Data una funzione[b] y=f(x[/b]) continua in un intervallo [b][a,b][/b], esiste almeno un punto c∈[b][a,b][/b] tale che[br][center][math]\large\int_a^b f\left(x\right)dx=f\left(c\right)\cdot\left(b-a\right)[/math][/center][br]o in alternativa[br][center][math]\large f(c)=\frac{\int_a^bf\left(x\right)dx}{b-a}[/math][/center]
La prima forma della tesi del teorema della media integrale si può interpretare affermando che "[i]data una funzione[b] y=f(x[/b]) continua in un intervallo [b][a,b][/b], esiste almeno un punto [b]c∈[a,b][/b] tale che il rettangolo di base [b][a,b][/b] e altezza [b]f(c)[/b] ha la stessa area della superficie compresa tra la curva e l'[b]asse x[/b][/i]."
La seconda forma della tesi del teorema della media integrale ne giustifica il nome definendo pertanto il punto [b]c∈[a,b][/b] valor medio.
[list][*]Utilizza lo slider nero verticale per traslare la curva verticalmente[/*][*]Utilizza gli slider blu e rosso orizzontali per mutarne la forma[/*][*]Puoi spostare l'estremo b per modificare l'interlallo d'integrazione[/*][/list]
L'enunciato prevede che il punto[b] c∈[a,b][/b], ovvero che [b]c[/b] possa coincidere uno gli estremi [b]a[/b] e [b]b[/b]; sapresti individuare una situazione in cui questo accade?
Nel caso della funzione costante in [b][a,b][/b], la superficie sottesa dalla funzione coinciderebbe proprio con il rettangolo di altezza[b] f(c)=f(a)=f(b)[/b], in quanto funzione costante.
L'enunciato prevede tra le ipotesi che la funzione sia continua in [b][a,b][/b]; come definiresti una funzione non continua che non verifica il teorema?[br]P.S. Puoi scrivere l'equazione
Con punto di discontinuità di prima specie:[br][center][math]\large f\left(x\right)=\begin{cases}1&\;\text{se }0\le x\le2\\[br]3&\;\text{se }2<x\le4\end{cases}[/math][/center]per la quale[br][center][math]\large\int_0^4f\left(x\right)dx=\int_0^21\ dx+\int_2^43\ dx=2\cdot1+2\cdot3=2+6=8[/math][/center]Applicando il teorema del valor medio (seconda versione) si avrebbe:[br][center][math]\frac{\int_a^bf\left(x\right)dx}{b-a}=\frac{8}{4}=2[/math][/center]ma la funzione in [b][a,b][/b] per come è definita può assumere solo valori [b]1[/b] o [b]3[/b], non 2, quindi il teorema non vale.[br]