[br][color=#980000][b]Iloczyn skalarny[/b][/color] [math]u\circ v[/math] wektorów [math]u[/math] i [math]v[/math] definiujemy dla wektorów w przestrzeni [math]\mathbb{R}^n[/math]. W szczególności mamy[br][list][*] [math]u\circ v=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2[/math], gdy [math]u=[u_1,u_2] [/math] i [math]v=[v_1,v_2][/math], [/*][*] [math]u\circ v=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2+u_3\cdot v_3[/math], gdy [math]u=[u_1,u_2,u_3] [/math] i [math]v=[v_1,v_2,v_3][/math]. [br][/*][/list]Przypomnijmy, że w [math]\mathbb{R}^2[/math] i [math]\mathbb{R}^3[/math] iloczyn skalarny można wykorzystywać do wyznaczania [b]kąta między wektorami[/b]. Dla dowolnych, niezerowych wektorów [math]u,v[/math] mamy:[center][math]\cos (\angle(u,v))=\frac{u\circ v}{|u|\cdot|v|}[/math].[/center]Stąd wnioskujemy, że [center][math]u\perp v\ \Leftrightarrow\ u\circ v=0[/math].[/center][br][table][tr][td][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][/td][td][color=#666666]W Widoku Algebry i Widoku CAS iloczyn skalarny wektorów [math]u[/math] i [math]v[/math] obliczamy pisząc [math]u\ v[/math] (spacja!) lub [math]u*v[/math]. [/color][/td][/tr][/table]

Dla podanych wektorów [math]u[/math], [math]v[/math] i [math]w[/math] wyznaczymy kąty: [math]\alpha=\angle(u,v) [/math] oraz [math]\beta=\angle(u,w)[/math].[br][br][u]Rozwiązanie[/u]:

a) Obliczyliśmy: [math]\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{10}[/math] , zatem [math]\alpha=\arccos\frac{\sqrt{2}}{10}[/math].[br]b) Modyfikując obliczenia w powyższym aplecie wyznacz kąt [math]\beta[/math].[br]c) Wskaż wektory [math]u_1[/math] i [math]v_1[/math] takie, że [math]u_1\perp u[/math] oraz [math]v_1\perp v[/math].

a) Wyznacz kąt między wektorami [math]u[/math] i [math]v[/math]. Czy wektory te są prostopadłe?[br]b) Wskaż wektory [math]u_1[/math] i [math]v_1[/math] takie, że [math]u_1\perp u[/math] oraz [math]v_1\perp v[/math].