Neste caso, são fornecidos dois pontos distintos A e B e uma reta r, e devemos encontrar o círculo que passa pelos dois pontos e é tangente a reta.

[b]1. Os pontos A e B pertencem a reta r: [/b]Não há solução;[b][br]2. Apenas um dos pontos A ou B pertencer a reta r: [/b]A solução é única;[br][b]3. Os pontos A e B estão em uma reta AB que é paralela à reta r: [/b]A solução é única;[br][b]4. Os pontos A e B estão em semiplanos opostos determinados pela reta r: [/b]Não há solução;[br][b]5. Os pontos A e B estão em um mesmo semiplano determinado por r e a reta AB é concorrente a reta r: [/b]Há duas soluções.

Na construção feita para ilustrar o caso PPR2, posicione o ponto B sobre a reta r e observe o que ocorre.[br] Você deve ter notado que não é possível obter o círculo desejado, pois este deveria passar pelos pontos A e B, mas como ambos pertencem a r, teríamos então uma reta tangente com dois pontos de interseção com o círculo, o que entra em contradição com a própria definição de tangente.

(1-4) São dados dois pontos A e B e uma reta r;[br](5) É construída a mediatriz m dos pontos A e B;[br](6) É construída a reta p, perpendicular a r passando por A;[br](7) É determinado o ponto O de interseção entre m e p;[br](8) É traçado o círculo c de centro O passando por B (que também passará por A).

A circunferência c de centro O e raio OA é a solução do subcaso PPR2, pois o ponto O equidista dos pontos A e B, já que pertence a mediatriz m destes pontos, e, por construção, o raio OA é perpendicular a reta r e tem A como ponto de tangência (já que A e O pertencem a p).

(1-7) São dados uma reta r e dois pontos A e B de modo que a reta AB é paralela a r;[br](8) É traçada a mediatriz m dos pontos A e B;[br](9) É determinado o ponto C de interseção entre m e r;[br](10) É traçado o círculo c que passa pelos pontos A, B e C.[br]

Vamos provar que a circunferência c é solução do subcaso PPR4. De fato, seu centro O deve pertencer a m, já que precisa estar a mesma distância dos pontos A e B. Seja T o ponto de tangência da circunferência c com a reta r. Então a reta TO deve ser perpendicular r. Como a reta AB é paralela a reta r, temos que m é perpendicular a r, já que é mediatriz de AB. Como tanto a reta TO quanto m são perpendiculares a r e passam por O, então temos que TO = m, pela unicidade da perpendicular. Como T pertence a m e a r, então T=C, que é o ponto de interseção destas retas na construção apresentada aqui. Note que agora c pode ser construído utilizando o [url=https://www.geogebra.org/m/bksxjdjv]caso PPP[/url].

Posicione os pontos A e B em semiplanos distintos na construção feita para ilustrar o caso PPR5 e observe o que ocorre.[br] Você deve ter notado que a construção de tal círculo não é possível, visto que ao percorremos qualquer círculo passando por A e por B no sentido anti-horário, ele deverá intersectar a reta r duas vezes, uma indo de A para B e outro vindo de B para A, uma vez que estes pontos ocupam semiplanos opostos, dentre os determinados pela reta r.

(1-5) São dados os pontos A e B e a reta r;[br](6) É construída a reta AB;[br](7) É determinado o ponto médio de AB, denominado M[sub]1[/sub];[br](8) É traçado o círculo d[sub]1[/sub] de centro M[sub]1[/sub] que passa pelos pontos A e B;[br](9) É determinado o ponto C de interseção entre as retas AB e r;[br](10) É determinado o ponto médio de M[sub]1[/sub]C, denominado M[sub]2[/sub];[br](11) É traçado o círculo d[sub]2[/sub] de centro M[sub]2[/sub] que passa pelos pontos M[sub]1[/sub] e C;[br](12) São determinados os pontos P[sub]1[/sub] e P[sub]2[/sub] de interseção entre d[sub]1[/sub] e d[sub]2[/sub];[br](13) É traçado o círculo d[sub]3[/sub] de centro C que passa pelos pontos P[sub]1[/sub] e P[sub]2;[br][/sub](14) São determinados os pontos C[sub]1[/sub] e C[sub]2[/sub] de interseção entre d[sub]3[/sub] e r;[br](15-16) São obtidas as circunferências c[sub]1[/sub] e c[sub]2[/sub] passando ambas pelos pontos A e B e respectivamente pelos pontos C[sub]1[/sub] e C[sub]2[/sub].

Para fixar as ideias, vamos nos concentrar na circunferência c[sub]1[/sub]. Observando-a vemos que a reta AB é secante a ela e, se esta é realmente uma solução do problema de Apolônio, a reta r deve ser tangente a mesma. Precisamos então determinar o ponto de tangência C[sub]1[/sub] entre c[sub]1[/sub] e r. Para determinar tal ponto lembremos que, pelas propriedades de potência de pontos, aplicada ao ponto C e a circunferência c[sub]1[/sub], temos que [math]\overline{AC}\cdot\overline{BC}=\overline{CC_1}^2[/math]. Queremos então obter os pontos C[sub]1[/sub] e C[sub]2[/sub] sobre r cujas distâncias até C sejam a média geométrica entre os comprimentos dos segmentos AC e BC. [br] Vamos provar que a construção feita antes garante que a reta CP[sub]1[/sub] é tangente ao círculo d[sub]1[/sub]. Para tanto, note que o triângulo CP[sub]1[/sub]M[sub]1[/sub] é reto em P[sub]1[/sub], já que está inscrito na semicircunferência de diâmetro CM[sub]1[/sub] (evidenciada por d[sub]2[/sub]). Assim, a reta CP[sub]1[/sub] é perpendicular ao raio P[sub]1[/sub]M[sub]1[/sub] do círculo d[sub]1[/sub] e, consequentemente, tangente a ele no ponto P[sub]1[/sub].[br] Logo, como a reta AB é secante a d[sub]1[/sub], temos, pela mesma propriedade de potência de pontos aplicada novamente ao ponto C, mas agora, a circunferência d[sub]1[/sub], que [math]\overline{AC}\cdot\overline{BC}=\overline{CP_1}^2[/math]. Portanto o ponto P[sub]1[/sub] está distante de C exatamente pela distância que procuramos. Logo, como o ponto C pertence a reta r, traçando o círculo k de centro C e raio CP[sub]1[/sub] os pontos de interseção deste com a reta r nos fornecerão os pontos de tangência C[sub]1[/sub] e C[sub]2[/sub] procurados. Assim, os círculos c[sub]1[/sub] e c[sub]2[/sub] que passam pelos pontos A e B e, respectivamente, pelos pontos C[sub]1[/sub] e C[sub]2[/sub] são os círculos que fornecem a solução do problema de Apolônio neste caso.