Die Kurve von [math]f[/math] muss um [math]2\pi[/math] entlang der x-Achse verschoben werden.[br]Dies entspricht einer Addition mit dem Vektor [math]\left(\begin{matrix}0\\2\pi\end{matrix}\right)[/math], der Weg der verschobenen Kurve sieht also folgendermaßen aus:[br][math]f:\left[-\frac{1}{2}\pi,\frac{3}{2}\pi\right]\rightarrow\mathbb{R}^2,f\left(t\right)=\left(\begin{matrix}t\\cos\left(t\right)+2\pi\end{matrix}\right)[/math]

Die einfachste Methode eine Kurve derart zu verschieben, ist es einen beliebigen Punkt [math]c[/math] aus dem Definitionsbereich in die Vorschrift einzusetzen und das Ergebnis von der gesamten Kurve abzuziehen. Dies stellt eine Translation dar, wodurch ein neuer Weg mit der Vorschrift [math]f_{neu}\left(t\right)=f\left(t\right)-f\left(c\right)[/math] entsteht. Dieser bildet [math]c[/math] auf den Koordinatenursprung ab, denn es gilt: [math]f_{neu}\left(c\right)=f\left(c\right)-f\left(c\right)=0[/math].[br][br]Konkret:[br][math]f\left(0\right)=\left(\begin{matrix}-1\\0\\1\end{matrix}\right)\Rightarrow f_{neu}:\left[-2,2\right]\rightarrow\mathbb{R}^3,f\left(t\right)=\left(\begin{matrix}t^2\\t\\t^3-t\end{matrix}\right)[/math]beschreibt eine Kurve, die durch den Koordinatenursprung geht.

Um eine Kurve entlang der y-Achse zu strecken, multipliziert man sie mit dem Vektor [math]\left(\begin{matrix}0\\a\end{matrix}\right)[/math]. Dadurch ist jeder Punkt [math]a[/math]-mal so weit von der x-Achse entfernt wie vorher. Analog streckt man entlang der x-Achse durch multiplikation mit dem Vektor [math]\left(\begin{matrix}a\\0\end{matrix}\right)[/math].

Da der Koordinatenursprung bereits Anfangspunkt der Kurve ist und die [br]Kurve durch Verzerrung weiterhin eine Strecke bleibt, reicht es aus sie [br]so zu verzerren, dass ihr Endpunkt genau der Punkt [math]P=\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)[/math] ist.[br]Es muss also gelten: [math]f_{neu}\left(5\right)=\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)[/math][br]Daraus folgt [math]a=2[/math] und [math]b=3[/math].[br]Die neue Kurve wird also parametrisiert durch den Weg:[br][math]f_{neu}:\left[0,5\right]\rightarrow\mathbb{R}^2,f_{neu}\left(t\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}t\\t\end{matrix}\right)[/math]

Es gibt mehrere Möglichkeiten, den Weg so zu verzerren, dass sie durch den Punkt [math]P=\left(\begin{matrix}-5\\5\\-3\end{matrix}\right)[/math] geht. Die Kurve des verzerrten Weges [math]f_{neu}[/math] geht durch den Punkt [math]P[/math] genau dann, wenn ein [math]t\in\left[0,5\right][/math] existiert, für das gilt: [math]f_{neu}\left(t\right)=P[/math], also [math]f_{neu}\left(t\right)=\left(\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}t\\t\\t^2-2t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\5\\-3\end{matrix}\right)[/math].[br]Wählt man zum Beispiel [math]t=1[/math], so erhält man das Gleichungssystem:[br][math]\begin{matrix}a\cdot1=-5\\b\cdot1=5\\c\cdot\left(1-2\right)=-3\end{matrix}[/math], welches die Lösung [math]\begin{matrix}a=-5\\b=5\\c=3\end{matrix}[/math] besitzt.[br]Das bedeutet, die gewünschte Kurve wird durch den Weg [math]f_{neu}:\left[0,5\right]\rightarrow\mathbb{R}^3,f_{neu}\left(t\right)=\left(\begin{matrix}-5\\5\\3\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}t\\t\\t^2-2t\end{matrix}\right)[/math] bzw. [math]f_{neu}\left(t\right)=\left(\begin{matrix}-5t\\5t\\3t^2-6t\end{matrix}\right)[/math] beschrieben.[br]Eine Probe ergibt:[br][math]f_{neu}\left(1\right)=\left(\begin{matrix}-5\cdot1\\5\cdot1\\3\cdot1^2-6\cdot1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\5\\-3\end{matrix}\right)[/math]. Der Weg bildet 1 also tatsächlich auf den Punkt [math]P=\left(\begin{matrix}-5\\5\\-3\end{matrix}\right)[/math] ab.[br][br]Vielleicht hast du mithilfe des Applets eine andere Lösung gefunden. Überprüfe sie, indem du das Gleichungssystem [math]f_{neu}\left(t\right)=\left(\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}t\\t\\t^2-2t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\5\\-3\end{matrix}\right)[/math] mit deinen Werten für [math]a,b[/math] und [math]c[/math] löst und setze die Lösung in den Weg ein. (Beachte hierbei, dass [math]t\in\left[0,5\right][/math] sein muss.)[br]Alternativ kannst du auch die Schieberegler im obigen Applet auf deine Werte für [math]a,b[/math] und [math]c[/math] setzen und überprüfen, ob die Kurve durch den Punkt "Ziel" verläuft. [br]Falls ja, erscheint unter der Funktion eine rote Nachricht, die dir den Wert für [math]t[/math] zeigt, der durch den Weg auf das Ziel abgebildet wird.