A JGI (Janela Gráfica Interativa) nos mostra uma interpretação geométrica de mudança de variáveis na Integral Dupla quando a função f(x,y)=1.[br]No exemplo temos uma transformação T(u,v)=(x,y) do plano uv no plano xy, dada por[br][math]x=x\left(u,v\right)=u^2-v^2[/math][br][math]y=y\left(u,v\right)=2uv[/math][br]A transformação T leva cada subregião [math]\Delta D'[/math] de D' em uma subregião [math]\Delta D[/math] de D. Agora, a área de cada subregião [math]\Delta D[/math] pode ser aproximada pela área do paralelogramo (verde) formado pelos vetores [br][math]\left(\left(\frac{\partial x}{\partial u}\right)i+\left(\frac{\partial y}{\partial u}\right)j\right)\Delta u=T_u\Delta u[/math][br][math]\left(\left(\frac{\partial x}{\partial v}\right)i+\left(\frac{\partial y}{\partial v}\right)j\right)\Delta v=T_v\Delta v[/math][br]A soma das áreas [math]\left|T_u\times T_v\right|\Delta u\Delta v=\left|\frac{\partial\left(x,y\right)}{\partial\left(u,v\right)}\right|\Delta u\Delta v[/math] ([math]\left|\frac{\partial\left(x,y\right)}{\partial\left(u,v\right)}\right|[/math]=Jacobiano de T) desses paralelogramos dá aproximadamente a área A da região D. Se fizermos uma divisão regular nos intervalos [a,b] e [c,d], i.é, [br] [math]\Delta u=\frac{b-a}{n}=\Delta v[/math][br]então a área A da região D, é dada pela integral dupla [br][math]A=\int\int_Ddxdy\approx\sum^n_{i=1}\sum_{j=1}^n\left|\frac{\partial\left(x,y\right)}{\partial\left(u,v\right)}\right|\Delta u_{ij}\Delta v_{ij}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\left|\frac{\partial\left(x,y\right)}{\partial\left(u,v\right)}\right|\Delta u\Delta v[/math][br]onde o Jacobiano é calculado em cada ponto [math]\left(u_i,v_i\right)[/math]. Observe que o lado direito da equação é a soma de Riemann para a integral dupla do Jacobiano (função) sobre D'. Assim, [br][math]\int\int_Df\left(x,y\right)dxdy=\int\int_{D'}\left|\frac{\partial\left(x,y\right)}{\partial\left(x,y\right)}\right|dudv[/math][br][br]Observe a semelhança entre a fórmula de mudança de variável de uma variável [math]\int_a^bdx=\int_c^dx'\left(t\right)dt[/math] e esta. Na de uma variável foi introduzido um fator de correção de escala x'(t) e na de 2 variáveis o fator de correção de área é o Jacobiano.[br]Agora, observe que a área de cada paralelogramo verde formado pelos vetores [math]T_u\Delta u[/math] e [math]T_v\Delta v[/math] pode ser reescrita como [br][math]\left|T_u\times T_v\right|\Delta u\Delta v=\left|\frac{\partial\left(x,y\right)}{\partial\left(u,v\right)}\right|\Delta u\Delta v=\left|\frac{\partial\left(x,y\right)}{\partial\left(u,v\right)}\right|\frac{b-a}{n}\frac{d-c}{n}=\left|\frac{\partial\left(x,y\right)}{\partial\left(u,v\right)}\right|\frac{1}{n^2}\left(b-a\right)\left(d-a\right)[/math][br]Logo,[br][math]A\approx\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{\partial\left(x,y\right)}{\partial\left(u,v\right)}\frac{1}{n^2}A'[/math][br]onde A' =(b-a)(d-c) é a área de D'. Portanto, geometricamente, a área A pode ser calculada aproximadamente pela multiplicação de um fator de correção (soma dos Jacobianos em cada ponto vezes [math]\frac{1}{n^2}[/math] ) com a área A' de D'.[br][br][color=#1155Cc]- Coordenadas Polares:[br] [math]x=ucos\left(v\right)[/math][br][math]y=usen\left(v\right)[/math][/color][br][br]Na JGI abaixo, passe para coordenadas polares e observe o que acontece com as retas horizontais e verticais do plano uv para o plano polar.[br]Modifique as restrições e calcule aproximadamente o valor de [math]\pi[/math] .[br]