Claire Lommé - Démonstration du théorème de Pythagore
[u]Etape 1 :[/u][br]Sur l'appliquette ci-dessus, tracer le cercle de centre le point C passant par B.
[u]Etape 2 :[/u][br]Tracer la droite (AC), elle coupe le cercle en deux points R et U.[br][br]Tracer la droite (AB), elle recoupe le cercle au point S.[br][br]Tracer le triangle ASU.
[u]Etape 3 :[/u][br]Construire le triangle ARB.
On voit ainsi apparaître ces deux triangles [i]T[sub]1[/sub][/i] et [i]T[sub]2[/sub][/i] .
Dans l'appliquette ci-dessous, cliquer sur le bouton suivant pour mettre[br] en évidence deux angles.[br][br]Cliquer à nouveau sur le bouton suivant pour faire apparaître un arc de [br]cercle.[br]
Ces deux angles ont quelque-chose de particulier, ils sont inscrits dans[br] un même cercle qu'ils coupent en un même arc de cercle, celui repassé [br]en jaune et qu'on vient de mettre en évidence.[br]On dit qu'ils [b][color=#6aa84f][u]interceptent[/u] [/color][/b]le même arc de cercle.[br][br]Il existe un théorème, le [color=#ff0000][u]théorème de l'angle inscrit[/u][/color], qui nous dit que, [br]comme ils interceptent le même arc de cercle, [u]ces deux angles ont la [br]même mesure[/u] ![br][br]Vous trouverez une démonstration de ce théorème en cliquant sur ce [url=https://www.geogebra.org/m/jwjpjhmh]lien[/url][br][br][br]Revenons à nos deux triangle hachurés.
Les deux angles jaunes sont égaux,[br]chacun de ces deux triangles a aussi un angle droit,[br]Comme dans un triangle, en géométrie euclidienne, la somme des mesures des angles est égale à 180°, on en déduit que les deux angles codés ici en vert sont égaux aussi ![br][br]Autrement dit, les triangles [i]T[sub]1[/sub][/i] et [i]T[sub]2[/sub][/i] ont les mêmes mesures d'angles, ils sont donc semblables et [color=#ff0000][u]leurs côtés sont deux à deux proportionnels[/u][/color] !
Les deux côtés marqués par une accolade sont ceux compris entre l'angle droit et l'angle vert, ils sont donc homologues.[br]L'un d'eux mesure a.[br]Exprimer l'autre en fonction de a, b et c :
Nous pouvons donc les placer dans une même colonne dans le tableau de proportionnalité obtenu :
Ces deux autres côtés marqués par une accolade sont ceux compris entre l'angle droit et l'angle jaune, ils sont donc également homologues.[br]L'un d'eux mesure a (puisqu'on se rend compte facilement que le diamètre porté par le côté rouge est la médiatrice de la corde portée par le segment vert).[br]Exprimer l'autre en fonction de a, b et c :
Nous pouvons donc les compléter le tableau de proportionnalité :
Dans ce tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux,
On en déduit donc l'égalité suivante :[br][size=100][size=150][size=200](c + b)(c - b) = a²[/size][/size][/size]
Développer et réduire le membre de gauche de cette égalité :
Ajouter b² dans chaque membre de cette égalité :
[b][size=200][color=#ff0000][size=150]Le théorème de Pythagore est ainsi démontré ![/size][br][/color][br][/size][br][/b]