[size=150][b]Eingabe IE[/b][/size][br][br]Beachte IE gibt die Reihenfolge der Zeilen- und Spalten-Operationen vor - Leserichtung Links→Rechts[br]Aufteilung in Elementarmatrizen IP Zeilen- und IQ Spalten-Matrizen - die Anwendung der entsprechenden Matrizenfolge ergibt sich aus Darstellung (8) → Reverse(IP) [math]\stackrel{\leftarrow}{IP}[br][/math] und IQ ![br][br][table][tr][td]Zeilenoperationen-Matrix P [i]Product([math]\overleftarrow{IP}[/math])[/i][br][br][i]{n,m,a}[/i] Zeile n += Zeile m * (a)[br][i]{n,n,a}[/i] Zeile n = Zeile n * (a)[br][i]{n,m,0}[/i] tausch Zeile n >< Zeile m[br]{n,m,a} ==> e[sub]n,m[/sub] = a [/td][td][/td][td]Spaltenoperationen-Matrix Q [i]Product([math]IQ[/math])[br][br]{-n,m,a}[/i]  Spalte n += Spalte m * (a)[br][i]{-n,n,a}[/i]  Spalte n = Spalte n * (a)[br][i]{-n,m,0}[/i] tausch Spalte n >< Spalte m[br]{-n,m,a} ==> e[sub]m,n[/sub] = a[/td][/tr][/table]P: {z , s , a} ==> Elementarmatrix (e[sub]z,s[/sub]) = id(e[sub]i,i[/sub]=1) mit e[sub]z,s[/sub]=a, z (Zeilennummer), s (Spaltennummer) [br]Q: {-s , z , a} ==> Elementarmatrix (e[sub]s,z[/sub]) = id(e[sub]i,i[/sub]=1) mit e[sub]s,z[/sub]=a, z (Zeilennummer), s (Spaltennummer) [br][br]IE-Leer-Schablone[br]IE:={{1, 1, 1}, {1, 1, 1}, {1, 1, 1}, {1, 1, 1}, {1, 1, 1}, {1, 1, 1},{1, 1, 1}, {1, 1, 1}, {1, 1, 1}, {1, 1, 1}, {1, 1, 1}, {1, 1, 1}}[br][br]CGT/ggT:nn[ k ] : ggT von PAQ Spalte k = nn[br][br][b]Smith-Normal-Form[/b][br]Berechnung des ggT der Spalten und mit Zeilen-Operationen ggT erzeugen führt zu[br][br][size=85][table][tr][td]GDC/ggT([color=#ff0000]1[/color])[ [color=#ff0000]1[/color] ][/td][td]GDC/ggT([color=#ff0000]3[/color])[ [color=#ff0000]2[/color] ][/td][td]GDC/ggT([color=#ff0000]21[/color])[ [color=#ff0000]3[/color] ][/td][td][/td][td][/td][/tr][tr][td]IE :={{1,4,-1},{2,1,-5},{4,1,7},{-2,1,144},{-3,1,-45},{-4,1,-16},[/td][td]{4,3,-3},{3,4,21},{4,3,4},{2,3,16},{-3,2,-36},{-4,2,218},[/td][td],{2,4,-4},{4,2,21},{-4,3,6},{2,3,0},{-2,2,-1}[/td][td][/td][td][br][/td][/tr][/table]aber[br][table][tr][td]GDC/ggT([color=#ff0000]1[/color])[ [color=#ff0000]1[/color] ][/td][td]GDC/ggT([color=#ff0000]6[/color])[ [color=#ff0000]4[/color] ][/td][td]GDC/ggT([color=#ff0000]3[/color])[ [color=#ff0000]2[/color] ][/td][td][/td][td][/td][/tr][tr][td]IE :={{1,4,-1},{2,1,-5},{4,1,7},{-2,1,144},{-3,1,-45},{-4,1,-16},[/td][td]{3,2,4},{4,2,17},{4,3,1},{-2,3,3},{-3,2,5}[/td][td],{-4,2,2}[/td][td][/td][td][br][/td][/tr][/table][br][/size] Click comment text: p=p+1[br][br][br][size=100][size=150]Beispiel [/size][/size][br][br]A:{{18,12,24,42},{7,9,7,3},{10,12,7,10},{4,-6,9,10}}[br]IE :={{2,4,-1},{1,2,-6},{3,2,-3},{2,3,-3},{4,3,-4}, {-2,1,33},{-3,1,-13},{-4,1,-31} ,{2,1,1},{4,1,2},{2,4,1},{4,2,5 },{1,2,13 },{-3,2,-4},{-4,2,-6},{-2,4,-3},{1,2,-289},{4,2,-122},{1,4,-2},{4,1,-3},{1,4,50},{-2,3,78},{1,3,0},{-2,4,0},{3,4,0},{2,3,0},{-2,3,0}} ;[br][br](6) Abfolge der Elementarmatrizen, Stellung Slider [color=#ff0000]p[/color] (rot)[br][math]\scriptsize{\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr}2&1&3&2&4&-2&-3&-4&2&4&2&4&1&-3&-4&-2&1&4&1&4&1&-2&1&-2&3&2 \\ 4&2&2&3&3&1&1&1&1&1&4&2&2&2&2&4&2&2&4&1&4&3&3&4&4&3 \\ -1&-6&-3&-3&-4&33&-13&-31&1&2&1&5&13&-4&-6&-3&-289&-122&-2&-3&50&78&0&0&0&0 \\ \end{array}}\textcolor{red}{\overleftarrow{P}[{-2, 3, 0}]\overrightarrow{Q}}[/math][br][br](8) Zuordnung Abfolge in P[sub]zeilen[/sub] A Q[sub]spalten[/sub] Operationen:[br][color=#ff0000]![/color] [color=#0000ff][sub]reverse[/sub]IP[/color] links [math]\stackrel{nach}{\leftarrow}[/math] rechts       IQ links [math]\stackrel{nach}{\rightarrow}[/math] rechts [color=#ff0000]![/color][br][math]\scriptsize \left\{ \left(\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrrrr}2&3&1&1&4&1&4&1&1&4&2&4&2&4&2&3&1&2\\3&4&3&4&1&4&2&2&2&2&4&1&1&3&3&2&2&4\\0&0&0&50&-3&-2&-122&-289&13&5&1&2&1&-4&-3&-3&-6&-1\\\end{array}\right), I_{A}I, \left(\begin{array}{rrrrrrrrr}2&3&4&3&4&2&2&2&2\\1&1&1&2&2&4&3&4&3\\33&-13&-31&-4&-6&-3&78&0&0\\\end{array}\right) \right\} [/math][br][br](10) Ergebnis P A Q wie in Abfolge eingestellt[br][math]PAQ \, := \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3630\\\end{array}\right)[/math][br][br][math]\textcolor{blue}\text{SmithNormalForm: P A Q = Δ \to _{Product}(\overline{IP}) A _{Product}(IQ) }[/math][br][br][math]\small \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{rrrr}0&-3&1&3\\38&54&-91&-38\\3&4&-7&-3\\1771&2526&-4248&-1770\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{rrrr}18&12&24&42\\7&9&7&3\\10&12&7&10\\4&-6&9&10\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{rrrr}1&-145&-229&-10590\\0&-4&-6&-293\\0&1&0&78\\0&0&1&-3\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3630\\ \end{array}\right)}[/math]

Erweiterte Matrix Ab[br]A:= {{1, 3, 2, 5, 4}, {1, 1, 3, 2, 5}, {3, 3, 9, 14, -5}, {2, 2, 6, 6, 5}};[br]IE :={{4, 2, -2}, {3, 2, -3}, {2, 1, -1}, {3, 4, -4}, {3, 4, 0}, {3, 3, 1/2},{2, 3, 3}, {1,3, -5}, {2, 2, -1/2}, {1, 2, -3}, {-3, 4, 0}};[br][br](6) Abfolge Elementarmatrizen[br][math]\small{\begin{array}{rrrrrrrrrr}4&3&2&3&3&3&2&1&2&1 \\ 2&2&1&4&4&3&3&3&2&2 \\ -2&-3&-1&-4&0&0.5&3&-5&-0.5&-3 \\ \end{array}}\textcolor{red}{\overleftarrow{P}[{-3, 4, 0}]\overrightarrow{Q}}[/math][br][br](8) Zuordnung Abfolge in [sub][math]\begin{matrix}\longleftarrow\\reverse\end{matrix}[/math][/sub]P A Q Operationen[br][math] \left\{ \left(\begin{array}{rrrrrrrrrr}1&2&1&2&3&3&3&2&3&4\\2&2&3&3&3&4&4&1&2&2\\-3&\frac{-1}{2}&-5&3&\frac{1}{2}&0&-4&-1&-3&-2\\\end{array}\right), I_{A}I, \left(\begin{array}{r}3\\4\\0\\\end{array}\right) \right\} [/math][br][br][br][math][br]\textcolor{blue}{P\, A\, Q \to ReducedRowEchelonForm\; RRef - Zeilenstufenform\; Zsf\\ [br]\\ \small \left(\begin{array}{rrrr}\frac{-1}{2}&2&0&\frac{-1}{4}\\\frac{1}{2}&1&0&\frac{-3}{4}\\0&-1&0&\frac{1}{2}\\0&5&1&-4\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{rrrrr}1&3&2&5&4\\1&1&3&2&5\\3&3&9&14&-5\\2&2&6&6&5\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{rrrrr}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrrrr}1&0&0&\frac{7}{2}&\frac{27}{4}\\0&1&0&\frac{-1}{2}&\frac{13}{4}\\0&0&1&0&\frac{-5}{2}\\0&0&0&0&0\\ \end{array}\right)}[/math][br][br]Auslesen RRef[sub]PAQ[/sub][br][br][i]Ts:=Take(Transpose(Take(Element(IQ, 1),1,4)),1,4) [size=85]; Rücktausch:=Spaltentausch auf Zeile übertragen[/size][br][/i][i]Kern:=Transpose( Take(Transpose(PAQ),4,4)) +Ts {{0},{0},{0},{-1}} ; [size=85]Spalte 4 freie Variable auf n erweitern, Rücktausch[/size][br][/i][i]IL:=Ts Transpose( Take(Transpose(PAQ),5,5)) ; [size=85][math] \mathbb{L}[/math],spezielle Lösung aus Spalte 5 auslesen, Rücktausch [/size][/i][br][math]\small  \mathbb{L}\, := \, \left(\begin{array}{r}\frac{27}{4}\\\frac{13}{4}\\0\\\frac{-5}{2}\\\end{array}\right)\quad[br]\to\quad Kern \, := \, \left(\begin{array}{r}\frac{7}{2}\\\frac{-1}{2}\\-1\\0\\\end{array}\right) \to A\; (\mathbb{L} + \lambda\, Kern)\;=\;\left(\begin{array}{r}4\\5\\-5\\5\\\end{array}\right)\\[/math]