Übernahme aus der [url=https://www.mathelounge.de/689654/normalengleichung-losen-in-lineare-algebra-nach-ax-b#c689835]Mathelounge (Stefan aka Tschakabumba)[/url][math]\nearrow[/math][br][br]Wir betrachten folgende 3 Gleichungen mit 2 Variablen: [br][br][math]2x-y=2\quad;\quad x+2y=1\quad;\quad x+y=4[/math][br][br]Du hast mehr Gleichungen als Variablen, solche Gleichungssysteme heißen "überbestimmt" und sind in der Regel nicht exakt lösbar. Du könntest x und y so bestimmen, dass 2 Gleichungen exakt gelöst werden, die dritte mit diesen x- und y-Werten aber völlig daneben liegt. Besser wäre es, eine Näherungslösung zu finden, die alle 3 Gleichungen "möglichst gut" erfüllt. Wenn z.B. x[sub]0[/sub]=1.4 und y[sub]0[/sub]=0.5 gewählt werden, erhalten wir folgende Abweichungen r[sub]i[/sub] [br][br][math]2x_0-y_0=2\,\underbrace{+\,0,3}_{r_1}\quad;\quad x_0+2y_0=1\,\underbrace{+\,1,4}_{=r_2}\quad;\quad x_0+y_0=4\,\underbrace{-2,1}_{=r_3}[/math][br][br]Um diese Abweichungen r[sub]i[/sub] zu minimieren, setzen wir das Problem nun auf eine geometrische Ebene. [br]Dazu schreiben wir die 3 Gleichungen auf in[br][table][tr][td][color=#1e84cc]LGS[/color][br][math]2x-y=2\\ x+2y=1\\x+y=4[/math][br][br][/td][td]Matrix-Schreibweise und[br][math]\underbrace{\left(\begin{matrix}2 & -1\\1 & 2\\1 & 1\end{matrix}\right)}_{=:A}\cdot\underbrace{\left(\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right)}_{=:\vec x}=\underbrace{\left(\begin{matrix}{c}2\\1\\4\end{matrix}\right)}_{=:\vec b}\quad\mbox{nicht lösbar!}[/math][/td][td][color=#1e84cc][/color] [color=#3d85c6]Vektor-Schreibweise[/color][br] [math]\vec{v}\cdot x+\vec{u}\cdot y=\vec{b}[/math] [math]\left(\begin{matrix}2\\1\\1\end{matrix}\right)\cdot x+\left(\begin{matrix}-1\\2\\1\end{matrix}\right)\cdot y \ne \left(\begin{matrix}2\\1\\4\end{matrix}\right)[/math][br][br][/td][/tr][/table] [br]Nicht lösbar ist das System deswegen, weil sich der Vektor [i]b[/i] nicht als Linearkombination der Spaltenvektoren von [i]A[/i] schreiben lässt. Mit dem Trick von oben addieren wir auf der rechten Seite einen "Rest-Vektor" [i]r⃗ [/i], den wir so wählen können, dass sich die komplette rechte Seite [i]b⃗ +r⃗ [/i] als Linearkombination der Spaltenvektoren von [i]A[/i] schreiben lässt:[br][br][math]\underbrace{\left(\begin{matrix}2 & -1\\1 & 2\\1 & 1\end{matrix}\right)}_{=A}\cdot\underbrace{\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)}_{=\vec x}=\underbrace{\left(\begin{matrix}2\\1\\4\end{matrix}\right)}_{=\vec b}+\underbrace{\left(\begin{matrix}r_1\\r_2\\r_3\end{matrix}\right)}_{=:\vec r}[/math][br][br]Geometrisch bedeutet dies Folgendes. Der Vektor [i]b⃗[/i] liegt außerhalb der (Hyper-)Ebene, die durch die Spaltenvektoren von A aufgespannt wird. Durch Addition eines geeigneten Vektors [i]r⃗ [/i] zu [i]b⃗ [/i] können wir jedoch bewirken, dass der Summenvektor[i] b⃗ [/i]+[i]r⃗ [/i] in dieser (Hyper-)Ebene liegt. Für[i] r⃗ [/i] muss dafür nur [br][i]r⃗ =A x⃗ −b⃗[/i] [br]gelten, ansonsten können wir ihn noch frei wählen. Die Idee hinter der Normalengleichung ist nun, diesen Vektor [i]r⃗ [/i] "möglichst kurz" zu wählen. Der Vektor [i]r⃗ [/i] ist genau dann am kürzesten, wenn er senkrecht auf der (Hyper-)Ebene steht, die durch die Spaltenvektoren von [i]A[/i] aufgespannt wird. Aus Sicht des Endpunktes von [i]b⃗[/i] geht es dann nämlich direkt senkrecht in Richtung (Hyper-)Ebene. Wenn der Vektor [i]r⃗[/i] aber senkrecht auf dieser (Hyper-)Ebene steht, dann steht er auch senkrecht auf allen Spaltenvektoren von A, die diese (Hyper-)Ebene aufspannen. Das Skalarprodukt aus allen Spaltenvektoren von A und r⃗ muss also 0 sein. Bei der Matrix-Multiplikation heißt es "Zeile mal Spalte", daher können wir die Matrix [i]A[/i] zu [i]A[sup]T[/sup][/i] transponieren und die gefundene Bedinung in der Form [i]A[sup]T[/sup]⋅r⃗ =0⃗ [/i] formulieren. Das bedeutet:[br][br][math]A^T\vec r=\vec 0\quad\Leftrightarrow\quad A^T(A\vec x-\vec b)=\vec 0\quad\Leftrightarrow\quad A^TA\vec x=A^T\vec b\quad\Leftrightarrow\quad \vec x=(A^TA)^{-1} A^T\vec b[/math]
In der App verwende ich von der Einführung abweichende Gleichungen, die in der Darstellung besser zu lesen ist. Die Koeffizienten der Gleichungen können im Tabellenblatt geändert werden.[br][br][table][tr][td][img]data:image/png;base64,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LGS, zwei Gleichungen, die [color=#274E13][i]Geraden g1, g2 [/i][/color]schneiden sich in [i][color=#741B47]G=(2,1[/color])[/i], d.h. die Lösung des LGS [i](x,y)=(2,1)[/i]. [br]Neben dem geometrischen Aspekt ist die [color=#cc0000][i]Vektorgleichung[/i][/color] aus den Vektoren [color=#cc0000][i]u,v[/i][/color] aufgespannt [color=#ff00ff][i]v x+u y= b[/i][/color] in der Ebene der x/y-Achse. [br][br]Nehmen sie die 3. Gleichung [i][color=#38761D]g3[/color][/i] dazu bleibt die Lösung erhalten, weil [color=#38761D][i]g3[/i][/color] auch in G schneidet. Im 3D Fenster sehen sie die Auswirkung, weil sich durch die 3. Gleichung die Vektorgleichung in den [i]R[sup]3[/sup][/i] verschiebt - statt Vektoren (x,y)-Koordinaten haben wir nun Vektoren (x,y,z)-Koordinaten[br]Die Vektoren u,v spannen eine [color=#38761D]Ebene im R[sup]3[/sup][/color] auf.[/td][/tr][/table][br]Wenn sie z.B. den Regler [i]b[sub]3[/sub][/i] =-2 einstellen, d.h. die 3 Gerade ändern zu [color=#274E13][i]g3: -3x+2y=-2[/i][/color] [br][list][*]dann hebt der Ergebnis Vektor b aus der Ebene der Vektorgleichung ab [br][/*][*][i]u,v[/i] können [i]b[/i] nicht mehr abbilden[/*][*]es entstehen 3 Schnittpunkte der Geraden [br][/*][*]keine Lösung der LGS [i]g1,g2,g3[/i] [br][/*][/list]=> Anwenden der Normalengleichung [size=85](in der App trage ich [i]-r[/i] an)[/size][br]
Anwenden der Normalengleichung