][/i][/b] an den [/size][size=85][b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b][/size][size=85] in [/size][size=85][b][color=#00ffff]q[/color][/b][/size][size=85] mit der [math]y[/math]-Achse ist.[br][/size][size=85][b][color=#ff0000]cw[/color][/b][/size][size=85] ist ein [/size][size=85][b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b][/size][size=85] des [b][i][color=#ff0000]elliptischen Kreisbüschels[/color][/i][/b] durch [b][color=#00ff00]f''[/color][/b], [b][color=#00ff00]f'''[/color][/b] (für [math]\delta[/math]=1), - des [b][i][color=#ff0000]parabolischen Kreisbüschels[/color][/i][/b], wenn [size=85][b][color=#00ff00]f''[/color][/b], [b][color=#00ff00]f'''[/color][/b][/size][br]zusammenfallen ([math]\delta=0[/math]), bzw. des [b][i][color=#ff0000]hyperbolischen Kreisbüschels[/color][/i][/b] zu [/size][size=85][b][color=#00ff00]f''[/color][/b], [b][color=#00ff00]f'''[/color][/b][/size][size=85] (für [math]\delta=-1[/math]).[br]Der an [/size][size=85][b][color=#666666]cdb[/color][/b][/size][size=85] gespiegelte [/size][size=85][b][i][color=#ff0000]Kreis [/color][/i][/b][/size][size=85][b][color=#ff0000]cw'[/color][/b][/size][size=85] ist ein [/size][size=85][b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b][/size][size=85] der [/size][size=85][b][i][color=#ff0000]elliptischen Kreisbüschels[/color][/i][/b][/size][size=85] durch [/size][size=85][b][color=#00ff00]f[/color][/b][/size][size=85] und [/size][size=85][b][color=#00ff00]f'[/color][/b][/size][size=85].[br][/size][size=85][b][color=#666666]cdb[/color][/b][/size][size=85] ist also [b][i][color=#0000ff]winkelhalbierender[/color][/i][/b] [/size][size=85][b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b][/size][size=85] der beiden [b][i][color=#ff0000]Büschelkreise[/color][/i][/b]![br][br][br][i][u][b][color=#cc0000]Vorgabe: [/color][/b][/u][/i][u][b][color=#00ff00]f[/color][/b][/u][i][u][b][color=#cc0000] und [/color][/b][/u][/i][u][color=#ff7700][b]s[/b][/color][/u][i][u][b][color=#cc0000] auf der [math]x[/math]-Achse und [math]\delta[/math] wie oben.[br][/color][/b][/u][/i]Aus diesen beiden Vorgaben berechnet man die [b][i]Koeffizienten[/i][/b] [math]A_x=\kappa_{\delta}\left(s\right)[/math] und [math]B_y=\frac{\kappa_{\delta}\left(f\right)\cdot\kappa_{\delta}\left(s\right)-\delta}{\kappa_{\delta}\left(f\right)-\kappa_{\delta}\left(s\right)}[/math].[br][br][b][i][u][color=#cc0000]Bemerkung:[/color][/u][/i][/b] Den Fall, dass die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] nicht wie oben vorausgesetzt auf der [math]x[/math]-Achse liegen, kann man [br]durch eine einfache [b][i][color=#0000ff]Möbiustransformation[/color][/i][/b] auf den oben angezeigten zurückführen.[/size]