A JGI mostra uma interpretação geométrica da Integral de Linha de uma Função Escalar f positiva sobre uma curva suave C dada pelas equações paramétricas x = x(t), y = y(t), para t num intervalo [a,b].[br]A integral de linha pode ser interpretada como sendo a área A (amarela) de um cilindro vertical, cuja geratriz é a curva C como um limitante inferior e limitada superiormente pela curva cujo gráfico é o da função f restrita nos pontos de C.[br]Para definir a integral de linha, considere uma partição de [a,b] em n+1 pontos . Isso produzira uma partição na curva C em n+1 pontos [math]P_0,P_1,...,P_{i-1},P_i,...,P_n[/math] . Tome um ponto qualquer [math]P_i^{\cdot}=\left(x\left(t_i^{\cdot}\right),y\left(t_i^{\cdot}\right)\right)[/math] entre os pontos [math]P_{i-1}[/math] e [math]P_i[/math] . Considere o cilindro [math]A_i[/math] que tem como base o arco [math]P_{i-1}P_i[/math] e altura [math]f\left(P_i^{\cdot}\right)[/math] . Seja [math]\Delta s_i[/math] o comprimento do arco [math]P_{i-1}P_i[/math] , então, a área [math]A_i=f\left(P_i^{\cdot}\right)\Delta s_i[/math] . Logo, a área total A [br][math]A\approx\sum_{i=1}^nf\left(P_i^{\cdot}\right)\Delta s_i[/math] e a integral de linha é definida como [br][math]\int_Cf\left(x,y\right)ds=lim_{n\longrightarrow\infty}\sum_{i=1}^nf\left(P_i^{\cdot}\right)\Delta s_i[/math][br]Marque a caixa "área cilindro aproximada" para ver a interpretação geométrica dessa definição.[br]A JGI mostra ainda uma outra interpretação geométrica: [br]Veja que a curva C, pode ser aproximada por uma poligonal formada pelos pontos [math]P_i[/math] e assim a área de cada cilindro [math]A_i[/math] pode ser aproximda pela área do retângulo tendo como base o segmento que vai de [math]P_{i-1}[/math] a [math]P_i[/math] e altura [math]f\left(P_i^{\cdot}\right)[/math] . Portanto a área A (amarela) é aproximada pela soma das áreas dos cilindro [math]A_i[/math] (azul) pode ser aproximado pela área de um cilindro poligonal (verde) como mostra a JGI .[br]Se você mover a régua n verá que o valor da área do cilindro poligonal (verde) se aproximará do valor da soma das áreas [math]A_i[/math] (azul) e também da área (real) do cilindro A (amarelo) que foi calculada pela integral de linha.[br]Você pode visualizar, também, que a integral de linha extende a integral definida de uma função de uma variável real. Para isso, modifique a curva C para ser o eixo x e verá que a soma na definição de integral de linha nada mais é que uma soma de Riemann para funções reais.