2) Winkelhalbierende im Dreieck

a) Gibt es einen gemeinsamen Schnittpunkt?

Zeichne ein beliebiges Dreieck mit den Eckpunkten ABC auf ein leeres Blatt Papier. [br](Vereinbarung in Mathe: Bezeichnung mit ABC gegen den Uhrzeigersinn)[br]Konstruiere die drei Winkelhalbierenden (nicht messen, konstruieren!)[br][br][b]Die drei WInkelhalbierenden sollten sich in einem gemeinsamen Punkt schneiden.[/b][br][br]Erforsche mit der Geogebra-Zeichnung, ob wir vermuten können, dass sich die Winkelhalbierenden im Dreieck immer in einem Punkt schneiden. [br]In Zeichnung 1 ist die Konstruktion schon vorgegeben, in Zeichnung 2 kannst du alles selbst konstruieren. Wähle aus.

1) Bewege die Eckpunkte des Dreiecks

2) Erstelle ein Dreieck und die drei Winkelhalbierenden

b) Schnittpunkt der Winkelhalbierenden im Dreieck

Vermutung: Die Winkelhalbierenden eines beliebigen Dreiecks schneiden sich immer in einem Punkt.

Nein, sie schneiden sich nie. Es sieht so aus

Dürfen wir die Vermutung als immer gültigen Satz formulieren?[br]Also: “In allen Dreiecken schneiden sich die Winkelhalbierenden in einem Punkt”

Ja, das dürfen wir. Nein, weil wir nicht alle möglichen Dreiecke der Welt ausprobieren können. Wenn wir das mit einer Kette aus Argumenten beweisen können, dürfen wir das.

c) Lage des Schnittpunktes der Winkelhalbierenden im Dreieck

Lies die Argumentation genau durch. [br]Gehe nur zum nächsten Schritt, wenn du das Argument an einer Zeichnung nachvollziehen kannst..[br][list][*]Betrachte zwei Winkelhalbierende des Dreiecks. Diese schneiden sich auf jeden Fall in einem Punkt, nennen wir den Punkt K.[br][/*][*]Alle Punkte auf beiden Winkelhalbierenden haben den gleichen Abstand zu den zugehörigen Dreiecksseiten.[/*][*]K hat den gleichen Abstand zu beiden Schenkeln des ersten und zu beiden Schenkeln des zweiten Winkels.[/*][*]Also hat K den gleichen Abstand zu allen drei Seiten.[/*][*]K liegt folglich auch auf der Winkelhalbierenden des dritten Winkels.[/*][*]Also schneiden sich die drei Winkelhalbierenden in einem Punkt.[/*][/list]Bis hierher haben wir gezeigt:[br][b]Die drei Winkelhalbierenden schneiden sich in jedem Dreieck in einem Punkt.[/b][br][list][*]K hat den gleichen Abstand von allen drei Seiten.[br][/*][*]Der Abstand von K zu den Seiten ist das [b]Lot[/b] auf die Dreiecksseite.[/*][*]Du hast den Kreis kennen gelernt als Ortslinie aller Punkte, die von einem Punkt (dem Mittelpunkt) gleich weit entfernt sind.[/*][*]Folglich liegen die Fußpunkte der Lote auf einem Kreis. [/*][*]Der Mittelpunkt des Kreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.[/*][/list]Hier wurde bewiesen:[br][b]Es gibt für jedes Dreieck einen Kreis, der alle drei Seiten genau berührt.[/b][br](Mathematiker sagen auch: die Dreiecksseiten sind Tangenten des Kreises) [br][br][color=#ff0000][size=150]Der Kreis, der alle Seiten eines Dreiecks berührt, heißt [b]Inkreis[/b] des Dreiecks.[br]Der Mittelpunkt des Inkreises ist der [b]Schnittpunkt der Winkelhalbierenden[/b].[/size][/color]

Bewege die Eckpunkte des Dreiecks. Beobachte, wie sich der Inkreis verändert.

d) Zeichne selbst: Inkreis von Dreiecken konstruieren

Drucke die Datei “Drei Dreiecke” aus oder zeichne ähnlich aussehende Dreiecke selbst.[br]Nimm für jede Zeichnung ein neues leeres Blatt und zeichne jeweils das Dreieck groß genug in die Mitte.[br]Konstruiere jeweils die drei Winkelhalbierenden.[br]Beachte, dass die Hilfslinien zu sehen sein müssen.[br]Markiere den Inkreis-Mittelpunkt K.[br]Fälle die drei Lote von K auf die Dreiecksseiten. (Lot: Orthogonale auf die Seite)[br]Zeichne den Inkreis und ziehe die Kreislinie farbig nach.

Drei Dreiecke (Rechtsklick auf den Link, dann herunterladen oder in neuem Fenster öffnen)

e) Entscheide, welche der folgenden Aussagen richtig sind:

K ist hier immer der Inkreis-Mittelpunkt

K liegt immer innerhalb des Dreiecks Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt K außerhalb des Dreiecks. Der Radius des Inkreises ist der Abstand von K zu den Eckpunkten. Der Radius des Inkreises ist der Abstand von K zu den Dreiecksseiten.

f) Experten-Aufgabe:

Gibt es Dreiecke, bei denen Umkreis- und Inkreis-Mittelpunkt identisch sind?[br][br]Überlege und argumentiere, zeichne oder nutze das GeoGebra-Applet als Hilfe