[b][color=#674ea7][size=100][size=200][size=150][justify][/justify][/size][/size][/size][size=150]Pascal Üçgenini Tanıyalım [/size][/color][/b]
[b]Pascal Üçgeninde [/b][br]İlk satır [math]n=0[/math] satırıdır. İlk satırın tek sütunu vardır ve bu [math]k=0[/math] sütunu olarak adlandırılır. [br]İkinci satır [math]n=1[/math] satırıdır. İkinci satırda [math]k=0[/math] ve [math]k=1[/math] olmak üzere iki sütun bulunur. [br]Üçüncü satır [math]n=2[/math] satırıdır. Üçüncü satırda [math]k=0[/math], [math]k=1[/math] ve [math]k=2[/math] olmak üzere üç sütun bulunur. [br]...[br]Buna göre herhangi bir [math]n\in\mathbb{N}[/math] için[br][i][math]\left(n+1\right).[/math] satır [math]n[/math] satırıdır. [math]\left(n+1\right).[/math] satırda [math]k=0,k=1,k=2,...,k=n[/math] olmak üzere [math]n+1[/math] sütun bulunur.[/i][br][br]
[b]Aşağıdaki adımları takip edererek appletteki kutucukların içine uygun sayıları yerleştiriniz.[br][/b][list][*]Her satırın ilk ve sonuncu sütununa 1 yazalım.[/*][*]Daha sonra ardışık sütunlardaki sayıların toplamını iki kutucuğun kesişimi altında bulunan kutucuğa yazalım. [/*][/list]
[color=#45818e][b]Soru1:[/b][/color] [b]Pascal Üçgeninin satırlarında bulunan sayıları toplayıp not ediniz.[/b][br]n=0 satırı için sütunlar toplamı=[br]n=1 satırı için sütunlar toplamı=[br]...[br]n=9 satırı için sütunlar toplamı= [br][b]İşlem sonuçlarınız ile n arasındaki ilişkiyi kullanarak Pascal Üçgeninin satırlarında bulunan sayıların toplamını hesaplayabileceğiniz bir formül üretiniz. [/b]
n=0 satırı için sütunlar toplamı= [math]1=2^0[/math][br]n=1 satırı için sütunlar toplamı= [math]2=2^1[/math][br]n=2 satırı için sütunlar toplamı= [math]4=2^2[/math][br]n=3 satırı için sütunlar toplamı= [math]8=2^3[/math][br]n=4 satırı için sütunlar toplamı= [math]16=2^4[/math][br]n=5 satırı için sütunlar toplamı= [math]32=2^5[/math][br]n=6 satırı için sütunlar toplamı= [math]64=2^6[/math][br]n=7 satırı için sütunlar toplamı= [math]128=2^7[/math][br]n=8 satırı için sütunlar toplamı= [math]256=2^8[/math][br]n=9 satırı için sütunlar toplamı= [math]512=2^9[/math][br][br]Pascal Üçgeni'nin her bir satırındaki sayıların toplamı [math]2^{^n}[/math] formülü ile hesaplanabilir.
[b][color=#45818e]Soru2:[/color][/b] [b][u]Soru1[/u]'de ürettiğiniz formülü daha önce nerede kullandığımızı hatırlamaya çalışınız. Ardından bu formülün nereden geldiğini tartışınız.[/b]
Bir kümenin bütün alt kümelerinin sayısı [math]2^n[/math] formülü ile ifade edilir. [math]n[/math] verilen kümenin eleman sayısıdır. [br]Ayrıca n elemanlı bir kümenin k elemanlı alt kümelerinin sayısı [math]\binom{n}{k}[/math] ile hesaplanır. [br]Yan[size=150]i[size=200] [math]_{\sum^n_{k=0}\binom{n}{k}=2^n}[/math] [/size][/size]dir.[br]
[b]Görev: [/b][math]\binom{n}{k}[/math] göstermek için n ve k kaydırıcılarını hareket ettirin.
[b][color=#c27ba0]Pascal Özdeşliğini Bulalım: [/color][color=#333333]Pascal Üçgeninin herhangi bir [math]n[/math] satırının[math]k[/math] sütunundaki sayı ile [math]k+1[/math] sütunundaki sayı toplanırsa, [math]n+1[/math] satırının [math]k+1[/math]sütunundaki sayının elde edileceğini biliyoruz. [br][list][*][b][color=#333333]Öyleyse şimdi bu özdeşliği matematiksel olarak ifade etmeye çalışalım.[/color][/b][/*][/list][/color][/b]
[math]\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}[/math]
[b][color=#45818e]Soru3:[/color][/b] [math]x,y\in\mathbb{R}^+[/math][b] ve [/b][math]n\in\mathbb{N}[/math][b] olmak üzere [/b][math]x+y[/math][b]'nin ilk dört kuvvetini alalım. (Terimlerinizi x'in azalan kuvvetlerine göre sıralayınız.)[/b][br][math]\left(x+y\right)^0=[/math][br][math]\left(x+y\right)^1=[/math][br][math]\left(x+y\right)^2=[/math][br][math]\left(x+y\right)^3=[/math][br][math]\left(x+y\right)^4=[/math]
[math]\left(x+y\right)^0=1[/math][br][math]\left(x+y\right)^1=1.x+1.y[/math][br][math]\left(x+y\right)^2=1.x^2+2xy+1.y^2[/math][br][math]\left(x+y\right)^3=1.x^3+3.x^2y+3.x.y^2+1.y^2[/math][br][math]\left(x+y\right)^4=1.x^4+4.x^3y+6.x^2y^2+4.x.y^3+1.y^4[/math]
[b][color=#45818e]Soru4:[/color][/b] [b][u]Soru3'[/u]deki açılımlar ve Pascal Üçgeni arasında bir ilişki fark ettiniz mi? Eğer fark ettiyseniz nasıl bir ilişki olduğunu açıklayınız.[/b]
Açılımdaki terimlerin katsayısı bir Pascal Üçgeni oluşturur.
[b][color=#674ea7][size=100][size=200][size=150][justify][/justify][/size][/size][/size][size=150]Binom Açılımı[/size][/color][/b]
[math]x+y\ne0[/math] ve [math]n\in\mathbb{N}[/math] olmak üzere[br][math]\left(x+y\right)^n=\binom{n}{0}.x^n.y^0+\binom{n}{1}.x^{n-1}.y^1+\binom{n}{2}.x^{n-2}y^2+...+\binom{n}{n-2}.x^2.y^{n-2}+\binom{n}{n-1}.x^1.y^{n-1}+\binom{n}{n}.x^0.y^n[/math][br]açılımına binom açılımı denir.[br][math]\binom{n}{0},\binom{n}{1},...,\binom{n}{n}[/math] sayılarına da [u]binom katsayılar[/u]ı adı verilir.
[b][color=#45818e]Soru5:[/color] Pascal Üçgenini Binom Açılımı yardımıyla tanımlayınız.[/b]
[math]\left(x+y\right)^n[/math] açılımındaki x'in azalan kuvvetlerine göre sıralanmış terimlerin katsayıları Pascal Üçgeni'nin n satırındaki sayıları vermektedir.