Ist eine Gleichung in folgender Form gegeben:[br][math]\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)\cdot\left(x-x_3\right)\cdot\cdot\cdot\left(x-x_n\right)\cdot p\left(x\right)=0[/math][br]mit einem Polynom [math]p\left(x\right)[/math] ohne Nullstellen, so sind die reellen Zahlen [math]x_1,x_2,...,x_n[/math] Lösungen der Gleichung.[br][br][b]Begründung:[/b][br]Ist zum Beispiel [math]x=x_1[/math], so wird der erste Faktor auf der linken Seite Null und damit das gesamte Produkt auf der linken Seite.[br][br][b]Beispiel:[/b][br][math]\left(x-2\right)\left(x+3\right)\left(x-7\right)\left(x^2+1\right)=0[/math][br]Die ersten drei Faktoren werden Null, wenn [i]x[/i] die Werte 2, -3 und 7 annimmt; der vierte Faktor wird für kein reelles [i]x[/i] Null. Folglich sind die Lösungen [math]x=-3\text{ }\vee\text{ }x=2\text{ }\vee\text{ }x=7[/math].

Ist eine Gleichung in folgender Form gegeben:[br][math]ax^n+b=0[/math][br]mit den reellen Zahlen [i]a[/i] und [i]b[/i] und der natürlichen Zahl [i]n[/i], dann löst man zuerst nach [i]x[sup]n[/sup][/i] auf und zieht dann gegebenenfalls die [i]n[/i]-te Wurzel.[math][/math][math][/math][br][br][math][/math]Ist [i]n[/i] ungerade, so lautet die Lösung [math]x=\sqrt[n]{-\frac{b}{a}}[/math].[br]Ist [i]n[/i] gerade, so gibt es nur für [math]-\frac{b}{a}>0[/math] eine Lösung, nämlich [math]x_{1,2}=\pm\sqrt[n]{-\frac{b}{a}}[/math][br][br][b]Beispiele:[/b][br]1)[br][math]\frac{1}{2}x^5-16=0\text{ }\Leftrightarrow\text{ }\frac{1}{2}x^5=16\text{ }\Leftrightarrow\text{ }x^5=32\text{ }\Leftrightarrow\text{ }x=\sqrt[5]{32}\text{ }\Leftrightarrow\text{ }x=2[/math][br][br]2)[br][math]32+2x^4=0\text{ }\Leftrightarrow\text{ }2x^4=-32\text{ }\Leftrightarrow\text{ }x^4=-16[/math][br]Diese Gleichung hat keine Lösung.[br][br]3)[br][math]\frac{1}{81}-x^4=0\text{ }\Leftrightarrow\text{ }-x^4=-\frac{1}{81}\text{ }\Leftrightarrow\text{ }x^4=\frac{1}{81}\text{ }\Leftrightarrow\text{ }x=\pm\sqrt[4]{\frac{1}{81}}\text{ }\Leftrightarrow\text{ }x=\pm\frac{1}{3}[/math]

Gleichungen der Form[br][math]a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}=0[/math][br]kann man lösen, indem man [math]x^{n-2}[/math] ausklammert:[br][math]x^{n-2}\left(a_nx^2+a_{n-1}x+a_{n-2}\right)=0[/math][br]Man bekommt eine [i]n[/i]-2-fache Lösung [math]x=0[/math] und eventuell noch eine oder zwei Lösungen durch das Nullsetzen der Klammer.[br][br][b]Beispiel:[br][math]4x^9-4x^8+x^7=0\text{ }\Leftrightarrow\text{ }x^7\left(4x^2-4x+1\right)=0\text{ }\Leftrightarrow\text{ }x^7\left(2x-1\right)^2=0\text{ }\Leftrightarrow\text{ }x=0\text{ }\vee\text{ }x=\frac{1}{2}[/math][/b]

Gleichungen der Form[br][math]ax^4+bx^2+c=0[/math][br]nennt man biquadratisch.[br][br]Durch eine Ersetzung ("Substitution") kann man biquadratische Gleichungen elegant lösen. Dazu führt man eine neue Variable ein:[br][math]s:=x^2[/math][br][br]Mit dieser neuen Variablen wird aus der biquadratischen Gleichungen eine normale quadratische:[br][math]as^2+bs+c=0[/math][br]Die Lösung(en) dieser quadratischen Gleichung kann man z.B. mittels Lösungsformel finden.[br][br]Als letzten Schritt muss man die Substitution nur noch "rückgängig" machen ("Resubstitution") und nach [i]x[/i] auflösen.[br][br][b]Beispiel:[br][math]x^4-3x^2+2=0[/math][br][/b][br]Substitution: [math]s:=x^2[/math][br][math]s^2-3s+2=0\text{ }\Leftrightarrow\text{ }\left(s-2\right)\left(s-1\right)=0\text{ }\Leftrightarrow\text{ }s=2\text{ }\vee\text{ }s=1[/math][br](Hinweis: Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung für [i]s[/i] kann man natürlich auch mit der [i]pq[/i]-Formel ermitteln.)[br][br]Resubstitution:[br][math]s=2\text{ }\vee\text{ }s=1\text{ }\Leftrightarrow\text{ }x^2=2\text{ }\vee\text{ }x^2=1\text{ }\Leftrightarrow\text{ }x=\pm\sqrt{2}\text{ }\vee\text{ }x=\pm1[/math][br][br]Folglich gibt es vier Lösungen der biquadratischen Gleichung (was durch eine Probe mittels Einsetzen ganz leicht überprüft werden kann).