[size=150][url=https://de.wikipedia.org/wiki/Platonischer_K%C3%B6rper]Platonische Körper[/url] sind konvexe Polyeder, sie haben als Seitenflächen kongruente regelmäßige Vielecke (Dreiecke, Vierecke, Fünfecke). An jeder Ecke stoßen gleichviele Kanten an.[br]Es gibt 5 platonische Körper.[br][br][url=https://de.wikipedia.org/wiki/Archimedische_K%C3%B6rper]Archimedische Körper[/url] Körper sind konvexe Polyeder, sie haben als Seitenflächen regelmäßige Vielecke, die aber nicht immer kongruent sind. An den Ecken stoßen immer gleichviele Kanten an (dass die Seitenflächen regelmäßige Vielecke sind, reicht nicht!).[br]Und sie sind weder [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Platonischer_K%C3%B6rper]platonische Körper[/url] noch [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Prisma_(Geometrie)]Prismen[/url] oder [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Antiprisma]Antiprismen[/url].[br]Es gibt 13 archimedische Körper.[br][br][url=https://de.wikipedia.org/wiki/Platonischer_K%C3%B6rper#Dualit%C3%A4t]Duale Körper[/url] von platonischen Körpern entstehen (als Kantenmodell), wenn man die Mittelpunkte benachbarter Seiten miteinander verbindet. Das ist die gängige geometrische Definition. Dabei wird der [i]innere [/i]duale Körper kleiner und wenn man die Dualisierung damit nochmal durchführt, erhält man den Ausgangskörper, aber deutlich kleiner. Dass nenne ich Dualkörper erster Art.[br]Es gibt eine zweite Konstruktion für duale Körper, wobei gefordert wird, dass die beiden Körper dieselbe [i]Kantenkugel [/i]haben. Dabei haben wir dann andere Eigenschaften: Die dualen Körper werden nicht 'kleiner', bei zweimaliger Dualisierung erhalten wir wieder den Ausgangskörper in [i]gleicher [/i]Größe (Involution). Dass nenne ich Dualkörper zweiter Art.[br]In diesem Book arbeite ich meist mit der ersten Art, der Seitenmitten-Definition, und vergrößere dann ggf. den inneren dualen Körper für Durchdringungen. [br]In der Literatur findet man meist stillschweigend, ohne Kommentar, die eine oder andere Art, was irritieren kann.[br]In Wikipedia tauchen auch (an unterschiedlichen Stellen) beide Varianten auf, was die Verwirrung auch nicht gerade verringert.[br][br]Bei den platonischen Körpern sind dual:[br] Tetraeder - Tetraeder [br] Würfel - Oktaeder [br] Oktaeder - Würfel[br] Dodekaeder - Ikosaeder [br] Ikosaeder - Dodekaeder.[br]Platonische Körper haben eine Umkugel und eine Inkugel und eine Kantenkugel, die Mittelpunkte sind identisch und gleich dem Schwerpunkt.[br]Die Umkugel des inneren dualen Körpers ist dann auch Inkugel des umfassenden äußeren platonischen Körpers. [br]Die gegenseitige Dualität bei platonischen Körpern beruht auf der sehr hohen Symmetrie dieser Körper. Bei archimedischen Körpern muss das nicht so sein.[br][br]Es gibt verschiedene Möglichkeiten, aus den platonischen Körpern archimedische zu erzeugen.[br]Am häufigsten wird das gleichmäßige Abschneiden von Pyramiden an den Ecken genutzt, das sogenannte [i]Abstumpfen[/i].[br]Man kann auch den Durchschnitt von geeigneten platonischen Körpern betrachten ([i]Durchdringen[/i]). Hierzu wird der innere duale Körper passend vergrößert, so dass er 'herauswächst'.[br]Eine dritte Möglichkeit ist das [i]Fasen [/i](engl. [i]Cantellation[/i]). Dies ist ein Abstumpfen zweiter Ordnung, an Kanten und an Ecken.[br][br]Man kann bei zwei sich durchdringenden Körpern auch die [i]konvexe Hülle[/i] betrachten bzw. erzeugen. So ist z. B. zum Kuboktaeder als Durchschnitt von Würfel und Oktaeder das Rhombendodekaeder die konvexe Hülle (ist aber kein archimedischer Körper mehr). [/size]

H.-J. Elschenbroich: Perspektivwechsel und Entdeckungen mit dynamischer Software.[br]In: Der Mathematikunterricht 6/2017

[size=150]Ausgangsituation: Oktaeder mit dualem Würfel (Dualkörper zweiter Art, gemeinsame Kantenkugel).[br]Das Kuboktaeder ist hier der Durchschnitt, der gemeinsame Kern von Würfel und Oktaeder.[br]Die Ecken des Kuboktaeders sind gemeinsamen Kantenmittelpunkte von Würfel bzw. Oktaeder und die Berührpunkte der Kantenkugel. [/size]

[size=150]Der Begriff [i]Fasen [/i]stammt aus der Holz- und Metallbearbeitung. Damit ist gemeint, dass scharfe Kanten entfernt werden und an deren Stelle eine Fläche, die [i][url=https://de.wikipedia.org/wiki/Fase]Fase[/url][/i] tritt. Dies gibt es mittlerweile in CAD Software auch als eigenen Befehl.[br]Umgangssprachlich spricht man auch von abfasen oder abkanten, anschaulich von abhobeln.[br][br]In der Geometrie gibt es dafür den englischen Begriff [i][url=https://en.wikipedia.org/wiki/Cantellation_(geometry)]Cantellation[/url][/i]. Das meint ein Abstumpfen zweiter Ordnung, sowohl an den Ecken wie an den Kanten. Hier in den GeoGebra-Beispielen wird das Fasen dynamisch durch einen Schieberegler gesteuert.[br][br]Beim Fasen eines Würfels oder eines Oktaeders gibt es [i]einen [/i]speziellen Fall, wo Rechtecke quadratisch werden. Der dann entstehende archimedische Körper ist das sogenannte [i]Rhombenkuboktaeder[/i]. [/size]

[size=100][size=150]Wenn man zu einem Polygon ein Prisma oder eine Pyramide erzeugt, spricht man von [i]Extrudieren[/i]. [br]Dies ist auch als Befehl in GeoGebra 3D vorhanden. Dazu braucht man eine Grundfläche und einen Punkt bzw. eine Höhe als Zahl.[br][br]So wie ein Kuboktaeder aus einem Oktaeder bzw. Würfel durch Abschneiden von Pyramiden ([i]Abstumpfen[/i]) gewonnen wird, so kann man nun umgekehrt ein Kuboktaeder durch Aufsetzen von geeigneten Pyramiden zu einem Oktaeder bzw. zu einem Würfel erweitern. [/size][/size]

[size=100][size=150]Bei der [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Konvexe_H%C3%BClle]konvexen Hülle[/url] einer Menge liegen alle Verbindungsstrecken von zwei Punkten auch in dieser Menge und es ist die minimale Menge mit dieser Eigenschaft.[br]Anschaulich bedeutet das, dass es [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Konvexe_Menge]keine 'Einbuchtungen'[/url]gibt.[br][br]Die konvexe Hülle von Würfel und Oktaeder ist also mehr als die Vereinigung.[br]Man erhält ein Rhombendodekaeder. [br][/size][/size][size=150]Das Kuboktaeder erweist sich dann innerer dualer Körper zu diesem Rhombendodekaeder.[/size]