Potenzfunktion mit rationalem Exponenten - Wurzelfunktion II

Vorbetrachtung

Bevor wir auf den neuen Typ von Potenzfunktionen eingehen, soll eine kleine Vorbetrachtung stehen.

Wann ist eine Funktion eine Funktion?

[size=100][size=150]Nur zum orangenem Graphen ist eine Funktionsgleichung angegeben und das hat einen Grund:[br][i]Für eine [b]Funktion[/b] gilt, dass zu [b]jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet[/b] werden kann.[/i][br][br]Bei der [b]grünen Funktion[/b] erkennst du, dass zum x-Wert des Punktes A (x=4), zwei y-Werte (y=2 und y=-2) zugeordnet werden können.[br]Das steht im [b]Widerspruch[/b] zur Definition einer Funktion.[br][br]Bei der [b]orangenen Funktion[/b] erkennst du, dass du jedem x-Wert genau ein y-Wert - durch einen senkrechten Pfeil nach oben - zuordnen kannst. Somit ist es eine Funktion.[br]Achtung! Dem y-Wert des Punktes B (y=4) werden zwei x-Werte (x=-2 und x=2) zugeordnet. Das ist [b]kein Widerspruch[/b] zur Definition einer Funktion.[br][/size][/size]

Im Folgenden entdeckst du einen weiteren Typen von Potenzfunktionen.

Aufgabe 1

a) Stelle bei den Schiebereglern m=4 und n=2 ein[br][br]b) Stelle bei den Schiebereglern m=9 und n=3 ein

Wie sehen die Funktionsgraphen aus?

Wie die Hyperbel [math]f\left(x\right)=\frac{1}{x^3}[/math] Wie die Parabel [math]f\left(x\right)=x^3[/math] Wie die Hyperbel [math]f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}[/math] Mir kommt da nichts bekannt vor. Wie die Normalparabel [math]f\left(x\right)=x^2[/math]

zu Aufgabe 1

Wie du sicher festgestellt hast, gibt es spezielle Fälle, in denen der neue Typ der Potenzfunktionen wie alte Bekannte aussieht.[br]Schauen wir nun auf die anderen Fälle, in denen der Exponent keine ganze bzw. natürliche Zahl ist.

Aufgabe 2

a) Stelle die Schieberegler auf m=1 und n=2. Klicke nun auf "Umkehrfunktion anzeigen".[br][br]b) Stelle die Schieberegler auf m=1 und n=3. Klicke nun auf "Umkehrfunktion anzeigen".

Wie sehen die Umkehrfunktionen aus?

Wie die Hyperbel [math]f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}[/math] Mir kommt da nichts bekannt vor. Wie die Normalparabel [math]f\left(x\right)=x^2[/math] Wie die Hyperbel [math]f\left(x\right)=\frac{1}{x^3}[/math] Wie die Parabel [math]f\left(x\right)=x^3[/math]

Aufgabe 3

Klicke auf "Spiegelgerade anzeigen" und überlege, warum sie so heißt.[br]Lies erst weiter, wenn du zu einer Vermutung gekommen bist.[br][br]Dir sollte aufgefallen sein, dass die Funktionen durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten [math]y=x[/math] auseinander hervorgehen.

zu Aufgabe 2 und 3

Warum ist die Umkehrfunktion nur eine "halbe Parabel" - d.h. nur für x-Werte eingezeichnet, die größer oder gleich der Null sind?[br]Man könnte doch eine "ganze" Normalparabel ([math]f\left(x\right)=x^2[/math]) an der Spiegelgeraden spiegeln?

Weil die "linke Hälfte" der Normalparabel nur doppelte y-Werte enthält. Weil die Wurzelfunktion nur für nichtnegative x-Werte definiert ist Weil eine Spiegelung einer "ganzen" Normalparabel an der Spiegelgerade keine Funktion ergibt (siehe Vorbetrachtung).

[i]Die oben untersuchten Potenzfunktionen des Typs[/i] [math]f\left(x\right)=x^{\left(\frac{m}{n}\right)}[/math] [i]heißen Wurzelfunktionen. Wie das obere Applet verdeutlicht, sind Wurzelfunktionen nur für nichtnegative x-Werte definiert.[br][/i][br]Die Umkehrfunktionen von Wurzelfunktionen ergeben "Teil-"Potenzfunktionen. Diese sind auf nichtnegative x-Werte beschränkt. Dementsprechend sind Wurzelfunktionen ebenso die Umkehrfunktionen auf ebendiese beschränkten Potenzfunktionen.[br]

Aufgabe 4

Der einfache Fall ist dabei, wenn der Exponent des Radikanten "m" den Wert "1" annimmt.[br]Die daraus entstehende Potenzfunktion [math]f\left(x\right)=x^{\frac{1}{n}}[/math] würde dann die n-te Wurzel von x abbilden. [br]Somit kann diese auch als Wurzelfunktion bezeichnet werden.[br][br]Bewege den Schieberegler, um die nachfolgenden Fragen zu beantworten:

Welchen Definitions- und Wertebereich haben Wurzelfunktionen?

[math]x\in\mathbb{R};x\ge0[/math] und [math]y\in\mathbb{R}[/math] [math]x\in\mathbb{R}[/math] und [math]y\in\mathbb{R}[/math] [math]x\in\mathbb{R};x\ge0[/math] und [math]y\in\mathbb{R};y\ge0[/math] [math]x\in\mathbb{R}[/math] und [math]y\in\mathbb{R};y\ge0[/math]

Welches Monotonieverhalten haben Wurzelfunktionen?

streng monoton fallend für alle x-Werte des Definitionsbereiches streng monoton steigend für alle x-Werte des Definitionsbereiches streng monoton steigend für alle x-Werte des Definitionsbereiches bis zu x = 100 Keins

Welche(n) Punkt(e) haben alle Wurzelfunktionen gemeinsam?

O(-1|-1) Q(1|1) P(0|0) Keine R(-1|1) S(1|-1)

Aufgabe 5

Auch Wurzelfunktionen unterliegen einem Parametereinfluss.[br]Doch du kannst unbesorgt sein - du weißt bereits, wie dieser sein wird.[br][br]Im Folgenden hast du ein Applet, welches alle Parametereinflüsse zusammenfasst. Unter diesem findest du abschließende Kontrollfragen.

Parameter a

Der Parameter a beeinflusst:

eine Verschiebung parallel zur x-Achse um a-Einheiten eine Streckung, wenn |a|<1 eine Verschiebung parallel zur y-Achse um a-Einheiten eine Stauchung, wenn 0<|a|<1 eine Streckung, wenn |a|>1 eine Spiegelung, wenn a<0

Parameter d

Der Parameter d beeinflusst:

eine Verschiebung parallel zur y-Achse um d-Einheiten eine Streckung, wenn |d|>1 eine Spiegelung, wenn d<0 eine Verschiebung parallel zur y-Achse um -d-Einheiten eine Verschiebung parallel zur x-Achse um d-Einheiten eine Verschiebung parallel zur x-Achse um -d-Einheiten

Parameter e

Der Parameter e beeinflusst:

eine Verschiebung parallel zur y-Achse um -e-Einheiten eine Verschiebung parallel zur x-Achse um e-Einheiten eine Verschiebung parallel zur x-Achse um -e-Einheiten eine Verschiebung parallel zur y-Achse um e-Einheiten eine Streckung, wenn |e|>1 eine Spiegelung, wenn e<0

Zusatz 1

Wenn du noch etwas knobeln willst, dann kannst du gerne die Umkehrfunktion herleiten.[br]Dafür tauscht du in der folgenden Gleichung x mit y und löst nach y auf:[br][math]y=a\left(x+d\right)^{\frac{1}{n}}+e[/math][br][br]Zur Kontrolle kannst du in das obige Applet schauen. Dort ist die Umkehrfunktion angegeben.

Zusatz 2

Wir haben gesagt, dass die Wurzelfunktionen nur für nichtnegative x-Werte definiert sind.[br]Jedoch kann man die dritte Wurzel aus "-8" ziehen. Diese ist "-2".[br]Die Gegenprobe - d.h., "-2" hoch "3" - zeigt, dass dies stimmt.[br][br]Überlege dir, warum es zu Problemen kommen könnte. [br]Die Lösung findest du auf folgender Seite:[br][br]https://www.studysmarter.de/schule/mathe/analysis/wurzelfunktion/