[size=100]Funktionen der Form [math]f:x\mapsto b\cdot a^x[/math] mit [math]x\in\mathbb{R}[/math] und [math]a>0;a\ne1[/math] heißen [b]Exponentialfunktion[/b].[br][br]Im Folgenden sollen nun die Eigenschaften des Graphen einer Exponentialfunktion betrachtet werden. Hierfür gilt es zu untersuchen, welchen Einfluss die Parameter [math]a[/math] und [math]b[/math] auf den Verlauf des Graphen haben. [br][br]Kümmern wir uns zunächst nur darum welchen Einfluss die Basis [math]a[/math] hat. Hierfür setzen wir [math]b=1[/math] und betrachten [math]f\left(x\right)=a^x[/math].[br][br]Untersuche den Verlauf des Graphen der Exponentialfunktion [math]f[/math], indem du mit Hilfe des Schiebereglers den Wert für die Basis [math]a[/math] verändertst.[br][br][list=1][*]Beschreibe, welche Funktionswerte ([math]y[/math]-Werte) auftreten und gib die Wertemenge einer Exponentialfunktion der Form [math]f:x\mapsto a^x[/math] an. [br][/*][*]Beschreibe das Steigungsverhalten des Funktionsgraphen in Abhängigkeit von [math]a[/math].[/*][*]Beschreibe, was dir bezüglich des Schnittpunktes mit der [math]y[/math]-Achse und für [math]f\left(1\right)[/math] auffällt. [/*][/list][/size]

Im zweiten Schritt untersuchen wir denn Einfluss des Faktors [math]b[/math] für die fest gewählte Basis [math]a=2[/math]: [br][br]Verändere mit Hilfe des Schiebereglers den Wert für [math]b[/math] und betrachte die Veränderung auf den Graphen von [math]f\left(x\right)=b\cdot2^x[/math].[br][br][list=1][*]Gib den Zusammenhang zwischen [math]b[/math] und dem Anfangswert [math]f\left(0\right)[/math] an. [/*][*]Beschreibe den Einfluss des Faktors [math]b[/math] auf den Graphen für [math]b>0[/math].[/*][*]Beschreibe den Einfluss des Faktors [math]b[/math] auf den Graphen für [math]b<0[/math].[/*][/list]

Beschreibe nun den Verlauf des Graphen einer Exponentialfunktion [math]f:x\mapsto b\cdot a^x[/math] für die folgenden vier Fälle. Skizziere zu jedem der vier Fälle einen Graphen in dein Heft. [br]Nutze bei Bedarf die Animation via GeoGebra.[br][br][list][*]a > 1 und b > 0[/*][/list][list][*]0 < a < 1 und b > 0[/*][/list][list][*]a > 1 und b < 0[/*][/list][list][*]0 < a < 1 und b < 0[/*][/list]