Si definisce [b]equazione [/b]un'[b]uguaglianza[/b] tra due espressioni algebriche, dette rispettivamente [b]primo [/b]e [b]secondo membro[/b], contenenti una o più lettere, dette [b]incognite[/b], verificata da particolari valori da sostituire al posto delle incognite, detti [b]soluzioni dell'equazione.[/b]

Un'equazione è in forma [b]normale [/b]quando tutti i termini sono raggruppati al primo membro e il secondo membro è uguale a zero, con il primo membro ridotto a un polinomio in cui sono stati svolti tutti i calcoli e le semplificazioni.

Il [b]grado [/b]di un'equazione corrisponde al grado del polinomio a primo membro dell'equazione ridotta in forma normale.

[list][*]In un'equazione in un'incognita il grado dell'equazione corrisponde al [b]massimo esponente[/b] dell'incognita dell'equazione in forma normale.[/*][*]In un'equazione con più incognite il grado dell'equazione corrisponde al [b]massimo grado [/b]dei termini componenti l'equazione in forma normale.[br][i]Esempio[/i][br][math]\large x^2+y^2+7xy^2+3x-2y+5=0[/math][i][br]è di terzo grado per via del termine[br][math]\large 7xy^2[/math][/i][br][/*][/list]

Un'equazione di grado [b]n∈N, n≥1[/b], ammette [b]n soluzioni[/b] reali o complesse.

Un'equazione di grado [b]n∈N, n≥1[/b], ammette [b]al massimo n soluzioni[/b] reali.

Il prodotto di due o più fattori è [b]uguale a zero[/b] se e solo se [b]almeno uno[/b] dei fattori è [b]uguale a zero[/b].

Un’equazione di [b]secondo grado[/b] è detta [b]incompleta[/b] se, nella sua [b]forma normale[/b], manca il termine di primo grado e/o il termine noto, ovvero:[br][list][*]se [math]\large b=0 \longrightarrow\ \bf ax^2+c=0[/math] l'equazione si dice [b]incompleta pura[/b][/*][*]se [math]\large c=0\ \longrightarrow\ \bf ax^2+bx=0[/math] l'equazione si dice [b]incompleta spuria[/b][/*][/list]

Per risolvere l'equazione di secondo grado pura[center][math]\large\bf a x^{2}+c=0[/math][/center]si procede nel seguente modo:[br][list=1][*]Si trasporta [b]c[/b] a secondo membro e si dividono entrambi i membri per [b]a[/b]; si ottiene un’espressione del tipo:[br][center][math]\large\bf x^2=-\frac{c}{a}[/math][/center][/*][*]Si estrae la radice quadrata in entrambi i membri ottenendo:[center][math]\large\bf x_{1,2}=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}[/math][/center][/*][*]Se [b]a[/b] e [b]c[/b] sono [b]discordi[/b] si ottengono [b]due soluzioni opposte[/b]; se al contrario [b]a[/b] e [b]c[/b] sono [b]concordi[/b], l'equazione è [b]impossibile[/b] [i](nei reali, ha due soluzioni complesse coniugate nei complessi)[/i][/*][/list]

Per risolvere l'equazione di secondo grado spuria[center][math]\large\bf a x^{2}+bx=0[/math][/center]si procede nel seguente modo:[br][list=1][*]Si raccoglie x ottenendo un’espressione del tipo:[br][center][math]\large\bf x\cdot(ax+b)=0[/math][/center][/*][*]Per la [b]legge di annullamento del prodotto[/b], il prodotto fra i due fattori è nullo [b]se almeno uno dei due è nullo[/b], ovvero:[center][math]\large\bf x\cdot(ax+\mathrm{b})=0\ \begin{matrix}\nearrow&x=0\\[br]\searrow&ax+b=0\ \longrightarrow\ x=-\frac{b}{a}\end{matrix}[/math][/center][/*][/list]

Un'equazione di secondo grado [b]spuria[/b] è sempre [b]determinata[/b] in quanto ammette sempre una [b]soluzione nulla[/b].

Un’equazione di [b]secondo grado[/b] è in forma [b]completa[/b] se, nella sua [b]forma normale[/b], sono presenti tutti i termini dal secondo grado in giù, ovvero:[br][center][math]\Large\bf ax^2+bx+c=0[/math][/center]

Le soluzioni dell'equazione di secondo grado completa si ricavano applicando la seguente formula risolutiva:[center][math]\large\bf x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math][/center]

Data l'equazione di secondo grado[br][center][math]\large\bf ax^2+bx+c=0[/math][/center] si procede nel modo seguente:[br][list=1][*]Si dividono entrambi i membri per a, ovvero:[br][math]ax^2+bx+c=0\ \longrightarrow\ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0[/math][br][/*][*]Si effettua il [b]completamento del trinomio quadrato di binomio[/b] dei primi due termini sommando e sottraendo un opportuno termine quadratico, ovvero:[br][math]x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0\ \longrightarrow\ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0\ [/math][br][/*][*]Si portano a secondo membro i termini fuori dal quadrato di binomio e si svolge il m.c.d, ovvero:[br][math]\ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0\ \longrightarrow\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\ \longrightarrow\large\bf \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}[/math][br][/*][*]Si toglie risolve l'espressione ottenuta togliendo il quadrato e mettendo a radice il secondo membro, portando fuori il denominatore, ovvero:[br][math] \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\longrightarrow\ x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\longrightarrow\ x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math][br][/*][*]Si isola la x portando a secondo membro il termine rimanente e sommandolo con l'espressione presente, ovvero: [br][math] \ x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \longrightarrow\ x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\large\bf\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math][br][/*][/list]

L'espressione sotto radice nella formula risolutiva è detta [b]discriminate[/b], ovvero[br][center][math]\Large \Delta=b^2-4ac[/math][/center]

I casi sono tre:[br][list][*]Se [math]\large \Delta>0[/math] l'equazione ammette [b]due soluzioni reali distinte[/b].[/*][*]Se [math]\large \Delta=0[/math] l'equazione ammette [b]due soluzioni reali coincidenti[/b].[/*][*]Se [math]\large \Delta<0[/math] l'equazione è [b]impossibile[/b] nei reali, ovvero ammette [b]due soluzioni complesse coniugate[/b].[/*][/list]

Ogni esercizio pilota è seguito da un generatore di esercizi della stessa tipologia:[br][list][*]Con il bottone "[b]GENERA ESPRESSIONE[/b]" si crea un nuovo esercizio, nasconde il risultato qualora sia visibile e mostra il bottone "Mostra risultato" qualora sia nascosto.[/*][*]Lo slider "[b]max[/b]" consente di variare il massimo valore dei coefficienti dei binomi in gioco[/*][*]Con la casella "[b]Solo soluzioni intere[/b]" è possibile settare l'equazione in modo che abbia solo soluzioni intere[/*][*]Il bottone "[b]Mostra risultato[/b]" se premuto scompare e visualizza il risultato[/*][*]Con gli strumenti penna e cancella è possibile risolvere l'esercizio nello spazio dedicato.[/*][/list]

1) Risolvere la seguente equazione:[br][center][math]\large \frac{-10 x+4}{x^{2}-2 x-3}+\frac{4 x-2}{x-3}=\frac{3 x-2}{x+1}[/math][/center]Per prima cosa si scompongono i denominatori e si esegue la C.E.:[br][math]\frac{-10x+4}{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}+\frac{4x-2}{x-3}=\frac{3x-2}{x+1}\ \longrightarrow\begin{matrix}\text{C.E.}&x-3\ne0\ \longrightarrow\ x\ne3\\[br]&x+1\ne0\ \longrightarrow\ x\ne-1\end{matrix}[/math][br]Si effettua il [b]m.c.d.[/b] comune in entrambi i membri e, dopo averli semplificati, si ottiene un'equazione intera:[br][math]\frac{-10x+4+\left(x+1\right)\cdot\left(4x-2\right)}{\cancel{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}}=\frac{\left(x-3\right)\cdot\left(3x-2\right)}{\cancel{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}}\ \longrightarrow\ -10x+4+4x^2-2x+4x-2=3x^2-2x-9x+6[/math][br]Si portano tutti i termini a primo membro e si eseguono i calcoli:[br][math]-10x+4+4x^2-2x+4x-2-3x^2+2x+9x-6=0\ \longrightarrow\ x^2+3x-4=0[/math][br]Si è ottenuto un'equazione di secondo grado completa da risolvere con la formula risolutiva:[br][math]x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{9+16}}{2}=\frac{-3\pm5}{2}=\begin{matrix}\nearrow&\frac{-3-5}{2}=-4\\[br]\searrow&\frac{-3+5}{2}=1\end{matrix}[/math][br][center]_______________________________________________________________________________________________________[/center]2) Risolvere la seguente equazione:[br][center][math]\large \frac{x^{2}+3 x-5}{x^{2}-3 x+2}+\frac{1}{x-2}=\frac{1}{x-1}[/math][/center]Per prima cosa si scompongono i denominatori e si esegue la C.E.:[br][math]\frac{x^2+3x-5}{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}+\frac{1}{x-2}=\frac{1}{x-1}\ \longrightarrow\begin{matrix}\text{C.E.}&x-2\ne0\ \longrightarrow\ x\ne2\\[br]&x-1\ne0\ \longrightarrow\ x\ne1\end{matrix}[/math][br]Si effettua il [b]m.c.d.[/b] comune in entrambi i membri e, dopo averli semplificati, si ottiene un'equazione intera:[br][math]\frac{x^2+3x-5+\left(x-1\right)}{\cancel{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}}=\frac{\left(x-2\right)}{\cancel{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}}\ \longrightarrow\ x^2+3x-5+x-1=x-2[/math][br]Si portano tutti i termini a primo membro e si eseguono i calcoli:[br][math]x^2+3x-5+\cancel{x}-1-\cancel{x}+2=0\ \longrightarrow\ x^2+3x-4=0[/math][br]Si è ottenuto un'equazione di secondo grado completa da risolvere con la formula risolutiva:[br][math]x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{9+16}}{2}=\frac{-3\pm5}{2}=\begin{matrix}\nearrow&\frac{-3-5}{2}=\bf -4&\\[br]\searrow&\frac{-3+5}{2}=1&\ \text{(non accettabile)}\end{matrix}[/math]

Data l'equazione di secondo grado [center][math]\Large\bf ax^2+bx+c=0[/math][/center]e siano [math]\large\bf x_1[/math] e [math]\large\bf x_2[/math] le sue soluzioni, valgono le seguenti relazioni:[br][center][/center][list][*][math]\large\bf S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}[/math][/*][*][math]\large\bf S=x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}[/math][/*][/list]

Dalla formula risolutiva si ha che:[br][math]\large x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\quad\text{e}\quad x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math][br]Pertanto:[br][math]x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\cancel{+\sqrt{b^2-4ac}}-b\cancel{-\sqrt{b^2-4ac}}}{2a}=-\frac{\cancel{2}b}{\cancel{2}a}=\large\bf -\frac{b}{a}[/math][br][math]x_1\cdot x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\cdot\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{\left(-b+\sqrt{b^2-4ac}\right)\cdot\left(-b-\sqrt{b^2-4ac}\right)}{4a^2}=\frac{b^2-\left(b^2-4ac\right)}{4a^2}=\frac{\cancel{b^2}-\cancel{b^2}+4ac}{4a^2}=\frac{\cancel{4}\cancel{a}c}{\cancel{4}a^{\cancel{2}}}=\large\bf \frac{c}{a}[/math][br][center]________________________________________________________________________________________________________[/center]

Siano [math]\large\bf S[/math] e [math]\large\bf P[/math] rispettivamente la [b]somma[/b] e il [b]prodotto[/b] di [b]due numeri non noti[/b]; l'equazione che ha per soluzioni i due numeri è la seguente:[br][center][math]\Large\bf x^2-Sx+P=0[/math][/center]detta equazione ausiliare del problema di somma e prodotto di due numeri.

Si considera la forma normale di una generica equazione di secondo grado e si dividono entrambi i membri per [b]a[/b], ovvero:[br][math]ax^2+bx+c=0\ \longrightarrow\ \frac{ax^2+bx+c}{a}=\frac{0}{a}\longrightarrow\ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0[/math][br]Si può osservare che il coefficiente del secondo termine è l'opposto della somma delle soluzioni, il terzo termine è esattamente il prodotto delle soluzioni; infatti:[br][math]x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\ \longrightarrow\ \ x^2-\left(\textcolor{#28AE61}{-\frac{b}{a}}\right)^{\nearrow^{\Large S}}x+\textcolor{#28AE61}{\frac{c}{a}}^{^{\nearrow^{\Large P}}}=0\ \longrightarrow\ \large\bf \ x^2-S\ x+P=0[/math]