Tales de Mileto,[i] wikipedia[/i]
Teorema de Tales
Tales de Mileto fue un matemático griego que presentó un teorema muy importante que veremos a continuación
Teorema de Tales
En un triángulo ABC si D Y E son puntos en AB y AC respectivamente, tales que el segmento DE es paralelo al lado BC, entonces los puntos D Y E determinan segmentos proporcionales a los lados, es decir:[br][math]\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}[/math][br]Veamos la siguiente figura
Demostración Teorema de Tales
Trazaremos el segmento BE y la perpendicular EH desde el vértice E al lado AB
Observamos que el triángulo ABE y el triángulo ADE tienen la misma altura EH. Por lo tanto...[br][math]\left(ABE\right)=\frac{AB\cdot EH}{2}[/math] y [math]\left(ADE\right)=\frac{AD\cdot EH}{2}[/math]. Entonces:[br][br][math]\frac{\left(ABE\right)}{\left(ADE\right)}=\frac{AB}{AD}[/math] (a)[br][br]Similarmente,[br][br][math]\frac{\left(ADC\right)}{\left(ADE\right)}=\frac{AC}{AE}[/math] (b)[br][br]Como los triángulos DBE y DCE tienen la misma base DE y como DE y BC son paralelas, tienen la misma altura. Por tanto: [math]\left(DBE\right)=\left(DCE\right)[/math]. Entonces:[br][br][math]\left(ABE\right)=\left(ADE\right)+\left(DBE\right)[/math][br][math]\left(ABE\right)=\left(ADE\right)+\left(DCE\right)[/math][br][math]\left(ABE\right)=\left(ADC\right)[/math] (c)[br][br]De (a), (b), y (c) concluimos que [math]\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}[/math].
Recíproco del Teorema de Tales
Si en un triángulo ABC se tiene puntos D y E sobre los lados AB y AC respectivamente, tales que [math]\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}[/math], entonces DE es paralelo al lado BC.
Demostración del Teorema de Tales
Sea BC' la recta paralela a DE que pasa por B y corta a AC en C' como en la siguiente figura:
Por el Teorema de Tales se tiene que [math]\frac{AB}{AD}=\frac{AC'}{AE}[/math]. Pero por hipótesis sabemos que [math]\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}[/math]. Por lo tanto AC=AC' y entonces C=C'. [br]Por lo tanto, DE es paralelo a BC.