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Die Satzgruppe des Pythagoras
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1. Satz des Thales
- Der Satz des Thales
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2. Satz des Pythagoras
- Wie lautet der Satz des Pythagoras?
- Beweis
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3. Der Höhensatz
- Höhensatz und Mittelwert
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4. Das Skript für den ZBW
- Unterrichtsvorschlag
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5. Der Kathetensatz
- Scherung - eine flächeninvariante Transformation
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Die Satzgruppe des Pythagoras
Wilfried Dutkowski, GeoGebra Institut NRW, Feb 17, 2023
Die Satzgruppe des Pythagoras spielt weniger als Satzgruppe eine schulische Rolle, sondern nur der Fundamentalsatz der Geometrie, der als Satz des Pythagoras bekannt wird. Dabei spielt nicht die ursprüngliche Bedeutung als Flächensatz die entscheidende Rolle, sondern vielmehr seine Benutzung als Längensatz. Das vorliegende Buch zeigt die Satzgruppe des Pythagoras und beinhaltet auch ein Skript zum zweiten Bildungsweg mit Aufgaben. Alle weiteren didaktischen Begründungen findet man bei Hans-Jürgen Elschenbroich als didaktischen Kommentar. https://www.geogebra.org/m/xrvx5p99#material/rkcjqxqt letzte Aktualisierung: 20.02.2023
Table of Contents
- Satz des Thales
- Der Satz des Thales
- Satz des Pythagoras
- Wie lautet der Satz des Pythagoras?
- Beweis
- Der Höhensatz
- Höhensatz und Mittelwert
- Das Skript für den ZBW
- Unterrichtsvorschlag
- Der Kathetensatz
- Scherung - eine flächeninvariante Transformation
Der Satz des Thales
Rechtwinklige Dreieck
Da der Satz des Pythagoras nur in rechtwinkligen Dreiecken gilt, ist es wichtig zu wissen, wie man rechtwinklige Dreiecke konstruiert. Das nachfolgende Applet zeigt, wie man dabei vorgeht kann, ohne explizit die Konstruktion vorzuführen.
Wie lautet der Satz des Pythagoras?
Die Vogelscheuche im Zauberer von OZ
In dem Film Der Zauberer von OZ, erhält die Vogelscheuche ein Diplom für eine mathematisch ziemliche Unsinnige Antwort, die einer Verballhornung des Satzes von Pythagoras entspricht.
Auch heute wird dieser Satz - en auch weniger verballhornt- nur teilweise richtige wiedergegeben, denn die Reduktion auf die algebraische Struktur: a2 + b2 = c2 ist natürlich nur dann richtig wenn man weiß - oder stillschweigend voraussetzt- dass a und b einen rechten Winkel bilden müssen, also Katheten sind.
Das nachfolgende Applet zeigt, dass diese Einschränkung notwendig ist.
Höhensatz und Mittelwert
Der Höhensatz des Euklidische
Schulisch findet der Höhensatz des Euklid nur noch selten eine Anwendung, obwohl er wichtiges Bindeglied zwischen Anwendung und Mathematik darstellt.
Einerseits zeugt er, dass es zu jedem Rechteck ein flächengleiches Quadrat gibt und zu jedem Quadrat ein flächengleiches Rechteck.
Andererseits zeigt er, dass damit jede Quadratwurzel geometrisch konstruierbar ist, was oft vergessen wird, weil man weiß, dass Quadratwurzeln irrational sind, und irrational oft mit unmöglich verwechselt wird.
Letztendlich zeigt er einen Zusammenhang zum geometrischen Mittelwert und zu den dazugehörigen Ungleichungen.
Das nachfolgende Applet zeigt, wie der Höhensatz gemeint ist und wie man ihn durch geschicktes Zerlegen beweisen kann.
Unterrichtsvorschlag
Warum ein Skript?
Der zweite Bildungsweg (ZBW) in NRW ist eine Einrichtung für Erwachsene ab 17 Jahren, die die Vollzeitschulpflicht erfüllt haben. Des kostenlose Besuch eines Weiterbildungskollegs oder einer Abendrealschule ist für die Besucher:innen kostenfrei. Es werden alle Schulabschlüsse angeboten, was bedeutet, dass sowohl Schulabbrecher:innen eine schulische Basisqualifiktion erlangen können, aber auch ihre erworbenen Qualifikationen stufenweise Abis zum Abitur erhöhen können.
Da eine Grundvoraussetzung ist, dass eine mindestens 10-stündige wöchentliche Tätigkeit ausgeübt werden muss, gestaltet sich eine regelmäßige Unterrichtsteilnahme als schwierig, oder wird als schwierig wahrgenommen. Da es für den ZBW keine eigenen Schulbücher gibt, aber eben auch Abschlüsse der SI angeboten werden, ist es erforderlich, Materialien zu entwicklen oder anzubieten, die unterrichtsbegleitend genutzt werden können.
Zu diesem Skript existiert auch ein GeoGebra-Book, das hier abgerufen werden kann. Dort sind auch einige skriptbezogenere Applets zu finden.
Skript Pythagoras UE
Scherung - eine flächeninvariante Transformation
Scherung ein kraftvolles Instrument
Die Scherungen gehören nicht mehr zu den Standardthemen der Schulmathematik, obwohl mit Hilfe von dynamischer Geometriesoftware diese Abbildungen relativ einfach nachzuvollziehbar sind und im Prinzip bei den Parallelogrammen vorkommt, wenn man ein Parallelogramm in eine höhengleiches Rechteck verwandelt. Gerade in einem kompetenzorinetierten Unterricht sollte dieses mächtige Werkzeug nicht fehlen. Deshalb soll der Kathetensatz, der ebenfalls schulmathematisch keine Rolle mehr spielt damit bewiesen werden, wie das nachfolgende Applet zeigt.
aus dem Kathetensatz lässt sich auch relativ einfach der Satz des Pythagoras algebraisch ableiten:
Die Verlängerung der Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks, die die Hypotenuse in zwei Abschnitte p und q teilt, teilt das Hypotenusenquadrat in zwei Rechtecke: p•c und q•cDer Kathetnsatz sagt: Der Flächeninhalt der Katheten über den entsprechenden Hypotenusenabschnitten ist genauso groß wie das entsprechende Rechteck:
a2 = q•c undb2=p•c. Durch Addition dieser Gleichungen erhält man: a2 + b2=p•c + q•c.
Durch drücken der Taste Start, lässt sich der Kathetensatz beweisen.
Da p•c + q•c= c(p+ q) ist, und p+q gleich der Länge der Hypotenuse entspricht, folgt der Satz Pythagoras: a2 + b2 = c2.
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