SPŠD Motol

Šárka Voráčová, Sep 10, 2026

Geometrie - 1. ročník SPŠD [url]https://www.sps-dopravni.cz/[/url]

Table of Contents

  1. Planimetrie
    1. Planimetrie 1
    2. Planimetrie2
    3. Planimetrie 3
    4. Planimetrie 4
    5. Planimetrie 5
    6. Planimetrie 6
    7. Planimetrie 7
    8. Planimetrie 8
    9. Dvojníci
    10. Symetrie gotického okna
    11. Osová souměrnost (classroom)
  2. Stereometrie
    1. Čára na krychli
    2. Hrací kostka
    3. Vzdálenost mimoběžek
    4. Vzájemná poloha rovin
    5. Řezy krychle
    6. Rovnoběžnost rovin
    7. Řez krychle
    8. Řez jehlanem
    9. Roviny v jehlanu
  3. Kótované promítání
    1. Horizontal and Slope Lines
    2. Slope of the topographic surface
    3. Petřín funicular
  4. Mongeovo promítání
    1. Line in a plane
    2. 5217 - Bod na kuželové ploše
    3. The Globe
    4. True size of the segment
    5. A line perpendicular to a plane
    6. Two Projections of the line
    7. Horizontal lines in a plane
    8. Ortographics views of the point
    9. Monge Projection of the Cube
    10. Parallel projections of two lines
    11. The Monge Projection of the Cone
    12. Multiview drawing
    13. Kopie materiálu Mongeovo promítání - zobrazení bodu
    14. Kopie materiálu Průmět přímky
    15. Kopie materiálu Mongeovo promítání - stopníky přímky
    16. Kopie materiálu Mongeovo promítání - délka úsečky
    17. Kopie materiálu Mongeovo promítání - přímky ve speciální poloze I
    18. Kopie materiálu Mongeovo promítání - stopy roviny
    19. Kopie materiálu Hlavní a spádové přímky roviny
    20. Kopie materiálu Mongeovo promítání - body na kulové ploše
    21. Line in a plane
    22. Kopie materiálu Mongeovo promítání - body na kulové ploše
    23. Horizontal and Slope Lines
  5. Axonometrie
    1. Isometric projection
  6. Kosoúhlé promítání
    1. Kosoúhlé promítání
    2. Součástka v kosoúhlém promítání
    3. Letohrádek Hvězda
    4. Kosoúhlé promítání
    5. Součástka v kosoúhlém promítání
  7. Kinematická geometrie
    1. Cycloid
    2. Articulated Quadrilateral (Kloubový čtyřúhelník)
    3. Epicykloida a >= b
    4. Cycloid.
    5. Rolling Coin 滾動的硬幣
  8. Lineární perspektiva
    1. Linear Perspective of the Cube
    2. Lineární perspektiva - střecha
  9. Křivky
    1. Šroubovice
    2. Řez rotačního kužele.
    3. Cycloid

1.

Planimetrie

Konstrukční úlohy ZŠ [url]https://prijimacky.cermat.cz/menu/testova-zadani-k-procvicovani/testova-zadani-v-pdf/ctyrlete-obory-matematika.html[/url]

  • 1. Planimetrie 1
  • 2. Planimetrie2
  • 3. Planimetrie 3
  • 4. Planimetrie 4
  • 5. Planimetrie 5
  • 6. Planimetrie 6
  • 7. Planimetrie 7
  • 8. Planimetrie 8
  • 9. Dvojníci
  • 10. Symetrie gotického okna
  • 11. Osová souměrnost (classroom)

1.1.

Planimetrie 1

Na obrázku je trojúhelník ABC.[br]Přímka o je osou jeho vnitřního úhlu při vrcholu B.[br]Přímka q prochází vrcholem C a je kolmá ke straně AB tohoto trojúhelníku.[br]Na straně AB leží střed S kružnice k opsané trojúhelníku ABC.[br]Velikosti některých úhlů jsou uvedeny v obrázku. Určete velikosti modrých úhlů [math]\alpha,\varphi[/math].
Postup:
[list=1][*] úhel DEB = 80°[/*][*]úhel DBE = 180°- 80°- 90° = 10°[/*][*][math]2\varphi+90^\circ+\alpha=180^\circ[/math], [math]\alpha=70^\circ[/math][br][/*][/list]
CERMAT, JPZ 2026
– Šárka Voráčová

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

1.6.

–

1.7.

–

1.8.

–

1.9.

–

1.10.

–

1.11.

–

2.

Stereometrie

Středoškolská učebnice stereometrie [url]https://www.geogebra.org/m/wxyvqzkz[/url]

  • 1. Čára na krychli
  • 2. Hrací kostka
  • 3. Vzdálenost mimoběžek
  • 4. Vzájemná poloha rovin
  • 5. Řezy krychle
  • 6. Rovnoběžnost rovin
  • 7. Řez krychle
  • 8. Řez jehlanem
  • 9. Roviny v jehlanu

2.1.

Čára na krychli

Najděte další uzavřené křivky, jež splňují tři pohledy.
Čára na krychli
Vyzkoušejte další úlohy
[url=https://sarka636.github.io/DratNaKrychli/]https://sarka636.github.io/DratNaKrychli/[/url]
– Šárka Voráčová

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

2.6.

–

2.7.

–

2.8.

–

2.9.

–

3.

Kótované promítání

  • 1. Horizontal and Slope Lines
  • 2. Slope of the topographic surface
  • 3. Petřín funicular

3.1.

Horizontal and Slope Lines

The Slope and Contour curve
The [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Contour_line]contour lines[/url] (or curves) of a surface are the sections of this surface by the horizontal planes (i.e. perpendicular to the vertical direction). The [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Contour_line]contour lines[/url] of a plane are called horizontal (principal) lines.[br]Contours are one of several common methods used to denote [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Elevation]elevation[/url] or [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Altitude]altitude[/url] and depth on maps. [br][url=https://en.wikipedia.org/wiki/Contour_line]Contour lines[/url] of topographic surface are closed curves surrounding summits or immits.[br][url=https://en.wikipedia.org/wiki/Contour_line]Contour lines[/url] at [url=https://mathcurve.com/surfaces.gb/talus/talus.shtml]surface of equal slope[/url] (plane, cone,...) are [url=https://www.mathpages.com/home/kmath724/kmath724.htm]equidistant[/url].[br][br]The slope lines ( = lines of the steepest descent) cut at right angles the contour lines; and this property applies also to the [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Multiview_projection]top view projection[/url].
Horizontal and slope lines in a plane
Plane [math]\alpha[/math] is given by points [color=#3c78d8][i]GHI[/i][/color] on the cube. Horizontal projection plane [math]\pi[/math] is [color=#3c78d8]blue face[/color] of a cube, frontal projection plane [math]\nu[/math] is [color=#e06666]red face[/color]. The base (ground) line[i] x12[/i] is intersection line of projection planes, i.e.[math]x12=\pi\cap\nu[/math]. Trace lines of the planes [i][color=#ff0000]n, p[/color][/i] are lines where the plane [math]\alpha[/math] meets the planes of projections, i.e. [math]p=\alpha\cap\pi[/math] and [math]n=\alpha\cap\nu[/math].[br][list][*]Horizontal line [i][color=#cc0000]h[/color][/i] of a plane is parallel to the blue face. [/*][*]The line of steepest descent [color=#1155Cc][i]s[/i][/color] (=slope line) is perpendicular to the horizontal line [color=#ff0000][i]h[/i][/color]. This line determines the slope angle of the plane. The right angle between lines [color=#1e84cc][i]s[/i][/color] and [color=#ff0000][i]h[/i][/color] has true size in top view, i.e. [math]s1\perp h1[/math] - tool [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_orthogonal.png[/icon].[br][/*][/list]
Geotest 4136
In given point A of plane α construct the first steepest line s (i.e. both projections s1, s2). A horizontal line [color=#ff0000][i]h[/i][/color] and frontal line [i]f[/i] of the plane are given. ([url=https://geotest.geometry.cz/?lang=EN]GeoTest[/url])
Solution:[br] First slope line [color=#1e84cc][i]s[/i][/color] is perpendicular to horizontal line [i][color=#ff0000]h[/color][/i] in top view. Choose arbitrary point [math]H\in h[/math] and determine auxiliary first slope line [i]as[/i] passing through a point [i]H[/i]. First slope line is perpendicular to horizontal line in top view. Lines of steepest descent are mutually parallel, [math]as||s[/math].[br]Step 2: Arbitrary [math]H1\in h1[/math], top view of auxiliary first slope [i]as[/i] [math]as1\perp h1;H1\in as1[/math][br]Steps 3, 4: Front view of intersection points [i]H, F[/i] [math]H2\in h2;F2\in f2[/math].[br]Step 5: Front view of auxiliary slope line [i]as = H2F2[/i].[br]Step 6: Slope line [color=#1e84cc][i]s[/i][/color] is parallel with auxiliary slope line [i]as[/i] in both views [math]as1||s1;as2||s2[/math].
Geotest 4120
Construct a line of the steepest descent (both projections [i]s1, s2[/i]) in the point [i]A[/i] of given plane α orthogonal to the vertical plane of projection. The trace n of the plane α is given ([url=https://geotest.geometry.cz/?lang=EN]GeoTest[/url]).
Axonometric View of Task 4120
– Šárka Voráčová

3.2.

–

3.3.

–

4.

Mongeovo promítání

  • 1. Line in a plane
  • 2. 5217 - Bod na kuželové ploše
  • 3. The Globe
  • 4. True size of the segment
  • 5. A line perpendicular to a plane
  • 6. Two Projections of the line
  • 7. Horizontal lines in a plane
  • 8. Ortographics views of the point
  • 9. Monge Projection of the Cube
  • 10. Parallel projections of two lines
  • 11. The Monge Projection of the Cone
  • 12. Multiview drawing
  • 13. Kopie materiálu Mongeovo promítání - zobrazení bodu
  • 14. Kopie materiálu Průmět přímky
  • 15. Kopie materiálu Mongeovo promítání - stopníky přímky
  • 16. Kopie materiálu Mongeovo promítání - délka úsečky
  • 17. Kopie materiálu Mongeovo promítání - přímky ve speciální poloze I
  • 18. Kopie materiálu Mongeovo promítání - stopy roviny
  • 19. Kopie materiálu Hlavní a spádové přímky roviny
  • 20. Kopie materiálu Mongeovo promítání - body na kulové ploše
  • 21. Line in a plane
  • 22. Kopie materiálu Mongeovo promítání - body na kulové ploše
  • 23. Horizontal and Slope Lines

4.1.

Line in a plane

[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Plane_(geometry)]Plane[/url] in 3D space is uniquelly given by:[br]3 non [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Collinearity]collinear [/url]points [icon]/images/ggb/toolbar/mode_polygon.png[/icon][br]2 intersecting lines [icon]/images/ggb/toolbar/mode_intersect.png[/icon][br]2 parallel lines; line an point [icon]/images/ggb/toolbar/mode_parallel.png[/icon][br][color=#000000]Remember that if two lines intersect, they have a single point in common, and that point must project from view to view.[/color] This property is very usefull for construction of missing view of object in the plane.[br]
GeoGebra 4035
Plane α is given by two intersecting lines [i]a, b[/i]. Construct the front view of line m in the plane α =([i]a, b[/i]).
Trace lines of the planes are intersection line of the given plane and the drowing frontal and horizontal planes. Trace lines provides pictorial representation of the plane convinient for many contructions, e.g. intersection with other objects, determining the tru size.
– Šárka Voráčová

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

4.5.

–

4.6.

–

4.7.

–

4.8.

–

4.9.

–

4.10.

–

4.11.

–

4.12.

–

4.13.

–

4.14.

–

4.15.

–

4.16.

–

4.17.

–

4.18.

–

4.19.

–

4.20.

–

4.21.

–

4.22.

–

4.23.

–

5.

Axonometrie

  • 1. Isometric projection

5.1.

Isometric projection

Isometric projection is an axonometric projection in which the three coordinate axes appear equally foreshortened and the angle between any two of them is 120 degrees.
Change the dimensions of the element by moving the blue points in top and front view.
– Šárka Voráčová

6.

Kosoúhlé promítání

  • 1. Kosoúhlé promítání
  • 2. Součástka v kosoúhlém promítání
  • 3. Letohrádek Hvězda
  • 4. Kosoúhlé promítání
  • 5. Součástka v kosoúhlém promítání

6.1.

Kosoúhlé promítání

Pohlkeova věta:
Tři úsečky v rovině se společným koncovým bodem, které neleží na jedné přímce, můžeme považovat za rovnoběžný průmět tří navzájem kolmých a shodných úseček v prostoru, které mají společný koncový bod.[br]
Zobrazení krychle v obecném rovnoběžném promítání určeném průmětem tří hran krychle vycházejících z jednoho vrcholu.
Obecná axonometrie (kosoúhlé promítání) je dána průmětem tří hran krychle. Ve speciálním případě zadáme:[br]a) Volné rovnoběžné promítání[br]b) Pravoúhlou axonometrii[br]c) Izometrii[br]d) Vojenskou perspektivu
Kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie
Všimněte si, jak se na předcházejícím appletu zobrazila kružnice vepsaná do čtvercové stěny. Je to elipsa, pro niž známe nejenom čtyři body dotyku, ale i tečny v těchto bodech. Dotykové body určují dva k sobě kolmé průměry, které se v projekci zobrazí jako sdružené průměry elipsy. Zopakujme tuto konstrukci v půdorysně - souřadnicové rovině ([i]xy[/i]).[br][br][b]Úloha[/b]: Kosoúhlé promítání je dáno nákresnou ([i]xz[/i]) a kosoúhlým průmětem [i][color=#1155cc]OY[/color][/i] úsečky na souřadnicové ose [i]y[/i]. Zobrazme kružnici se středemm v počátku O a poloměrem [i][color=#1155cc]OX[/color][/i]. [br]Poznámka: Pohyblivým bodem [i]Y[/i] můžete měnit zadání kosoúhlého promítání. Pokud jej posunete do polohy [i]Y[sub]VRP[/sub][/i], je zadána volná rovnoběžná projekce, která je speciálním případem kosoúhlého promítání.
[list=1][*]Vektor [i]u = [Y]Y[/i] je kosoúhlý paprsek promítání. Kružnice je dána středem a body XY na kolmých průměrech. Pro porovnání zobrazení kružnice v izometrii a kosoúhlém promítání je na pozadí nakreslená součástka v izometrii. Doporučujeme ji prozatím schovat odškrtnutím políčka "Izometrie".[/*][*]Posunem průmětu [i]Y[/i] do polohy [i]Y[sub]VRP[/sub][/i] je naše promítání volnou rovnoběžnou projekcí.[/*][*]Sdružené průměty elipsy jsou průměty kolmých průměrů kružnice. Na našem obrázku jsou to průměry [i]XX[sub]2[/sub][/i] a [i]YY[sub]2[/sub][/i] na souřadnicových osách [i]x, y[/i]. Sdruženými průměry je elipsa jednoznačně určená, můžeme doplnit tečny, které jsou rovnoběžné vždy s druhým průměrem. Např. tečna v bodě [i]Y[/i] je rovnoběžná s průměrem [i]XX[sub]2[/sub][/i].[/*][*] [url=https://www.geogebra.org/m/BJGBjSCh]Rytzovou konstrukcí [/url] jsme sestrojili osy elipsy. Porovnáním průmětu kružnice s obrázkem vidíte rozdíl v poloze hlavní osy. Vyzkoušejte různé typy projekcí změnou bodu [i]Y[/i]. Kdy je obrázek nejnázornější?[/*][/list]
Dimetrie a Izometrie
Ve skutečnosti je náš obrázek nakreslen v dimetrii. Izometrie je speciální typ pravoúhlé axonometrie, ve které svírají všechny tři souřadnicové osy s průmětnou stejný úhel, tedy průměty os vzájemně svírají úhel 120°. Průmět osy z nakreslíme ve vertikální poloze a odchylky zbývajících os s vertikální osou z musí být 60°. Zkrácení ve směru všech os je stejné: [math]\sqrt{\frac{2}{3}}\doteq0,8[/math]. V dimetrii svírají osy [i]x[/i] a [i]y[/i] s průmětnou stejný úhel, tedy jsou stejně zkráceny, ale je to úhel jiný, než úhel mezi osou [i]z[/i] a průmětnou. Proto jsou průměty os x, y osově souměrné podle průmětu osy z. [br][br][b]Úloha: [/b]V dimetrii zadané průměty o[sub]z[/sub],o[sub]y[/sub] sestrojte průmět kružnice v souřadnicové rovině ([i]xy[/i]). Kružnice má střed v počátku a poloměr [i]r = OA[/i].[br]
Řešení
[list=1][*]Hlavní osa elipsy se zobrazí na přímce rovnoběžné s průmětnou, tedy na kolmici k o[sub]z[/sub]. Ve všech ostatních směrech se totiž délky zkracují a tato jediná zůstává nezmenšená, ve skutečné velikosti. Nejdelší průměr elipsy je hlavní osa [i]OA[/i]. [/*][*]Elipsa je dána středem a hlavním vrcholem [i]OA[/i]. Dimetrie je dána vertikálním průmětem osy z a průmětem [i]OY[/i] osy [i]y[/i].[/*][*]Průmět osy x je osově souměrný s OY podle vertikální osy [i]z[/i].[/*][*]Speciálním případem dimetrie je izometrie, pokud pokud je odchylka [i]yz [/i]= 60°.[/*][*]Vedlejší vrcholy elipsy sestrojíme využitím vlastnosti Thaletovy kružnice nad průměrem AB. Rovnoběžky s osami [i]x,y[/i] jsou kolmé, tedy se protínají na kružnici nad průměrem AB a díky symetrii je tímto bodem přímo vedlejší vrchol.[/*][/list]Poznámka: Dynamickým bodem Y můžete zadávat různé dimetrie.
– Šárka Voráčová

6.2.

–

6.3.

–

6.4.

–

6.5.

–

7.

Kinematická geometrie

  • 1. Cycloid
  • 2. Articulated Quadrilateral (Kloubový čtyřúhelník)
  • 3. Epicykloida a >= b
  • 4. Cycloid.
  • 5. Rolling Coin 滾動的硬幣

7.1.

Cycloid

[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Cycloid]Cycloid[/url] is the [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Curve]curve[/url] traced by a point on a [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Circle]circle[/url] as it rolls along a [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Line_(geometry)]straight line[/url] without slipping. A cycloid is an example of a [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Roulette_(curve)]roulette[/url], a curve generated by a curve rolling on another curve.[br]Cykloidy jsou trajektkorie bodů při odvalování kružnice h po přímce p. Prostá cykloida je trajektorie bodu dotyku T.
Construction:[br]Step 2 - Moved centroid [i]h[/i] rolls along line [i]p[/i]. Animation parametr is rotation angle α.[br]Step 3 - Arc [i]TT'[/i] corresponding to the given central angle α.[br]Step 4 - Mesure the radius r of moved circle h.[br]Step 5 - Rectification of arc [i]TT'[/i] - constrat the segment [i]TT''[/i] with the length equal to the [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Arc_length]arc length[/url] [i]TT'[/i].[br] [i]TT''[/i] = t . α[br]Step 7 - New position of circle [i]h[/i], angle α anf point [color=#1e84cc][i]T[/i][/color], Point [i]T''[/i] is a new touching point. [br]Step 8 - Locus of all positions of point T is cycloid (tool Trace)
– Šárka Voráčová

7.2.

–

7.3.

–

7.4.

–

7.5.

–

8.

Lineární perspektiva

  • 1. Linear Perspective of the Cube
  • 2. Lineární perspektiva - střecha

8.1.

Linear Perspective of the Cube

Horizon line, directly opposite the viewer's eye, represents objects infinitely far away. They have shrunk, in the distance, to the infinitesimal thickness of a line. It is analogous to (and named after) the Earth's horizon.[br][br]Any perspective representation of a scene that includes parallel lines has one or more vanishing points in a perspective drawing. A one-point perspective drawing means that the drawing has a single vanishing point, usually (though not necessarily) directly opposite the viewer's eye and usually on the horizon line. All lines parallel with the viewer's line of sight recede to the horizon towards this vanishing point. A two-point drawing would have lines parallel to two different angles.
Linear Perspective of the Cube
Drag the top view D1 of the corner D to change the position of the cube.
– Šárka Voráčová

8.2.

–

9.

Křivky

  • 1. Šroubovice
  • 2. Řez rotačního kužele.
  • 3. Cycloid

9.1.

Šroubovice

Šroubovým pohybem úsečky kolmé k ose vznikne helikoid, tzv. schodová plocha.
Parametrické křivky jsou šroubovice (r konstantní - zeleně) a jejich společné normály (červeně).
– Šárka Voráčová

9.2.

–

9.3.

–

Information