Genau so, wie 2-dimensionale Geraden identisch, parallel und sich schneiden können, können auch Geraden im 3-dimensionalen Raum zueinander identisch oder parallel liegen oder sie schneiden sich. Es gibt jedoch noch einen zusätzlichen 4. Fall: Wenn die Geraden in unterschiedliche Richtungen verlaufen, sich jedoch nicht schneiden, weil die eine Gerade weiter vorne als die andere verläuft, nennt man diese Lagebeziehung [u]windschief[/u].

Doch wie kann man diese 4 Lagebeziehungen nun unterscheiden? [br][br]Dafür teilen wir die 4 Lagebeziehungen in 2 Fälle ein:[br]Fall 1: Die beiden Geraden verlaufen in die gleiche Richtung.[br]Fall 2: Die beiden Geraden verlaufen unterschiedliche Richtungen.[br][br]Zum Fall 1 gehören identische und parallele Geraden. Sie laufen beide in die gleiche Richtung, haben also den gleichen oder kollineare Richtungsvektoren.[br]Zum Fall 2 gehören sich schneidende und windschiefe Geraden. Sie verlaufen in unterschiedliche Richtungen. Ihre Richtungsvektoren sind nicht kollinear.[br][br]Wenn wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden also auf Kollinearität überprüfen, können wir anschließend immer die 2 Fälle ausschließen, die nicht zu unserem Ergebnis passen.

Und wie kann man identische von parallele Geraden bzw. sich schneidende von windschiefen Geraden unterscheiden?[br][br]Dafür untersuchen wir, ob die Geraden einen gemeinsamen Punkt miteinander haben:[br]Fall 1 (identische / parallele Geraden)[br][list][*]2 identische Geraden haben unendlich viele gemeinsame Punkte, weil jeder Punkt auf der einen Gerade gleichzeitig auch auf der anderen Gerade liegt.[/*][*]2 zueinander parallele Geraden haben keinen Gemeinsamen Punkt miteinander.[/*][/list][br]Fall 2 (schneidende, windschiefe Geraden)[br][list][*]Wenn sich 2 Geraden schneiden, haben sie einen gemeinsamen Punkt miteinander. Den Schnittpunkt. Er befindet sich sowohl auf der einen, als auch auf der anderen Gerade.[/*][*]Wenn 2 Geraden zueinander windschief verlaufen, haben sie keinen gemeinsamen Punkt.[/*][/list]

Kombinieren wir diese beiden Eigenschaften (Kollinearität und gemeinsamer Punkt) nun miteinander, so hat jede Lagebeziehung ihre eigene Kombination der Eigenschaften:[br][list][*]identische Geraden sind kollinear und haben gemeinsame Punkte.[/*][*]parallele Geraden sind kollinear, haben aber keine gemeinsamen Punkte.[/*][*]sich schneidende Geraden sind nicht kollinear, haben aber einen gemeinsamen Punkt.[/*][*]windschiefe geraden sind nicht kollinear und haben keinen Gemeinsamen Punkt.[/*][/list][br]Indem wir also die beiden Geraden auf Kollinearität und gemeinsame Punkte untersuchen, können wir also ermitteln, um welche Art der Lagebeziehung es sich handelt. [br][br]Wie genau das rechnerisch funktioniert, wird dir auf den nächsten Seiten gezeigt.