[justify]In diesem Abschnitt werden wir uns anhand der Tangentialebene einerseits dem Begriff des Gradienten nähern und andererseits ein Verfahren für die Fehlerrechnung kennenlernen.[br]Im Applet wird ein Skalarfeld [math]z=f(x,y)[/math] dargestellt und untersucht. Dabei kann man sich [math]x[/math] und [math]y[/math] als zwei Messgrößen vorstellen, die mit den Fehlern [math]\Delta x[/math] und [math]\Delta y[/math] behaftet sind. Die Größe z wird berechnet. Wir suchen die Grenzen [math]z\pm\Delta z[/math], in denen [math]z[/math] gültig ist. Durch Ziehen der Schieberegler wählen Sie die Ausgangsgrößen x und y. Die Fehlergrenzen geben Sie über die Eingabefelder ein. Auf die angezeigten Ergebnisse gehe ich in den theoretischen Überlegungen ein.[br][/justify]

[justify]Mit dem Beispiel haben wir eine Funktion in Abhängigkeit von zwei Variablen vorliegen. Allgemein kann man sich auch drei Unabhängige vorstellen wie z.B. bei der Temperaturverteilung in einem Zimmer. Gleichungen, die aus noch mehr als drei Messgrößen die Bestimmungsgröße berechnen lassen, sind auch möglich. Wir werden sehen, dass eine Übertragung auf mehr als zwei Variable leicht möglich ist. Die hier vorgenommene Einschränkung dient lediglich der Möglichkeit, die Betrachtungen grafisch darstellen zu können.[br][br][br][color=#0000ff]Das totale Differential:[/color][br][br]Wählen Sie zunächst die [color=#0000ff][b]Darstellung der Tangentialebene[/b][/color] ab. Eingezeichnet bleiben zwei Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt [math]A(x_0|y_0|f(x_0,y_0)[/math]. Deren Steigung interessiert uns. Dazu stellen wir uns vor, dass wir den Graphen bei [math]y_0[/math] mit einer zur x-z-Ebene parallelen Ebene schneiden. Wir erhalten einen Graphen, dessen Steigung bei [math]x_0[/math] wir dadurch erhalten, dass wir [math]f[/math] lediglich nach [math]x[/math] ableiten. Solch eine Ableitung nach nur einer der vorkommenden Variablen heißt [i]partiell[/i]. Man schreibt für die partielle Ableitung nach [math]x[/math] [math]f_x(x,y)[/math] oder [math]\frac{\partial z}{\partial x}[/math] (sprich: Del z nach del x). Damit hat die erste Tangente die Gleichung [math]z=f_x(x_0,y_0)\cdot\left(x-x_0\right)+f(x_0,y_0)[/math]. Ganz entsprechend verfahren wir für die zweite Tangente und erhalten [math]z=f_y(x_0,y_0)\cdot\left(y-y_0\right)+f(x_0,y_0)[/math]. Die beiden Tangenten schneiden sich im Punkt [math]A[/math]. Sie spannen damit die Tangentialebene [math]E_T:z=f_x(x_0,y_0)\cdot\left(x-x_0\right)+f_y(x_0,y_0)\cdot\left(y-y_0\right)+f(x_0,y_0)[/math] auf. Setzen wir [math]\Delta x:=x-x_0[/math], [math]\Delta y=y-y_0[/math] und [math]\Delta z:=z-f(x_0,y_0)[/math], so können wir auch unter Verwendung der Quotientenschreibweise und für alle x und y verallgemeinert [math]\Delta z=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y[/math] schreiben. Wenn nun [math]\Delta x[/math] und [math]\Delta y[/math] genügend klein sind, so dürfen wir sie differentiell schreiben und erhalten den Ausdruck[/justify][center][math]\fbox{\mathrm{d}f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y}[/math].[/center][justify]Diese Gleichung heißt totales Differential. Auf der linken Seite im Applet ist auch das konkrete totale Differential angegeben. Auf weitere unabhängige Variable [math]x_i;i=1\ldots n[/math] erweitert, gilt [/justify][center][math]\fbox{\mathrm{d}f=\sum\limits_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\mathrm{d}x_i}[/math].[/center][justify]Eine weitere Vereinfachung nimmt man vor, indem man in den Faktoren [math]\frac{\partial f}{\partial x_i}[/math] den Funktionsbezeichner weglässt und den Rest als eine Art Vektor der Form [math]\nabla=\left(\begin{matrix}\frac{\partial}{\partial x_1}\\\vdots\\\frac{\partial}{\partial x_n}\end{matrix}\right)[/math] schreibt. Das auf die Spitze gestellte Dreieck heißt Nabla und wird als Symbol für die Vektorschreibweise verwendet. Die Schreibweise symbolisiert einen Operator, dessen Verwendung wir hier noch besprechen werden. Zunächst wenden wir uns jedoch der Nutzung der Tangentialebene für die Fehlerrechnung zu.[br][br][br][color=#0000ff]Ein Verfahren für die Fehlerrechnung:[/color][br][br]In der Nähe des Berührpunktes weichen in unserem Beispiel die z-Werte der Ebene nur wenig von denen der Funktion ab. Nun kann man sich die Bestimmungsgleichung einer Größe als ein Skalarfeld [math]f(x_1,...,x_n)[/math] der Messgrößen [math]x_i[/math] vorstellen. Jede der Messgrößen sei mit einem Fehler [math]\Delta x_i[/math] behaftet. Dann wird auch die daraus berechnete Größe einen Fehler [math]\Delta y[/math] aufweisen. Er wird dann am realistischsten sein, wenn die Summanden am größten sind. Wir verwenden daher anstelle der partiellen Ableitungen deren Beträge. Somit erhalten wir für den Fehler die Gleichung[/justify][center][math]\fbox{\Delta y=\sum\limits_{i=1}^n\left|\frac{\partial y}{\partial x_i}\right|\Delta x_i}[/math].[/center][justify]Wenden wir die Gleichung in einem Beispiel an: Ein Schwerependel sei [math]l=(2,00\pm0,02)m[/math] lang. Die Schwingungsdauer wurde mit [math]T=(2,84\pm0,01)s[/math] gemessen. Aus den beiden Werten soll die Fallbeschleunigung [math]g=\frac{4\pi^2l}{T^2}[/math] berechnet werden. Man berechnet zunächst den Wert [math]g\approx9,789\frac{m}{s^2}[/math]. Die Beträge der beiden partiellen Ableitungen sind [math]\left|\frac{\partial g}{\partial l}\right|=\frac{4\pi^2}{T^2}[/math] und [math]\left|\frac{\partial g}{\partial T}\right|=\frac{8\pi^2l}{T^3}[/math]. Der Fehler für die Fallbeschleunigung ist damit [math]\Delta g=\frac{4\pi^2}{T^2}\Delta l+\frac{8\pi^2l}{T^3}\Delta T\approx 4,8947\frac{1}{s^2}\cdot 0,02m+6,8939\frac{m}{s^4}\cdot 0,01s\approx 0,1668\frac{m}{s^2}[/math]. Wir haben somit die Fallbeschleunigung zu [math]g=\left(9,79\pm0,17\right)\frac{m}{s^2}[/math] bestimmt. Der zu erwartende Wert von [math]9,81\frac{m}{s^2}[/math] liegt auch in diesen Grenzen, was für eine gelungene Messung spricht.[br]Neben diesem Beispiel lassen sich aus der Fehlergleichung Regeln ableiten, die die Durchführung der Fehlerrechnung vereinfachen. Wir werden mit der Addition, der Multiplikation und der Potenz drei typische Rechenoperationen betrachten.[br]Die [b]Addition[/b]: Sei [math]y=a_1\cdot x_1+a_2\cdot x_2[/math] eine Linearkombination der Messgrößen [math]x_1[/math] und [math]x_2[/math]. Dann sind die Ableitungen [math]\frac{\partial y}{\partial x_1}=a_1[/math] und [math]\frac{\partial y}{\partial x_2}=a_2[/math]. Damit gilt für die Berechnung des Fehlers[/justify][center][math]\fbox{y=a_1x_1+a_2x_2\Rightarrow\Delta y=\left|a_1\right|\Delta x_1+\left|a_2\right|\Delta x_2}[/math].[/center][justify]Also ist auch der Fehler der Bestimmungsgröße eine Linearkombination der Messfehler. Das Ergebnis sagt auch aus, dass sich die Fehler auch bei einer Differenz addieren.[br]Die [b]Multiplikation[/b]: Sei nun [math]y=a\cdot x_1\cdot x_2[/math]. Die Ableitungen lauten [math]\frac{\partial y}{\partial x_1}=a\cdot x_2[/math] und [math]\frac{\partial y}{\partial x_2}=a\cdot x_1[/math]. Die Gleichung [math]\Delta y=\left|ax_2\right|\Delta x_1+\left|ax_1\right|\Delta x_2[/math] dividieren wir auf beiden Seiten durch y. Auf der linken Seite erhalten wir den Ausdruck [math]\frac{\Delta y}{y}[/math]. Dieser Quotient heißt relativer Fehler. Er tritt hier nicht nur auf, weil wir eine brauchbare Rechenregel erzeugen wollen. Er kann auch zur Beurteilung der Messqualität herangezogen werden. Je kleiner der relative Fehler ist, umso genauer waren die Messungen. Auf der rechten Seite der Gleichung können in jedem Summanden alle bis auf einen Faktor gekürzt werden. Wir erhalten die Regel [/justify][center][math]\fbox{y=ax_1x_2\Rightarrow\frac{\Delta y}{y}=\left|\frac{\Delta x_1}{x_1}\right|+\left|\frac{\Delta x_2}{x_2}\right|}[/math].[/center][justify]Also ist der relative Fehler bei der Multiplikation gleich der Summe der relativen Fehler der Messgrößen.[br]Die [b]Potenz[/b]: Hier hat die Bestimmungsgleichung die Form [math]y=x^a[/math] und die Ableitung ist [math]\frac{dy}{dx}=a\cdot x^{a-1}[/math]. Auch hier bilden wir den relativen Fehler. Nach dem Kürzen auf der rechten Seite erhalten wir[/justify][center][math]\fbox{y=x^a\Rightarrow\frac{\Delta y}{y}=\left|a\cdot\frac{\Delta x_1}{x_1}\right|}[/math].[/center][justify]Damit ist auch bei einem Quotienten der relative Fehler der gesuchten Größe die Summe der relativen Fehler. Wenden wir die Regeln nun auf das Beispiel an: Die Gleichung für die Fallbeschleunigung ist bis auf den Faktor [math]4\pi^2[/math] der Quotient aus der Pendellänge und dem Quadrat der Schwingungsdauer. Nach den Regeln ist der relative Fehler [math]\frac{\Delta g}{g}=\frac{\Delta l}{l}+2\frac{\Delta T}{T}=\frac{0,02}{2}+2\cdot\frac{0,01}{2,84}\approx1,704\%[/math]. Multiplizieren wir diesen Wert mit der zuvor berechneten Fallbeschleunigung, so erhalten wir den Fehler [math]\Delta g=9,789\frac{m}{s^2}\cdot0,01704\approx0,1668[/math]. Das ist das gleiche Ergebnis wie oben. Das sollte auch so sein. Wir haben hier mit den Regeln sogar einen kürzeren Weg gefunden.[/justify][justify][br][br][color=#0000ff]Der Gradient des Skalarfeldes:[/color][br][br]Kehren wir zur Tangentialfläche zurück. Deren Gleichung [math]\Delta z=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y[/math] formen wir etwas um zu [math]\frac{\partial z}{\partial x}\left(x-x_0\right)+\frac{\partial z}{\partial y}\left(y-y_0\right)+(-1)\cdot\left(z-z_0\right)=0[/math] oder [math]\left(\begin{matrix}\frac{\partial z}{\partial x}\\\frac{\partial z}{\partial x}\\-1\end{matrix}\right)\cdot\left(\vec x-\vec x_0\right)=0[/math]. Den Normalenvektor können wir in die x-y-Ebene projizieren. Diese Projektion zeigt orthogonal zur Schnittgeraden der Tangentialebene mit der x-y-Ebene. Sie zeigt damit in die Richtung der stärksten Steigung des Graphen am Berührpunkt. Der Vektor in der x-y-Ebene [math]\mathrm{grad}\: f=\binom{\frac{\partial z}{\partial x}}{\frac{\partial z}{\partial y}}[/math] heißt Gradient des Skalarfeldes [math]f[/math]. Unter Verwendung des Nabla-Operators kann auch gültig für mehr als zwei Dimensionen[/justify][center][math]\fbox{\mathrm{grad}\: f=\nabla f}[/math][/center][justify]geschrieben werden. Wir sehen, dass der Gradient eines Skalarfeldes ein Vektorfeld ist.[/justify]