Firma tuottaa markkinoille leivänpaahtimia, ja tahtoo optimoida voittonsa. Tämäntyyppisissä probleemissa päädytään käyttämään erinäisten funktioiden derivaattoja; taloustieteilijät kutsuvat näitä derivaattoja marginaaleiksi (marginals). Tuotteen kysyntä (kuinka monta kappaletta tuotteita menee kaupaksi per kuukausi) riippuu tietenkin sen hinnasta. Merkitään kysyntää symbolilla [math]\Large x[br][/math]. Tietystikin jos myydään halvemmalla, on kysyntää silloin enemmän. Merkitään symbolilla [math]\Large h [/math] yksittäisen tuotteen myyntihinta ja oletetaan että [math]\Large x[br][/math]:n ja [math]\Large h [/math]:n välillä on yhteys[br][br][math]\Large [br]x(h) = \frac{10^6}{h^3}[br][/math][br][br]Tästä hinnan ja kysynnän yhteydestä on kuva alla. Vaaka-akselilla on siis yhden tuotteen hinta ([math]\Large h [/math]) euroissa, ja pystyakselilla se määrä leivänpaahtimia kuukaudessa, jonka kuluttajat ostavat tällä hinnalla.

Voimme piirtää tästä tuotteen hinnan ja markkinoiden kysynnän suhteesta kuvaajan myös "toisesta suunnasta": Tällä kertaa vaaka-akselina on kysyntä, ja pystyakselina on tuotteen hinta (kuva alla).

Oletetaan että tuotantokustannukset, eli se, minkä verran firmalle maksaa tuottaa leivänpaahtimia juuri kysynnän verran, määräytyvät seuraavan funktion mukaan:[br][math]\Large[br]K(x) = 6x + 100 x^\frac{1}{2} + 5000.[br][/math][br]Tämän funktion yksikkö on siis euroa kuussa; tämä on firman rahallinen investointi, jolla leivänpaahtimet tuotetaan.[br][br]TEHTÄVÄ:[br](a)[br]Laske rajakustannusfunktio [math]\Large K'(x) [/math]. Tämä on siis funktio, joka kertoo minkä verran tuotantokustannukset muuttuvat, jos tuotteita aiotaan tuottaa lisää. Jos tuotanto on x=100 tuotetta per kuukausi, niin mikä on rajakustannuksen arvo? (Toisinsanoen, mikä on arvio sille, mitä firmalle maksaisi nostaa tuotanto 101:een tuotteeseen per kuukausi?)[br][br](b)[br]Business-matematiikassa sana tuotto tarkoittaa sitä rahamäärää, jonka firmaa saa tuotteidensa myynnistä. Tämä voidaan laskea, kun tunnetaan yhden tuotteen hinta, ja myytyjen tuotteiden kappalemäärä. Se on siis [math]\Large T(x) = x \cdot h(x) [/math]. Rajatuotto määritellään tuoton derivaattana (tuotetun kappalemäärän x suhteen). Mikä on rajatuotto, kun tuotteita myydään 100 kappaletta per kuukausi, eli mitä on [math]\Large T'(100) [/math] ? (Toisinsanoen, mikä on se tuoton lisäys joka arvioitaisiin saatavan kun tuotantoa lisättäisiin sadasta 101:een?)[br][br](c)[br]Lopulta voittohan se on joka kiinnostaa. Firman saama voitto [math]\Large V(x) [/math] tuotteidensa myymisestä on se rahallinen erotus mitä maksoi tuottaa ne, ja mitä kuluttajat niistä maksoivat, eli [br][br][math]\Large V(x) = T(x) - K(x) [/math][br][br]Vastaavasti rajavoitto on tämän derivaatta. Jos firma tuottaa 100 tuotetta per aikayksikkö, niin mikä on rajavoiton arvo, eli mitä on [math]\Large V'(100) [/math] ? (Toisin sanoen, minkä on arvio sille minkä verran firma saa voittoa tuottaessaan 101:nnen tuotteen?)

RATKAISU:[br][br](a)[br][math]\Large[br]K'(x) = 6 + 50x^{-\frac{1}{2}} = 6 + \frac{50}{\sqrt{x}}[br][/math][br][br][math]\Large[br]K'(100) = 6 + 50 \cdot 0.1 = 11[br][/math][br][br][br](b)[br]Tunnemme lausekkeen kysynnälle hinnan funktiona: laskemme nyt tälle käänteisfunktion, eli hinta kysynnän funktiona. Tarvitsemme sitä hetken päässä laskuissa. Huomaa, että tästä lausekkeesta nähtiin ylempänä jo kuvaajakin (se, jossa on vaaka-akselilla kysyntä, ja pystyakselilla hinta).[br][math]\Large[br] x = \frac{10^6}{h^3} \Leftrightarrow h = 10^2x^{-\frac{1}{3}}[br][/math][br][br]Kirjoitetaan funtio tuotolle, ja lasketaan rajatuotto.[br][br][math]\Large[br]T(x) = x \cdot h(x) = x \cdot 10^2 x^-{\frac{1}{3}} = 10^2 x^{\frac{2}{3}}[br][/math][br][math]\Large[br]T'(x) = 10^2 \cdot \frac{2}{3} \cdot x^{-\frac{1}{3}}[br][/math][br][br]Lasktaan vielä rajatuoton arvo, kun tuotanto on 100 paahdinta kuukaudessa:[br][math]\Large[br]T'(100) = \frac{2}{3}10^2\cdot 100^{-\frac{1}{3}} \approx 14.362[br][/math][br][br](c)[br][math]\Large[br]V'(x) = T'(x)-K'(x) = \frac{2}{3}10^2x^{-\frac{1}{3}} - 6 - 50x^{-\frac{1}{2}}[br][/math][br][br][math]\Large[br]V'(100) = T'(100)-K'(100) = 14.36-11\approx 3.36[br][/math][br][br][br]