MaTeGnu Modul 3: Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Die gemeinsame Fortbildungsinitiative [b][color=#E31B4C]Ma[/color]Te[color=#E31B4C]Gnu[/color][/b] des Ministeriums für Bildung und der Arbeitsgruppe [url=https://dms.nuw.rptu.de][color=#095EBC]Didaktik der Mathematik (Sekundarstufen)[/color][/url] der Rheinland-Pfälzischen Technischen Universität Kaiserslautern-Landau ([url=https://dms.nuw.rptu.de][color=#095EBC]RPTU[/color][/url]) zielt auf die fachbezogene Entwicklung von Unterrichtsqualität und digitalen Kompetenzen im Mathematikunterricht der gymnasialen Oberstufe aller allgemeinbildenden Schulen in Rheinland-Pfalz. Die beiden Schwerpunkte der Maßnahme sind Verständnisförderung durch [b]Orientierung an Grundvorstellungen[/b] sowie der [b]durchgängige Einsatz von digitalen Mathematikwerkzeugen[/b], insbesondere GeoGebra. Dieses GeoGebra-Buch ist auch unter folgender Kurz-URL erreichbar: [url=https://mategnu.de/m/l3][color=#095EBC][b]mategnu.de/m/l3[/b][/color][/url] Weitere Informationen: [url=https://mategnu.de][color=#095EBC][b]mategnu.de[/b][/color][/url] Konkrete Leitfäden zu den Kernthemen aller Kurshalbjahre unterstützen die strukturierte Umsetzung der Fortbildungsinhalte im Unterricht. Dieser Leitfaden gehört zu [b]Modul 3[/b] und beinhaltet die Themen [b]analytische Geometrie und Matrizen[/b] (gemeinsamer Sockel und Vertiefungen der beiden als Wahl) in der MSS. Schlagworte: Vektor, Matrizen, Übergangsmatrix, Skalarprodukt, Geradengleichung, Ebenengleichung, Normalenform, Parameterform, Koordinatenform
Table of Contents
- Reihenübersicht
- M3 L Didaktische Hinweise zur Reihe
- M3 Vertiefungen A1 und A2
- I. Vektoren als n-Tupel
- M3.I.1 L Farbcodierung
- M3.I.1a ABL rgb-Farbmodell
- M3.I.1a App rgb-Farbvektor - Farbfeld
- M3.I.1b ABL Farben mischen
- M.3.I.1b App rgb-Farbvektor - Farbmischung
- M3.I.1c ABL Linearkombinationen von Vektoren bestimmen
- M3.I.1d ABL Kekse, Mobilität, Instagram
- M3.I.2 L Skalarprodukt
- M3.I.2a ABL Kekszutatenkauf, Mobilitätsemission, Instagram
- M3.I.2b ABL Farbbild in Graustufen
- M3.I.2b App Graustufen
- *M3.I.2c ABL Grundfarben des rgb-Modells
- *M3.I.3 L Vorbereitung der geometrischen Deutung
- *M3.I.3 ABL Mit Vektoren Änderungen beschreiben
- II. Lineare Gleichungssysteme
- M3.II.4 L Vektoren und LGS
- M3.II.4 ABL Linearkombinationen von Vektoren als LGS
- M3.II.4 App Linearkombinationen als LGS
- M3.II.5 L Gauß-(Jordan-)Verfahren
- M3.II.5a ABL LGS mit Gauß-Verfahren
- M3.II.5a App1 LGS mit Gauß - Fehlersuche mit GeoGebra
- M3.II.5a App2 LGS mit Gauß - Schritte
- M3.II.5b ABL LGS als Matrix-Vektor-Gleichung
- *M3.II.6 L LGS geometrisch deuten
- *M3.II.6 ABL LGS geometrisch deuten
- III. Geometrische Deutung
- M3.III.7 L Vektoren geometrisch deuten
- M3.III.7a ABL Vektoren (n-Tupel) interpretieren
- M3.III.7a App1 Vektoren (n-Tupel) in 2D
- M3.III.7a App2 Vektoren (n-Tupel) in 3D
- M3.III.7b ABL Vektoraddition geometrisch
- M3.III.7b App1 Vektoraddition 2D
- M3.III.7b App2 Vektoraddition in GeoGebra 3D
- M3.III.7c ABL rgb-Farbvektoren geometrisch
- M3.III.7c App rgb-Farbvektor als Punkt und Pfeil
- *M3.III.7d ABL Alternatives Farbmodell
- *M3.III.7d App Farbmodelle
- M3.III.8 L Geometrische (Be-)Deutung des Skalarprodukts
- M3.III.8a ABL Helligkeit einer Farbe
- M3.III.8b ABL Skalarprodukt veranschaulichen
- M3.III.8b App Skalarprodukt geometrisch 2D
- M3.III.8c ABL CO2-Emissionsziel
- M3.III.8c App Mobilitätsvektoren für Emissionsziel
- *M3.III.8d ABL Farben unterscheiden
- *M3.III.8d App1 Winkel beim Skalarprodukt
- *M3.III.8d App2 Winkel beim rb-Farbvektor
- *M3.III.8d App3 rbg-Farbvektor Winkel zur Grau-Gerade
- IV. Vertiefung A1: Vektoren und Matrizen
- M3.IV.9 A1 L Übergangsprozesse
- M3.IV.9 A1 ABL Übergangsprozesse mathematisch beschreiben
- M3.IV.9 A1 App1 Streamingdienste Tabelle
- M3.IV.9 A1 App2 Streamingdienste Tabelle Graph
- M3.IV.10 A1 L Stationäre Zustände
- M3.IV.10 A1 ABL Stabile Kundenzahlen
- M3.IV.10 A1 App Kundenzahlen in GGB mit einer Matrix berechnen
- *M3.IV.11 A1 L Vorherige Zustände
- *M3.IV.11 A1 ABL Verschlüsseln von Nachrichten mit Matrizen
- V. Vertiefung A2: Geraden und Ebenen im Raum
- M3.V.12 A2 L Geradengleichung vektoriell
- M3.V.12 A2 ABL Geraden im Raum
- M3.V.12 A2 App1 Geraden vektoriell
- M3.V.12 A2 App2 Im dreidimensionalen Raum
- M3.V.13 A2 L Lagebeziehungen von Geraden
- M3.V.14 A2 L Ebenengleichungen
- M3.V.14a A2 ABL Ebenen im Raum
- M3.V.14a A2 App Ebenen im Raum
- M3.V.14b A2 ABL weitere Ebenengleichungen
- M3.V.14b A2 App Koordinatenform
- M3V.15 A2 L Abstandsberechnungen
- M3.V.15a A2 ABL Abstand berechnen
- M3.V.15a A2 App1 Abstand Kürzeste Verbindung
- M3.V.15a A2 App2 Abstand Orthogonale Verbindung
- M3.V.15a A2 App3 Abstand Berührkugel
- M3.V.15b A2 ABL Problem Abstand Punkt-Gerade
- *M3.V.16 A2 L Elementargeometrische Zusammenhänge analytisch
- *M3.V.16a A2 ABL Schwerpunkt eines Dreiecks
- *M3.V.16a A2 App Schwerpunkt eines Dreiecks
- *M3.V.17 A2 L weitere Anwendungen
M3 L Didaktische Hinweise zur Reihe
[size=150][b][color=#FFA252]Reihenübersicht Modul 3 [/color][/b][/size][br]Die folgende Reihenübersicht soll Ihnen einen Einblick in die Materialien dieses GeoGebra-Buchs geben und Anhaltspunkte für die Strukturierung Ihres Unterrichts mit diesen Materialien bieten.[br][url=https://mategnu.de/m/3/rp3.pdf][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/rp3.png[/img][/url]
[size=150][b][color=#FFA252]Ansatz der Unterrichtsreihe [/color][/b][/size][br]Fokus dieser Sequenz ist die Einführung von [b]Vektoren als n-Tupel[/b] und erst nach Erarbeitung von Rechenoperationen die graphische Deutung sowohl als Punkt als auch als Pfeil.[br][br]Zweiter Schwerpunkt sind [b]Matrizen[/b], die unabhängig davon, ob Wahlgebiet A1 oder A2 festgelegt werden, [b]verpflichtend im Leistungskurs[/b] zu unterrichten sind. Grundlegende Inhalte dieses Themas werden durch die Modellierung von Übergangsprozessen auch für Grundkurse in [url=https://www.geogebra.org/m/ysyzkgyn#chapter/1102840][color=#095EBC]Kapitel IV[/color][/url] geeignet erarbeitet.
[b][color=#FFA252]Schwierigkeiten bei Vektoren[/color][/b][br]Vektoren als Pfeilklassen erschweren die Definition von Rechenoperationen, da IMMER auch noch die Unabhängigkeit von der Wahl der Repräsentanten gezeigt werden muss. Ferner ist die Einführung eines Ortsvektors, der nicht frei verschiebbar ist, nicht nachvollziehbar. [br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/pfeilklassenmodell_probleme_500.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/pfeilklassenmodell_probleme.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Verstaendnisorientierung_in_der_Analytischen_Geometrie.pdf#page=23][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d17460cc-2a85-4897-b0aa-b46400edb181][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url]
[b][color=#FFA252]Skalarprodukt[/color][/b][br]Das [b]Skalarprodukt[/b] lässt sich mit dem n-Tupel-Ansatz sehr anschaulich erarbeiten:[br]Es ist unmittelbar klar, wie aus den Vektoren Einkaufs- bzw. Stückliste und Preisliste der Gesamtpreis berechnet werden muss (s. Bsp. Kekse backen). Auch der Verständnisanker Farbvektoren ermöglicht über die Berechnung eines Graustufenwerts (z.B. für den Schwarz-Weiß-Druck eines Bildes) ein sinnhafte Definition des Skalarprodukts.[br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/skalarprodukt_arithmetischer_zugang_500.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/skalarprodukt_arithmetischer_zugang.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Verstaendnisorientierung_in_der_Analytischen_Geometrie.pdf#page=56][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url]
[b][color=#FFA252]Vektoren als n-Tupel[/color][/b][br]Aus mathematischer Sicht ist ein Vektor ein Element eines Vektorraums, der als solches bestimmten Axiomen genügt. Deshalb ist die [b]Definition eines Vektors als n-Tupels, der geometrisch als Pfeil oder auch als Punkt gedeutet werden kann[/b], mathematisch anschlussfähig und korrekt. (Details s. Malle 2005 Von Koordinaten zu Vektoren, Malle 2005 Neue Wege in der Vektorgeometrie). In der Handreichung werden Vektoren im Kontext des rgb-Farbmodells (aus der Computergrafik) eingeführt, als Verständnisanker dient der rgb-Farbvektor mit den Komponenten rot, grün, blau.[br]Mit weiteren Kontexten (Zutaten Plätzchenrezept, Mobilität und CO2-Emission, Instagram-Algorithmus) wird der Vektorbegriff abstrahiert.[br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/vektoren_als_n-tupel_500.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/vektoren_als_n-tupel.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Verstaendnisorientierung_in_der_Analytischen_Geometrie.pdf#page=27][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d17460cc-2a85-4897-b0aa-b46400edb181][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url]
[b][color=#FFA252]Geometrische Deutung von Vektoren[/color][/b][br]Anschlussfähig an die Veranschaulichung von Zahlen an der Zahlengerade als Punkte oder Änderungspfeile werden Vektoren geometrisch als (Zustands-)[b]Punkte[/b] und (Änderungs-)[b]Pfeile[/b] gedeutet.[br]Dadurch wird das Ortsvektorkonzept vermieden, das mathematisch nicht anschlussfähig ist und bei Lernenden nachweislich zu Verständnisproblemen führt (z.B: Wittmann 2003; Malle 2005).[br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/vektor_punktdeutung_pfeildeutung_1_500.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/vektor_punktdeutung_pfeildeutung_1.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Verstaendnisorientierung_in_der_Analytischen_Geometrie.pdf#page=36][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d17460cc-2a85-4897-b0aa-b46400edb181][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url]
[b][color=#FFA252]Geometrische Deutung des Skalarprodukts[/color][/b][br]Bei der geometrischen Deutung werden folgende Eigenschaften des Skalarprodukts erarbeitet: [list][*]Verschiebung der Pfeile verändert Ergebnis nicht[/*][*]für parallele Pfeile: Ergebnis ist Produkt der Beträge (Vorzeichen)[/*][*]für orthogonale Pfeile: Ergebnis ist Null[/*][*]für eingeschlossenen Winkel [math]0°<\alpha (\vec{v},\vec{w})<90°[/math]: Ergebnis positiv[/*][*]für eingeschlossenen Winkel [math]90°<\alpha (\vec{v},\vec{w})<180°[/math]: Ergebnis negativ[/*][/list]sowie die Projektionsvorstellung: alle Vektoren [math]\vec{v_i}[/math], für die das Skalarprodukt mit [math]\vec{u}[/math] denselben Wert hat, haben denselben Projektionsvektor [math]\vec{v_u}[/math] auf [math]\vec{u}[/math]. Zeichnet man alle Vektoren [math]\vec{v_i}[/math] und [math]\vec{u}[/math] von einem Punkt ausgehend in ein Koordinatensystem als Pfeile ein, liegen alle Spitzen der Pfeile [math]\vec{v_i}[/math] auf einer Geraden senkrecht zu [math]\vec{u}[/math].[br](Details s. Schacht 2014 Ganz schön verMESSEN, Filler 2011 Elementare Lineare Algebra).[br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/skalarprodukt_im_kontext_emissionsziele_500.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/skalarprodukt_im_kontext_emissionsziele.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Verstaendnisorientierung_in_der_Analytischen_Geometrie.pdf#page=84][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url]
[b][color=#FFA252]Abstandsbegriff[/color][/b][br]Im Wahlgebiet A2 Geraden und Ebenen im Raum werden auch Lagebeziehungen und Abstände thematisiert. Zum [b]Abstand[/b] lassen sich drei verschiedenen Grundvorstellungen identifizieren: Abstand als [list][*]kürzeste Verbindung[/*][*]orthogonale Verbindung[/*][*]Radius einer Berührkugel bzw. eines Berührradius.[/*][/list]Alle drei Vorstellungen sollten ausgebildet werden, um geometrische Probleme flexibel lösen zu können.[br]Es werden unterschiedliche Herangehensweisen an die Problemstellung Abstand Punkt Gerade in räumlichen Koordinaten aufgezeigt, die mit SuS produktiv zur Auseinandersetzung genutzt werden können. (Details s. Frohn & Salle 2020 Wie finde ich den richtigen Abstand?)[br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/abstandsbegriff_grundvorstellungen_500.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/abstandsbegriff_grundvorstellungen.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Verstaendnisorientierung_in_der_Analytischen_Geometrie.pdf#page=90][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url]
[b][color=#FFA252]Matrizen[/color][/b][br]Einen ersten Zugang zu Matrizen - egal welcher Vertiefungsbereich gewählt wird - erhalten die Lernenden im Kapitel lineare Gleichungssysteme, bei denen zum Gauß-Algorithmus die erweiterte Koeffizientenmatrix eingeführt wird und als weitere Lösungsalternative die Matrix-Vektor-Gleichung.[br]Im Vertiefungsbereich dienen Matrizen zur Modellierung von Übergangsprozessen. Am Beispiel von der Kundenwanderung zwischen zwei Streamingdienst-Anbietern werden die zentralen Schritte und Darstellungen zur Modellierung erarbeitet und die Matrizenmultiplikation von den SuS entdeckt.[br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_uebergangstabelle_uebergangsgraph_500.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_uebergangstabelle_uebergangsgraph.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Matrizen_und_Modellierung.pdf#page=6][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d954adec-8769-4c6f-88de-b46000dc3184][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url]
[size=150][b][color=#FFA252]Link zu den Fortbildungsmaterialien zu Grundvorstellungen von Modul 3[/color][/b][/size][br]Link zu der Aufzeichnung und den Folien im [url=https://lms2.schulcampus-rlp.de/PL-0003/course/view.php?id=263§ion=4]Schulcampus [/url](Anmeldung erforderlich)
Hinweise zum Einsatz von GeoGebra im Unterricht (für alle Module identisch) s. Material [url=https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#material/k9szjqkw]https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#material/k9szjqkw[/url])
M3.I.1 L Farbcodierung
[color=#FFA252][b][size=150]Leitfrage zu Phase 1[/size][/b][/color][br]Was ist ein Vektor und für was nutzt man ihn?[br][color=#666666][i]oder im Kontext: Wie lassen sich Bildinformationen codieren und speichern?[/i][/color]
[color=#FFA252][b][size=150]Vektoren sind n-Tupel (Arithmetische Auffassung)[/size][/b][/color][br]Kern des Konzepts ist die [b]Definition von Vektoren als n-Tupel[/b]. Vektoren sind arithmetische Objekte, eine geordnete Liste von Zahlen. Vektorpfeile und Vektorpunkte im Koordinatensystem sind geometrische Deutungen eines Vektors.[br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/vektoren_als_n-tupel_500.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/vektoren_als_n-tupel.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Verstaendnisorientierung_in_der_Analytischen_Geometrie.pdf#page=27][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d17460cc-2a85-4897-b0aa-b46400edb181][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url]
[color=#FFA252][b][size=150]Verständnisanker rgb-Farbvektor (Arithmetische Auffassung)[/size][/b][/color][br]Eingeführt werden Vektoren im Kontext des rgb-Farbmodells, das in TV und Computergrafik weit verbreitet ist. Ein [b]rgb-Farbvektor[/b] beschreibt die Farbe (eines Pixels) als Farbtripel mit den Komponenten [color=#ff0000]rot[/color], [color=#00ff00]grün[/color] und [color=#0000ff]blau[/color]. Details dazu siehe unten.[br]Folgende Einschränkung weist der rgb-Farbraum als Kontext auf: es sind lediglich Werte 0...255 für die Komponenten möglich, deshalb müssen die Rechenoperationen modifiziert werden (Details s.u. Kontext). Mathematisch handelt es sich deshalb streng formal nicht um Vektoren, dennoch eignet sich der Kontext sehr gut, um die Struktur zu erkennen. [br][br][b][color=#FFA252][size=150]rgb-Komponenten als n-Tupel zur Beschreibung der Farbe eines Bildpunkts[br][/size][/color][/b][b][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][url=https://www.geogebra.org/m/ysyzkgyn#material/j4fhmheh][color=#095EBC]M3.I.1a AB rgb-Farbmodell[/color][/url][/b][br]führt die SuS in den Kontext ein. Sie erstellen mit einem Applet rgb-Vektoren für verschiedene Farben. Anschließend entdecken Sie, dass Grautöne in allen drei Farbkomponenten übereinstimmende Werte haben, [br]z.B. [math] \overrightarrow{hellgrau}= \begin{pmatrix} 220 \\ 220 \\ 220 \end{pmatrix} [/math]. [br]Im Kontext der Grauvektoren entdecken die SuS bereits die Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl. Explizit wird dieses Rechenverfahren später von den SuS selbst definiert, nachdem sie Vektoren in weiteren Kontexten angewendet und so den Vektorbegriff gefestigt (und vom konkreten Kontext abstrahiert) haben.[br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/vektoren_als_n-tupel_verstaendnisanker_rgb-farben_500.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/vektoren_als_n-tupel_verstaendnisanker_rgb-farben.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Verstaendnisorientierung_in_der_Analytischen_Geometrie.pdf#page=28][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d17460cc-2a85-4897-b0aa-b46400edb181][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url]
[color=#FFA252][b][size=150]Farbvektoren als Linearkombinationen von Grundfarben[/size][/b][/color][br][b][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][url=https://www.geogebra.org/m/ysyzkgyn#material/en5dvn4b][color=#095EBC]M3.I.1b AB Farben mischen[/color][/url][/b][br]stellt darauf aufbauend Farben explizit als Mischung der drei Grundfarben rot, grün und blau dar und verdeutlich diese Darstellung durch das Applet.[br]Zunächst sollen die SuS einen Farbvektor als Linearkombination der Grundfarbvektoren [math]\overrightarrow{rot}=\begin{pmatrix} 255 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ \overrightarrow{grün}=\begin{pmatrix} 0 \\ 255 \\ 0 \end{pmatrix}[/math] und [math] \overrightarrow{blau}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 255 \end{pmatrix}[/math] ausdrücken.[br]Dabei werden Linearkombinationen eingeführt. Anschließend werden die Grundfarbvektoren als linear unabhängig erarbeitet und dieses Konzept auf andere Farbvektoren übertragen. [br]Hier wird im Kontext die Addition von Vektoren entdeckt, die ebenfalls nach der Abstraktion des Vektorbegriffs durch Anwendung in anderen Kontexten von den SuS explizit definiert wird.[br][br][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Werkzeug_30.jpg[/img][url=https://www.geogebra.org/m/ysyzkgyn#material/umpyyx2n][b][color=#095EBC]M3.I.1c AB Linearkombinationen von Vektoren bestimmen[/color][/b][/url] [br]ist als Anleitung zur Lösung von Gleichungen zu Linearkombinationen mit CAS konzipiert und sollte dabei zumindest als Kontrolle der händischen Berechnung genutzt werden (noch besser ist diese gleich damit zu entlasten).
[color=#FFA252][b][size=150]Weitere Kontexte[/size][/b][/color][br]Eine problematische, häufige [b]Fehlvorstellung[/b] zu Vektoren bezieht sich auf die Dimension, nach der Vektoren (höchstens oder genau) drei Komponenten besitzen.[br]Unbedingt sind deshalb weitere Beispiele bereits zu Beginn nötig, die Vektoren mit mehr als drei Komponenten zur Beschreibung unterschiedlicher Kontexte nutzen, einige Beispiele sind in [br][b][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][url=https://www.geogebra.org/m/ysyzkgyn#material/vfxcfgfr][color=#095EBC]M3.I.1d AB Kekse, Mobilität, Instagram[/color][/url][/b][br]enthalten. [br][br][color=#FFA252][b][size=150]Rechenvorschriften[/size][/b][/color][br]Mit den Kontextwechseln sind Vektoren als n-Tupel soweit als Begriff eingeführt (und abstrahiert über einen konkreten Kontext hinaus), dass die SuS die beiden Rechenoperationen [i]Addition von zwei Vektoren[/i] und [i]Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl[/i] im [color=#095EBC]M3.I.1d AB Kekse, Mobilität, Instagram[/color] aus den Kontexten heraus sinnvoll selbst ableiten und definieren können.[br][br]Für die [b]Anknüpfung an Inhalte der Sek I[/b] in der ebenen Geometrie ist es auch unbedingt sinnvoll, [b]Vektoren mit zwei Komponenten[/b] zu betrachten.[br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/vektoren_rechengesetze_500.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/vektoren_rechengesetze.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Verstaendnisorientierung_in_der_Analytischen_Geometrie.pdf#page=34][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d17460cc-2a85-4897-b0aa-b46400edb181][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url]
[color=#525252][b][size=150]Details zum Kontext[/size][/b][/color][br][i]In der Computergrafik ist das rgb-Farbmodell weit verbreitet. In diesem Modell können alle Farben aus den Grundfarben rot (r), grün (g) und blau (b) gemischt werden. [br]Das Modell gehört zu den additiven Farbmodellen, d. h. je mehr Anteile der drei Grundfarben zugegeben werden, desto heller ist die so gemischte Farbe. Dadurch unterscheidet sich das Modell vom Mischen von Farben auf weißem Papier. Wenn auf einem Blatt Papier Farben gemischt werden, ist das Ergebnis in der Regel dunkler, als die verwendeten Grundfarben. Am einfachsten kann man sich das Mischen von Farben im RGB-Modell so vorstellen: Drei Taschenlampen leuchten jeweils in den Farben, Rot, Grün und Blau. Richtet man nun den Lichtschein der Taschenlampen auf eine dunkle Wand und überschneiden sich die Lichtkegel der Taschenlampen, so ist dort eine hellere Farbe zu sehen. Dort wo alle drei Lichtkegel übereinander liegen, sieht man die Farbe Weiß. Man nennt die Farben im RGB-Modell auch Lichtfarben.[br][br]Da das Auge nicht beliebig kleine Farbabweichungen wahrnimmt, genügt es i. Allg., für jede Komponente 256 Werte zu unterscheiden. (Die Festlegung auf 256 Werte erfolgte, weil dadurch genau 8 Bit an Informationen für jede Komponente notwendig sind: [math]2^8=256[/math].) Die Komponenten [math]r,g,b[/math] von Farbtripeln werden deshalb als natürliche Zahlen von 0 bis 255 für jedes darzustellende Pixel eines Bildes angegeben.[br][br]Dies führt beim Mischen von Farben oder auch bei Veränderung der Helligkeit zu der Schwierigkeit, wie Werte über 255 in einer (oder mehreren) Komponenten des Farbvektors behandelt werden.[br]Grundsätzlich gib es zwei Wege, die aber beide zu Fehlern führen:[br][list][*]beim sog. Clamping werden die Werte einfach auf 255 begrenzt [math]min\left(v_i+w_i,255\right)[/math][/*][*]beim zyklischen Überlauf werden die Werte modulo 255 berechnezt [math]mod\left(v_i+w_i,255\right)[/math].[/*][/list]Beim Clamping kommt es zu Farbverschiebungen, weil das Verhältnis der Farbkomponenten nicht gleich bleibt: z.B. wird bei einem Wert über 255 für die r-Komponente der relative Anteil von grün und blau höher, wenn rot auf 255 gekappt wird (color-shifting).[br]Beim zyklischen Überlauf wird aus einer sehr hellen Farbkomponente eine sehr dunkle (Farbrauschen, Glitch).[br]Eine Art der Fehlerkorrektur ist die Normalisierung der Farben (proportionale Skalierung), bei der alle Farbkomponenten mit einem Faktor [math]n=\frac{max(r,g,b)}{255}[/math] herunterskaliert werden.[br][/i]
[size=150][color=#FFA252][b]Zeitbedarf[/b][/color][br][/size]2-3h[br]
[size=150][color=#FFA252][b]Übung: Weitere Beispielkontexte für n-Tupel[/b][/color] [br][/size]Da Schulbücher Vektoren als Pfeilklassen definieren, finden sich dort wenig passende Aufgaben.[br]Auf der Webseite [url=https://www.maths2mind.com/schluesselwoerter/vektoren-als-zahlentupel][color=#095EBC]Math2Mind.com[/color][/url] sind jedoch passende Aufgaben zu finden.[br]Auch geeignet: Elemente der Mathematik 2017 LK, S. 31 A. 2, S. 36 A. 1-3, S. 39, 40[br][br][size=85][i]Anm.: Die Schulbücher [size=85][i]o-mathe, [/i][/size]Elemente der Mathematik, Lambacher Schweizer und Fundamente der Mathematik nutzen in der analytischen Geometrie leider das Pfeilklassenmodell für Vektoren mit all seinen Problemen sowie vermeidbar komplexen Berechnungen und Veranschaulichungen (z.B. Ortsvektor). Nachdem diese Unterschiede mit den SuS besprochen wurden, können Übungen aus den Schulbüchern verwendet werden.[/i][/size]
M3.II.4 L Vektoren und LGS
[img]https://mategnu.de/bilder/banner/Handreichung_Lehrkraefte.png[/img]
[color=#FFA252][b][size=150]Leitfrage zu Phase 4[/size][/b][/color][br]Wie hängen Vektoren mit linearen Gleichungssystemen zusammen?
[b][color=#FFA252][size=150]Von der Linearkombination zum LGS[/size][/color][/b][br]Im digitalen Arbeitsblatt [br][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Werkzeug_30.jpg[/img][url=https://www.geogebra.org/m/ysyzkgyn#material/evbnn6uv][color=#095EBC][b]M3.II.4 AB Linearkombinationen von Vektoren als LGS[/b][/color][/url][br]wird die Problemstellung der Linarkombination von Vektoren aus [url=https://www.geogebra.org/m/ysyzkgyn#material/umpyyx2n][color=#095EBC]M3.I.1c AB Linearkombinationen von Vektoren bestimmen[/color][/url] aufgegriffen und als lineares Gleichungssystem interpretiert. [br][br]Die Gleichung einer Linearkombination mit vier Vektoren [math]\vec{f}=x \cdot \vec{r}+y \cdot \vec{g}+z \cdot \vec{b} [/math] wird dazu zunächst mit den Faktoren [math]{x,y,z}[/math] statt [math]{k,l,m}[/math] notiert.[br]An einem Beispiel [math]\vec{r}=\begin{pmatrix} 1 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix}[/math], [math]\vec{g}= \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}[/math], [math] \vec{b}=\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}[/math] und [math] \vec{f}= \begin{pmatrix} 12 \\ 24 \\ 48 \end{pmatrix}[/math] wird die linke Seite der Gleichung der Linearkombination nun umgeformt und zeilenweise interpretiert. Dadurch entsteht ein lineares Gleichungssystem mit den drei Unbekannten [math]{x,y,z}[/math].[br][br]Das LGS wird mit dem Befehl [code]Löse()[/code] und als Alternative über das Kontextmenü mit der Option [code]Lösen[/code] gelöst. [br]Die SuS lösen ein weiteres LGS und deuten dieses abschließend wieder als Linearkombination.
[size=150][color=#FFA252][b]Kurze Erinnerung zu Gleichungssystemen[/b][/color][/size][br]An dieser Stelle bietet sich eine KURZE Erinnerung an Gleichungssysteme sowie Einsetzungs-, Gleichsetzungs- und Additionsverfahren an.[br]In der Unterrichtsreihe zur Ableitung ([url=https://mategnu.de/m/l1][color=#095EBC]MaTeGnu Modul 1[/color][/url]) sollten lineare Gleichungssysteme bereits bei Steckbriefaufgaben von Funktionen thematisiert werden.
[size=150][color=#FFA252][b]Zeitbedarf[/b][/color][br][/size]1h
[size=150][color=#FFA252][b]Übungen[/b][/color][/size][br]Elemente der Mathematik RP 2017 LK, S. 12, 14-18[br]Lambacher Schweizer 2012, S. 8-33
M3.III.7 L Vektoren geometrisch deuten
[color=#FFA252][b][size=150]Leitfrage zu Phase 7[/size][/b][/color][br]Wie kann man sich Vektoren veranschaulichen?
[size=150][color=#FFA252][b]Vektor als Änderungspfeil oder Zustandspunkt[/b][/color][/size][br]Wird ein [b]Vektor geometrisch als Pfeil interpretiert[/b], dann beschreibt er eine Änderung. Er geht im Koordinatensystem von einem beliebigen Punkt [math]\overrightarrow{P_1}[/math] zu einem anderen Punkt [math]\overrightarrow{P_2}[/math]. Dabei gilt, die Komponenten des Vektors geben die Änderung der Koordinaten von [math]\overrightarrow{P_1}[/math] zu [math]\overrightarrow{P_2}[/math] an.[br]Wird ein [b]Vektor geometrisch als Punkt interpretiert[/b], dann beschreibt er einen Zustand. Die Komponenten des Vektors geben dann die Koordinaten des Punktes an.[br][b]Beide geometrischen Deutungen sind mathematisch sinnvoll und korrekt im Sinne der Definition des Vektors.[/b] [br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/vektor_punktdeutung_pfeildeutung_1_500.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/vektor_punktdeutung_pfeildeutung_1.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Verstaendnisorientierung_in_der_Analytischen_Geometrie.pdf#page=36][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d17460cc-2a85-4897-b0aa-b46400edb181][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url][br][br]Dieses duale Verständnis knüpft direkt an die Zahldarstellung und -interpretation an der Zahlengeraden Primar- und Sekundarstufe an: dort haben die SuS eine Zahl als Zustand (Punkt) und als Änderung zwischen zwei Zahlen (Pfeil zwischen zwei Punkten) kennengelernt. [br][br][br]Im digitalen Arbeitblatt [br][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Hybrid_30.jpg[/img][b][url=https://www.geogebra.org/m/ysyzkgyn#material/uc2k3txn][color=#095EBC]M3.III.7a AB Zahlentupel interpretieren[/color][/url][/b][br]werden die SuS an die beiden Deutungen (Zustand-)Punkt und (Änderungs-)Pfeil von Zahlen an der Zahlengeraden erinnert, um dann diese Deutung auf Vektoren als Zahlentupel und das ebene Koordinatensystem zu übertragen. Dies veranschaulichen sie sich im Applet[br][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][b][url=https://www.geogebra.org/m/ysyzkgyn#material/uc2k3txn][color=#095EBC]M3.III.7a App Vektoren 2D[/color][/url][/b][br]des digitalen Arbeitsblatts [color=#095EBC]M3.III.7a AB Zahlentupel interpretieren[/color], in dem die arithmetische Schreibweise mit angegeben ist.[br]Anschließend untersuchen sie die Handhabung von Vektoren in [img]https://mategnu.de/bilder/icons/Werkzeug_30.jpg[/img]GeoGebra-3D: hier ist die Zeilen- und Spaltenschreibweise neu, sowie der Befehl [code]Vektor(A,B)[/code], der einen Änderungsvektor im Koordinatensystem erzeugt und diesen vom erstgenannten Punkt ausgehen lässt. Großschreibung bei der Eingabe erzeugt Punkte, Kleinschreibung Pfeile. Dadurch übertragen sie die Punkt- und Pfeildeutung ins Dreidimensionale.[br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/vektor_punktdeutung_pfeildeutung_2_500.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/vektor_punktdeutung_pfeildeutung_2.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Verstaendnisorientierung_in_der_Analytischen_Geometrie.pdf#page=37][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d17460cc-2a85-4897-b0aa-b46400edb181][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url]
[size=150][color=#FFA252][b]Duale Deutung der Vektoraddition[/b][/color][/size][br]Auch bei der Vektoraddition bieten sich zwei Deutungsmöglichkeiten ganz analog zur Vorstellung der Addition an der Zahlengeraden in der Primar- und Sekundarstufe:[br]Genau wie sich [math]2+3=5[/math] an der Zahlengeraden sowohl als [br][list][*]Punkt (Stelle) 2 + Pfeil (Veränderung) 3 ergibt Punkt (Stelle) 5, als auch als[/*][*]Pfeil (Veränderung) 2 + Pfeil (Veränderung) 3 ergibt Gesamtpfeil (Gesamtveränderung) 5[/*][/list]darstellen lassen, kann [math]\vec{v}+\vec{w}=\vec{z}[/math] dargestellt werden als [br][list][*]Punkt (Zustand) [math]\vec{v}[/math] + Pfeil (Veränderung) [math]\vec{w}[/math] ergibt Punkt (Zustand) [math]\vec{z}[/math], als auch als[/*][*]Pfeil (Veränderung) [math]\vec{v}[/math] + Pfeil (Veränderung) [math]\vec{w}[/math] ergibt Gesamtpfeil (Gesamtveränderung) [math]\vec{z}[/math].[/*][/list][br]Im digitalen Arbeitblatt [br][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Hybrid_30.jpg[/img][b][url=https://www.geogebra.org/m/ysyzkgyn#material/vjhu3rhx][color=#095EBC]M3.III.7b AB Vektoraddition geometrisch[/color][/url][/b][br]werden die SuS an die beiden Deutungen [i]Zustand+Änderung=Zustand[/i] sowie [i]Änderung+Änderung=Gesamtänderung[/i] der Addition von Zahlen an der Zahlengeraden erinnert, um dann diese Deutung auf Vektoren als Zahlentupel und das ebene Koordinatensystem zu übertragen. [br]In Aufgabe 1 sind im Applet[br][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][b][url=https://www.geogebra.org/m/ysyzkgyn#material/vjhu3rhx][color=#095EBC]M3.III.7b App Vektoraddition 2D[/color][/url][/b][br]des digitalen Arbeitsblatts [color=#095EBC]M3.III.7b AB Vektoraddition geometrisch[/color] beide geometrischen Deutungen im ebenen Koordinatensystem dargestellt und die SuS sind aufgefordert die Darstellungen zu interpretieren. [br]In Aufgabe 2 übertragen die SuS auch diese beiden Deutungen in [img]https://mategnu.de/bilder/icons/Werkzeug_30.jpg[/img]GeoGebra-3D ins Dreidimensionale.[br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/vektoraddition_darstellungen_500.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/vektoraddition_darstellungen.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Verstaendnisorientierung_in_der_Analytischen_Geometrie.pdf#page=39][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d17460cc-2a85-4897-b0aa-b46400edb181][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url]
[size=150][color=#FFA252][b]rgb-Farbvektor im Farbwürfel[/b][/color][/size][br]Die Dualität des Vektors als Pfeil und Punkt wird bei der Darstellung im Kontext der rgb-Farbcodierung in [br][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][b][url=https://www.geogebra.org/m/ysyzkgyn#material/a6fkauv8]M3.III.7c AB rgb-Farbvektoren geometrisch[/url][/b] [br] an den Verständnisanker zum Vektorbegriff rgb-Farbvektor angebunden und dadurch gefestigt. [br]Alle codierbaren Farben (0..255 pro Farbwert) lassen sich geometrisch in einem Farbwürfel darstellen. Einzelne Farben sind sowohl als Punkt in diesem Würfel darstellbar, als auch als Pfeil. [br]Jede Farbe wird dabei als Linearkombination von [color=#ff0000]rot[/color]-, [color=#00ff00]grün[/color]- und [color=#0000ff]blau[/color]-Vektor (Mischen aus den Grundfarben) aufgefasst und geometrisch als Pfeiladdition (Hintereinanderschalten) dargestellt.[br][br]Optional sollen SuS in Aufgabe 3 eigenständig Kritikpunkte an dem Modell der rgb-Farbvektoren herausarbeiten. Insbesondere die räumliche Beschränkung, die eine beliebige Platzierung der Vektorpfeile verhindert, sollte bewusst angemerkt werden. Die Einschränkung des rgb-Farbvektors als Modell für Vektoren bietet hier eine explizite [b]Lerngelegenheit[/b], in der die Eigenschaften von Vektoren und deren geometrischen Deutungen bewusst gemacht werden können.
[size=150][color=#FFA252][b]Orientierung im Raum[/b][/color][/size][br]Die SuS sollten in dieser Phase begleitend die Orientierung im dreidimensionalen Koordinatensystem üben. [br]Dazu bieten sich mit geringer Anpassung (bzw. Anmerkungen zur unterschiedlichen Auffassung von Punkten) Übungen aus dem Schulbuch oder das Kapitel [url=https://o-mathe.de/analytische-geometrie/vektoren/3dkoordinaten][color=#095EBC]3D-Koordinatensysteme[/color][/url] des digitalen Schulbuchs [url=https://o-mathe.de/][color=#095EBC]o-mathe[/color][/url] an. [br]An die geometrische Deutung von Vektoren als Pfeile und Punkte mit der Orientierung im Raum schließt sich dann eine Übungsphase an, in der umgekehrt geometrische Probleme analytisch mithilfe von Vektoren beschrieben werden.[br]Da mit dem Vektorbegriff als n-Tupel sowohl Punkte als auch Pfeile analytisch als Vektoren beschrieben werden, vereinfachen sich diese Problemstellungen deutlich.[br]
[size=150][color=#FFA252][b]Vektor als n-Tupel und Schulbücher [/b][/color][/size][br]In den gängigen Schulbüchern findet sich (übrigens mit dem Argument, dass es eben so verbreitet ist) die Definition eines Vektors als Pfeilklasse, zusammen mit dem für das Verständnis und mathematisch problematischen Konstrukt des Ortsvektors (ortsfester Pfeil vom Ursprung zu einem Punkt).[br]Rein mathematisch ist ein Vektor ein Element eines Vektorraums [math]V[/math], also einer algebraischen Struktur, die bestimmten Axiomen genügt. (Menge [math]V[/math] über einem Körper [math](K,+,\cdot)[/math], mit innerer Verknüpfung Vektoraddition - kommutativ, assoziativ, mit Einselement und neutralem Element - und äußerer Verknüpfung Skalamultiplikation - assoziativ, mit Einselement - zusammen distributiv.) [br]Sie können dennoch Ihr Schulbuch für Übungen nutzen.[br]Besprechen Sie mit Ihren SuS die Unterschiede zwischen beiden Auffassungen und machen Sie deutlich, dass in den Büchern durch Ortsvektoren ein unnötiger Umweg beschritten wird.[br]
[size=150][color=#FFA252][b]*Basiswechsel geometrisch (optional)[/b][/color][/size][br]Als Teil der Algebraisierung des Anschauungsraums sollte auch die Wahl der Lage des Koordinatensystems thematisiert werden. Dies wird bei der Untersuchung des Rhombendodekaeders im Vertiefungsbereich [url=https://www.geogebra.org/m/ysyzkgyn#material/kstqvsbx][color=#095EBC]*M3.V.17 A2 L Objektstudien[/color][/url] genutzt und vertieft.[br]An dieser Stelle bietet es sich an eine alternative Lage des Koordinatensystems für Farbvektoren über die Komplementärfarben [color=#00ffff]cyan[/color], [color=#ff00ff]magenta[/color] und [color=#ffff00]yellow[/color], die bereits im digitalen Arbeitsblatt [url=https://www.geogebra.org/m/ysyzkgyn#material/yqs3rsru][color=#095EBC]*M3.I.2c AB Grundfarben des rgb-Modells[/color][/url] als alternative Grundfarben erarbeitet wurden, zu verdeutlichen. Dazu bietet das digitale Arbeitsblatt[br][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][url=https://www.geogebra.org/m/ysyzkgyn#material/pavxac2w][b][color=#095EBC]*M3.III.7d AB Alternatives Farbmodell[/color][/b][/url][br]Aufgaben zur Identifizierung der Komplementärfarben und der Umrechnung.[br]
[size=150][color=#FFA252][b]Zeitbedarf[/b][/color][br][/size]2-3h + Zeit zum Übung
[size=150][color=#FFA252][b]Übungen [/b][/color][/size][br]Kapitel [url=https://o-mathe.de/analytische-geometrie/vektoren/3dkoordinaten][color=#095EBC]3D-Koordinatensysteme[/color][/url] und mit Einschränkungen Kapitel [url=https://o-mathe.de/analytische-geometrie/vektoren/rechnen][color=#095EBC]Rechnen mit Vektoren[/color][/url] sowie[br]Kapitel [url=https://o-mathe.de/analytische-geometrie/vektoren/betrag][color=#095EBC]Betrag eines Vektors[/color][/url] im digitalen Schulbuch [url=https://o-mathe.de/][color=#095EBC]o-mathe[/color][/url] [br]Lambacher Schweizer 2012, S. 44-46[br]Elemente der Mathematik 2017 LK, S. 48-51[br][br][size=85][i]Anm.: Die Schulbücher o-mathe, Elemente der Mathematik, Lambacher Schweizer und Fundamente der Mathematik nutzen in der analytischen Geometrie leider das Pfeilklassenmodell für Vektoren mit all seinen Problemen sowie vermeidbar komplexen Berechnungen und Veranschaulichungen (z.B. Ortsvektor). Nachdem diese Unterschiede mit den SuS besprochen wurden, können Übungen aus den Schulbüchern verwendet werden.[/i][/size]
M3.IV.9 A1 L Übergangsprozesse
[color=#FFA252][b][size=150]Leitfrage zu Phase 9[/size][/b][/color][br]Wie lässt sich ein dynamischer Prozess mathematisch beschreiben?
[b][color=#FFA252][size=150]Übergangstabelle und Übergangsgraph[/size][/color][/b][br]Wie auch bei den Vektoren (und in M1) beginnen wir hier mit der arithmetischen Vorstellung von Matrizen. Im Kontext von Streamingdiensten werden auf den nächsten beiden Arbeitsblättern [br][url=https://www.geogebra.org/m/ysyzkgyn#material/jgxjtpc4][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][b][color=#095EBC]M3.IV.9 A1 AB Übergangsprozesse mathematisch beschreiben[/color][/b][/url][br]Übergangsmatrizen modelliert und deren Fixelement untersucht. Aufbauen auf diesem Verständnisanker können, anhand anderer Beispiele, die weiteren Inhalte des Lehrplans thematisiert und erarbeitet werden.[br][br]Am Beispiel von Kundenwanderung zwischen zwei Streaming-Diensten wird ein Übergangsprozess betrachtet:[br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_modellannahmen_klein.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_modellannahmen.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Matrizen_und_Modellierung.pdf#page=5][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d954adec-8769-4c6f-88de-b46000dc3184][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url]
Aus den Daten zu Kundenwanderung pro Monat wird zunächst eine Übergangstabelle erstellt, [br]entweder von den SuS eigenständig in Aufgabe 1 des Arbeitsblatts[br][url=https://www.geogebra.org/m/ysyzkgyn#material/jgxjtpc4][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][b][color=#095EBC]M3.IV.9 A1 AB Übergangsprozesse mathematisch beschreiben[/color][/b][/url][br]oder im gemeinsamen Unterrichtsgespräch.[br]Als weitere Darstellung wird in Aufgabe 2 der Übergangsgraph eingeführt.[br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_uebergangstabelle_uebergangsgraph_klein.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_uebergangstabelle_uebergangsgraph.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Matrizen_und_Modellierung.pdf#page=6][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d954adec-8769-4c6f-88de-b46000dc3184][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url]
[b][color=#FFA252][size=150]Entwicklung in Baumdiagramm und Tabellenkalkulation[/size][/color][/b][br]Zur Beantwortung der Frage nach der Entwicklung über mehrere Monate hinweg berechnen die SuS in Aufgabe 3 zunächst die Kundenzahlen der folgenden zwei Monate und stellen die Ergebnisse in einem Baumdiagramm dar.[br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_abonnentenzahlen_nach_einem_monat_klein.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_abonnentenzahlen_nach_einem_monat.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Matrizen_und_Modellierung.pdf#page=8][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d954adec-8769-4c6f-88de-b46000dc3184][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url] [br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_abonnentenzahlen_nach_zwei_monaten_klein.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_abonnentenzahlen_nach_zwei_monaten.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Matrizen_und_Modellierung.pdf#page=9][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d954adec-8769-4c6f-88de-b46000dc3184][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url] [br][br]Als nächsten Schritt automatisieren die SuS die Berechnungen für weitere Monate in Aufgabe 4[br]in GeoGebra (oder alternativ einem Tabellenkalkulationsprogramm):[br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_abonnentenzahlen_10_100_monate_klein.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_abonnentenzahlen_10_100_monate.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Matrizen_und_Modellierung.pdf#page=10][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d954adec-8769-4c6f-88de-b46000dc3184][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url] [br][br]Im Applet zu Aufgabe 5 stellt den Verlauf der Kundenzahlen in einem Koordinatensystem dar (alternativ kann in einem Tabellenkalkulationsprogramm mit der Funktion "Diagramm erzeugen" eine entsprechende Darstellung erzeugt werden).[br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_abonnentenzahlen_app_graph_klein.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_abonnentenzahlen_app_graph.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Matrizen_und_Modellierung.pdf#page=11][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d954adec-8769-4c6f-88de-b46000dc3184][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url] [br][br]Basierend auf den Graphen stellen die SuS erste Hypothesen zu einem stationären Zustand an.[br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_abonnentenzahlen_app_tabelle_graph_klein.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_abonnentenzahlen_app_tabelle_graph.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Matrizen_und_Modellierung.pdf#page=12][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d954adec-8769-4c6f-88de-b46000dc3184][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url]
[size=150][color=#FFA252][b]Zeitbedarf[/b][/color][br][/size]2h+1h
[size=150][color=#FFA252][b]Übungen [/b][/color] [br][/size]weitere Beispiele mit Übergangsgraphen und -tabellen beschreiben:[br]Elemente der Mathematik LK RP 2017, S.182-189 mit/ohne GeoGebra[br]Lambacher Schweizer 2012, S. 176-178
M3.V.12 A2 L Geradengleichung vektoriell
[color=#FFA252][b][size=150]Leitfrage zu Phase 12[/size][/b][/color][br]Wie lassen sich Geraden mit Vektoren beschreiben?
[color=#FFA252][b][size=150]Geraden als Punktmengen[/size][/b][/color][br]Ausgehend von einer Geradengleichung aus der Sekundarstufe I [math]y(x)=...[/math] wird im digitalen Arbeitsblatt [br][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][url=https://www.geogebra.org/m/ysyzkgyn#material/akutpmvr][color=#095EBC][b]M3.V.12 A2 AB Geraden im Raum[/b][/color][/url][br]zunächst herausgestellt, dass Geraden Punktmengen sind. Nun wird danach gefragt, wie sich diese Punkte mithilfe von Vektoren beschreiben lassen.[br]Hier bietet die Definition eines Vektors als n-Tupels mit der geometrischen Deutung als Pfeil UND Punkt einen klaren Vorteil und beugt Schwierigkeiten vor, die sich aus der Geradengleichung ergeben, wie beispielsweise:[list][*]Wieso werden Pfeile und Punkte addiert?[/*][*]Wieso entstehen aus dieser Summe Punkte?[/*][*]Wieso kann der Richtungsvektor beliebig eingezeichnet werden während der Stützvektor vom Ursprung ausgehen muss?[/*][/list]Aus der Sekundarstufe I bekannt ist, dass eine Gerade durch zwei Punkte [math]\overrightarrow{P_1}=\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}[/math] und [math]\overrightarrow{P_2}=\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}[/math] eindeutig festgelegt ist. In der dazugehörigen Geradengleichung [math]y=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \cdot (x-x_1)+y_1[/math] lassen sich nun die [b]Änderungen [/b]in den Koordinaten zwischen den beiden Punkten [math](y_2-y_1)[/math] und [math](x_2-x_1)[/math] sowie die [b]Punktkoordinaten [/b][math](x_1,y_1)[/math] identifizieren. Daraus lässt sich übertragen, dass sowohl ein Punkt als auch ein Änderungspfeil für die Beschreibung einer Gerade mit Vektoren sinnvoll sind.[br]Dies erkunden die SuS im zugehörigen Applet zunächst im ebenen Koordinatensystem und übertragen es anschließend ins Dreidimensionale.[br]Für das Verständnis im Dreidimensionalen sollte auch gegenständlich die Idee von zwei Punkten, die eine Gerade eindeutig definieren, betrachtet werden: ein Stab/Stift kann durch zwei Bezugspunkte stabil gehalten werden.[br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/geradengleichung_parameterform_500.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/geradengleichung_parameterform.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Verstaendnisorientierung_in_der_Analytischen_Geometrie.pdf#page=43][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d17460cc-2a85-4897-b0aa-b46400edb181][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url]
[size=150][color=#FFA252][b]Zeitbedarf[/b][/color][br][/size]1h + Zeit zum Üben[br]
[size=150][color=#FFA252][b]Übungen[/b][/color] [br][/size]Lambacher Schweizer 2012 S. 47-50[br]Elemente der Mathematik 2017 LK, S. 52-58[br][br][size=85][i]Anm.: Die Schulbücher o-mathe, Elemente der Mathematik, Lambacher Schweizer und Fundamente der Mathematik nutzen in der analytischen Geometrie leider das Pfeilklassenmodell für Vektoren mit all seinen Problemen sowie vermeidbar komplexen Berechnungen und Veranschaulichungen (z.B. Ortsvektor). Nachdem diese Unterschiede mit den SuS besprochen wurden, können Übungen aus den Schulbüchern verwendet werden.[/i][/size]