Donada una circumferència de 10 cm de radi, determineu quines dimensions ha de tenir un rectangle d’àrea màxima tal que la seva base sigui tangent a la circumferència i el costat oposat a al base sigui una corda de la circumferència.

Per tal de facilitar l'ús de variables, dibuixem la circumferència centrada en el punt [math]C(0,10)[/math] sobre l'eix d'ordenades, de tal manera que l'eix d'abscisses (eix X) és la recta tangent a la circumferència que utilitzarem per plantejar el problema. [br][br]Definim un punt D mòbil sobre l'eix d'abscisses que es desplaçarà des de l'origen de coordenades [math](0,0)[/math] fins al punt [math](10,0)[/math] que correspon a la projecció ortogonal de la circumferència sobre l'eix X que està més allunyada del punt [math](0,0)[/math]. Les coordenades de D són [math](a,0)[/math] on [math]a[/math] és un nombre entre 0 i 10. També definim l'oposat al punt D sobre l'eix X, el punt [math]G(-a,0)[/math]. Amb els punts D i G tenim la base del rectangle que volem construir. [br][br]A continuació, cal observar que els dos punts que falten per definir el rectangle han d'estar situats sobre la circumferència i a la mateixa alçada respecte l'eix vertical (eix Y). Si aquests dos punts, que anomenarem E i F, es troben "per sota" del centre de la circumferència, és bastant evident que el rectangle DEFG tindrà una àrea inferior a la que tindria rectangle definit pels punts E i F situats sobre la mateixa vertical però a l'altre costat de la circumferència. Per tant, suposarem que els punts E i F es mouen sobre la mitja circumferència situada en el semiplà [math]y\ge10[/math]. La primera coordenada del punt E serà [math]a[/math] (igual que D) i la primera de F serà [math]-a[/math] (igual que G). Per trobar la seva segona coordenada, hem d'aïllar y en l'equació de la circumferència: [br][br][center][math]x^2+\left(y-10\right)^2=10^2[/math][br][/center][center][math]\left(y-10\right)^2=100-x^2[/math][br][/center][center][math]y-10=\sqrt{100-x^2}[/math][br][/center][justify]és a dir, [math]y=10+\sqrt{100-x^2}[/math].Per tant, la segona coordenada dels punts E i F és [math]10+\sqrt{100-a^2}[/math]: [br][/justify][br]L'àrea del rectangle DEFG és: [br][center][math]A=\overline{DG}\cdot\overline{EF}[/math][/center][center][math]A=2a\cdot\left(10+\sqrt{100-a^2}\right)[/math][/center][center][math]A\left(a\right)=20a+2a\sqrt{100-a^2}[/math][/center]Aquesta funció és la que hem d'optimitzar per trobar l'àrea màxima. [br][br]