In der Sekundarstufe I gehören die trigonometrischen Betrachtungen zum obligatorischen Fächerkanon des Mathematikunterrichtes. Dabei beschränkt man sich meist auf die Verhältnisse von [b][color=#ff7700]Kath[/color][color=#0000ff]eten[/color][/b] und [b][color=#f1c232]Hypotenuse[/color][/b]. Das nachfolgende Applet zeigt, was damit gemeint ist, und warum das nur bei rechtwinkligen Dreieck funktioniert. [br]Dies hat zunächst nichts mit [math]\pi[/math] zu ist aber für die nachfolgenden Betrachtung wichtig, denn man kann diese (Seiten-)Verhältnisse auch funktional betrachten, und dann wird die [b]Kreiszahl[/b] wichtig, was im nächsten Kapitel geschieht.

Da alle Kreise zueinander ähnlich sind und ihre Größe nur vom Radius anhängt, kann man alle Betrachtungen auf einen Kreis beziehen, dessen Radius 1 beträgt. Ein solcher Kreis wird Einheitskreis genannt. Da der [url=https://www.geogebra.org/m/NiqPv1Tp]Umfang eines Kreises[/url] U = 2[math]\cdot\pi[/math]r ist entspricht für r = 1 der Umfang gerade 2[math]\cdot\pi[/math][br]Das nachfolgende Applet zeigt, wie man durch Abrollen des Einheitskreises die trigonometrischen Verhältnisse funktional in eine Koordinatensystem überträgt. Für die weiteren Betrachtungen ist insbesondere die Tangensfunktion wichtig.

In dem Wort Tangens steckt das Wort tangere, was 'berühren' heißt. Wie in dem Applet Einheitskreis erkennbar ist, berührt die y-Achse (f(x)-Achse) den Einheitskreis im Punkt (0|0). Zum Abtragen des Tangenswertes benutzt man eine Gerade, die vom [b]Mittelpunkt[/b] des [b]Einheitspreises[/b] durch den Punkt [b]P[/b] geht und zwangsweise die y-Achse schneidet. Die Veränderung des Punktes P verändert die [b]Steigung[/b] dieser Geraden. Damit ist der Tangens mit der Geradensteigung verknüpft, so wie man sie auch aus dem Straßenverkehr kennt. Das nachfolgende Applet zeigt, wie man eine Geländesteigung mit dem Tangens algebraisch berechnen kann und geometrisch exakt bestimmt.[br]Daraus hat dann Leibniz eine -ineffektive- Berechnungsstruktur entwickelt. Beides ist im nachfolgenden Applet dargestellt.

Wenn man eine Folge von Zahlen addiert oder addiert/subtrahiert ist es nicht von vornherein klar, ob die Summe/Differenz überhaupt einen sogenannten Grenzwert erreicht, oder ob die Summe ins Unendliche wächst. Solche Additionsaufgaben werden in der Mathematik als Reihe bezeichnet. [br]Leibniz hat mit seiner [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Reihe]Methode[/url] gezeigt, dass seine Reihe gegen den Wert [math]\frac{\pi}{4}[/math]strebt. Existiert ein solcher Grenzwert, dann sagt man, die Reihe konvergiert. Leider zeigt das Applet aber, dass die Konvergenzgeschwindigkeit so langsam ist, dass es klug ist, darauf zu verzichten, damit [math]\pi[/math] auf mehr als 10 Stellen nach dem Komma zu berechnen. Das Hilfsmittel war ab dem 18. Jahrhundert die Reihenentwicklung, die auf der Leibnizreihe fußt. [br]Bis 1949 waren nur die ersten 347 Nachkommastellen bekannt - eigentlich 527, bis man 1945 feststellte, dass die letztem 180 Nachkommastellen falsch waren.[br]Das änderte sich dann aber ab 1949 jährlich, weil Rechenmaschinen in ihren technischen Fähigkeiten ständig weiterentwickelt wurden. [url=https://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.eu/pi-wissen/pi-nachkommastellen-rekorde/]Emma Haruka Iwao[/url] wird einen Algorithmus programmiert haben, der so effektiv war, dass es ihr in 159 Tagen gelang, 100 Billionen [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl]Nachkommastellen[/url] zu berechnen, die hoffentlich jeder Überprüfung standhalten.[br][br]Im nachfolgende Applet sind einige verbesserte Reihenentwicklungen aufgezeigt, die zeigt dass ein Grenzwert [math][/math]in der Form[br][center][/center][center] [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba362ff207097dc35ca873f9a16bcda21a96b278[/img][/center][right]existiert.[br][br]Frau Iwao benutzt natürlich noch effektivere Algorithmen und vermutlich auch Computerfarmen.[br][br][br][br][br][br][br][/right]Weiter GeoGebra - Applets zu diesem Thema findet man bei [url=https://www.geogebra.org/m/AZ5pd4Pi]Georg Wengler[/url].

[b]Arcustangensreihen für [/b][math]\pi[/math] [url=https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/arcustangensreihen-fuer/260]Spektrumartikel[/url], Lexikon der Mathematik des Spektrumverlags, 2017[br]John H. Conway/Richard K. Guy: [b]Zahlenzauber[/b], Springer, 1997.

An dieser Stelle sei erwähnt, dass die Berechnung von [math]\pi[/math] mit Hilfe eines Computers relativ leicht ist, ohne technische Unterstützung sowohl Konzentration als auch eine gewisse Rechenfertigkeit erfordert. Vermutlich ist es der fehlenden Herausforderung geschuldet, dass jetzt Menschen die Nachkommastellen auswendig aufsagen, und der Weltrekord liegt bei 70.0300 Stellen in 17 Stunden, und wurde 2015 [color=#3a3a3a] von dem Inder Suresh Kumar Sharma aufgestellt. Der deutsche Rekord liegt bei 15.637 Nachkommstellen, und wurde von [url=https://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.eu/blog/]Susanne Hippauf[/url] im März 2023 aufgestellt.[br][/color]Für die ersten [url=https://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.eu/wp-content/uploads/2020/03/pi-314-buch.pdf]1.000.000 Nachkommastellen [/url]reicht das Buch von Gerald Steffens.