Immer wenn die Variable einer Funktion als Exponent in einer Gleichung steht, dann spricht man von einer Exponentialfunktion.[br]Exponentialfunktionen haben die Form:[br][math]\text{\LARGE$f(x)=f_0\cdot a^x$}[/math][br]Dabei ist [math]f_0[/math] der [b][color=#980000]Startwert[/color][/b], also die Zahl, bei der der Funktionsgraph die [math]y[/math]-Achse schneidet. Es gilt also [math]f_0=f(0)[/math].[br]Das [math]a[/math] ist die[b] [color=#980000]Basis[/color][/b] der Exponentialfunktion.

[color=#980000][b]Exponentialfunktionen beschreiben immer ein prozentuales Wachstum oder einen prozentualen Zerfall[/b][/color]. [br][br]Im vorhergehenden Kapitel wurde in er ersten Aufgabe eine Funktion für einen Geldbetrag von [math]1000€[/math] in Abhängigkeit von der Zeit aufgestellt, der jedes Jahr um [math]5\%[/math] steigt: [math]g(x)=1000€\cdot1,05^x[/math].[br][br]Die zweite Aufgabe beschreibt die Veränderung des Kontrastes eines Gegenstandes zu seinem Hintergrund, bei zunehmenden Abstand vom Betrachter: Der Kontrast (mit dem Startwert [math]f_0=1[/math]) nahm um [math]17\%[/math] pro Kilometer ab, d.h. nach einem Kilometer beträgt er nur noch [math]83\%[/math] vom Startwert:[br][math]K(x)=1\cdot0,83^x[/math][br][br]In der ersten Aufgabe handelt es sich um exponentielles Wachstum, im zweiten Beispiel ist es exponentieller Zerfall.[br][br]Das Besondere an exponentiellem Wachstum ist, dass nicht nur die betrachtete Größe wächst, sondern auch die Geschwindigkeit, mit der diese Größe wächst, nimmt zu.

Es gibt eine besondere Exponentialfunktion, die Mathematiker:innen lieben, weil sie viele händische Rechnungen deutlich vereinfacht:[br][math]\text{\LARGE$exp(x)=e^x$}[/math][br]mit der Euler'schen Zahl [math]e = 2,7182818285...[/math][br]Die Eulersche Zahl hat unendlich viele Stellen hinter dem Komma. Es ist eine irrationale Zahl, die sich nicht als Bruch darstellen lässt. Auf dem Taschenrechner erhält man diese Zahl, indem man [math]e^1[/math] eingibt. Bei manchen Taschenrechnern reicht sogar einfach die Eingabe des Buchstaben "e".[br][color=#980000][b][br]Warum ist eine Exponentialfunktion mit [/b][/color][color=#980000][b][color=#980000][b]einer [/b][/color]so komplizierten Basis "besonders [color=#6aa84f][i]schön[/i][/color]"?[/b][/color][br][b][br]Weil die e-Funktion [/b](neben der Funktion [math]f(x)=0[/math]) [b]die einzige Funktion auf dieser Welt ist, die gleich ihrer eigenen Ableitungsfunktion ist[/b]. [br][br]Es gilt: [math]\text{\Large$exp(x)=exp'(x)=exp''(x)=exp'''(x)=...=e^x$}[/math][br][br]Und selbst das Integrieren ist mit e-Funktionen leicht, weil die e-Funktion ihre eigene Stammfunktion ist:[br][math]\text{\Large$\int exp(x) \,dx=e^x +c$}[/math][br][br]