[list][*]Imagine dois pontos [math]P_1 = (x_1, y_1)[/math] e [math]P_2 = (x_2, y_2)[/math].[/*][*]Chame a distância entre eles de [math]d[/math].[/*][*]Agora, multiplique por [math]2[/math] as quatro coordenadas ([math]x_1, y_1, x_2, y_2[/math]).[/*][*]Qual será a nova distância entre os pontos?[/*][/list]
[list][*]Use o aplicativo abaixo para testar a alternativa que você escolheu.[/*][*]Arraste os pontos [math]P_1[/math] e [math]P_2[/math] e observe as distâncias [math]d[/math] e [math]d'[/math].[/*][/list]
[list][*]Você consegue testar todas as situações possíveis?[/*][*]Existem infinitos pares de pontos [math]P_1[/math] e [math]P_2[/math].[/*][*]Em vez de testar exemplos, vamos trabalhar com [b]pontos genéricos[/b].[/*][*]As coordenadas serão variáveis, não números.[/*][*]Definimos [math]P_1 = (x_1, y_1)[/math] e [math]P_2 = (x_2, y_2)[/math].[/*][/list]
Que tipo de objetos são representados por [math]x_1, y_1, x_2, y_2[/math]?
Escreva a expressão para o quadrado da diferença entre as coordenadas [math]x[/math] de [math]P_1[/math] e [math]P_2[/math].
[math](x_2 - x_1)^2[/math]
Escreva a expressão para o quadrado da diferença entre as coordenadas [math]y[/math] de [math]P_1[/math] e [math]P_2[/math].
[math](y_2 - y_1)^2[/math]
Escreva a expressão para a distância [math]d[/math] entre [math]P_1[/math] e [math]P_2[/math].
[math]d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}[/math]
Escreva as coordenadas do ponto [math]P'_1[/math], que são as coordenadas de [math]P_1[/math] multiplicadas por [math]2[/math].
[math]P'_1 = (2x_1, 2y_1)[/math]
Escreva as coordenadas do ponto [math]P'_2[/math], que são as coordenadas de [math]P_2[/math] multiplicadas por [math]2[/math].
[math]P'_2 = (2x_2, 2y_2)[/math]
Substitua as coordenadas de [math]P'_1[/math] e de [math]P'_2[/math] na fórmula da distância para achar a distância [math]d'[/math] entre os novos pontos. [b]Não simplifique nada, ainda.[/b]
[math]d' = \sqrt{(2x_1 - 2y_1)^2 + (2x_2 - 2y_2)^2}[/math]
[list][*]Dentro do primeiro par de parênteses, coloque o [math]2[/math] em evidência.[/*][*]Faça o mesmo no segundo par de parênteses.[/*][/list]
[math]d' = \sqrt{[2(x_1 - y_1)]^2 + [2(x_2 - y_2)]^2}[/math]
Eleve os [math]2[/math] ao quadrado e coloque o [math]4[/math] em evidência.
[math]d' = \sqrt{4[(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2]}[/math]
Tire o [math]4[/math] de dentro da raiz quadrada.
[math]d' = 2\sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2}[/math]
Escreva esta expressão para [math]d'[/math] em termos de [math]d[/math].
Você acaba de provar esta igualdade para todos os pontos [math]P_1[/math] e [math]P_2[/math] possíveis.[br][br]Parabéns.
[list][*]Usando o [i]link[/i] para o aplicativo no início desta atividade, crie uma cópia do aplicativo (na sua instalação local ou no site do Geogebra).[/*][*]Modifique o aplicativo para multiplicar as coordenadas por [math]-2[/math].[/*][*]Examine vários exemplos. O que acontece com a distância?[/*][*]Repita seu raciocínio, desta vez multiplicando as coordenadas dos dois pontos por [math]-2[/math].[/*][*]Qual a sua conclusão?[/*][/list]