Dominio y Rango de funciones a trozos

[size=100][size=150][b][color=#0b5394]Objetivo[/color][/b] [br][/size][/size][br]Determinar de manera visual el dominio y rango de funciones a trozos

[size=150][color=#0b5394][b]Duración de la actividad[/b][/color][/size][br][br]Aprox. 25-35 minutos

[b][color=#0b5394][size=150]Conceptos previos al tema[/size][/color][/b][br][br]Concepto de función[br]Dominio y Rango de funciones polinomiales y racionales

[b][size=150][color=#0b5394]Justificación[/color][/size][/b][br][br]Es importante que el estudiante tenga una idea visual de una función definida a trozos, ya que le ayudará a determinar o confirmar el dominio y rango de una función. [br][br]Saber como se determina el dominio y rango de las funciones permitirá que los estudiantes tengan buenas bases para avanzar a temas como continuidad y derivabilidad de funciones.

Ejemplo 1. Gráfica de una función a trozos

Con base en la gráfica del ejemplo 1, contesta el siguiente cuestionario

1. ¿Por cuantos "trozos" de funciones está definida la función f(x)?

2. ¿en que valores de x notas que la gráfica cambia de comportamiento?

x=-3 y x=0 x=9 y x=0 x=-3 y x=2 x=9 y x=4

3. ¿Cuál es el dominio de la función f(x)?

Los reales [math]\left(-\infty,9\right)[/math] Los reales excepto el -3 y 2

4. ¿Qué conjunto de valores en el eje y no están relacionados con ningún valor de x?

[9, [math]\infty[/math]) (-1,0) (4,9)

5. ¿Cuál es el rango de la función f(x)?

(-[math]\infty[/math], -1] U [0,9) (-[math]\infty[/math], 9] (-[math]\infty[/math],-1) U (0,9] Los reales

Gráfica interactiva del ejemplo 1

Contesta, con ayuda de los deslizadores, las siguientes preguntas. Recuerda que puedes regresar a la posición original dando click en el ícono de reiniciar

6. Observa los puntos blancos y negros ¿Qué pasa cuando mueves los deslizadores?

solo cambian su ordenada solo cambia su abscisa

7. ¿Qué cambia en la función f(x) cuando mueves los deslizadores?

El rango Ambos Ninguno El dominio

8. ¿Qué sucede con la función f(x) cuando únicamente se mueve el primer deslizador a a=0?

el rango es de [0, [math]\infty[/math]) el dominio es de [0, [math]\infty[/math]) el dominio es de [0,9) el rango es de [0,9)

9. Marca las opciones en donde sea cierto que el rango son los reales positivos incluyendo al 0

Cuando a=-1, b=1 y c=1 Cuando a=-1, b=-2 y c=5 Cuando a=0, b=2 y c=4

10. Cual es el rango de la función f(x) cuando a=0, b=0 y c=4

[0,4] {2,4} [-3,2] {0,2,4}

Ejemplo 2. Gráfica de función a trozos

De acuerdo a la gráfica, contesta las siguientes preguntas

1. Nota que la función está compuesta de 3 trozos, ¿en cuál de éstos se debe evaluar x=0?

[math]\frac{1}{x}+1[/math] [math]x^3[/math] 3x+2

2. ¿Cuál es el dominio de la función a trozos?

[math]\mathbb{R}[/math] [math]\mathbb{R}[/math]-{0} (-[math]\infty[/math],-1)[math]\cup[/math](0,[math]\infty[/math])

3. Observa que pasa en la función (1/x)+1 (primer trozo de la función) cuando se aproxima a x=0. ¿a que valores tiende en el eje y?

los valores de y tienden a 0 los valores de y tienden a 1 los valores de y tienden a -[math]\infty[/math]

4. ¿Existe algún y que no esté relacionado con algún valor de x?

sí, y=0 no se relacionado con ningún valor de x No, porque toda y está relacionada con algún valor de x

5. ¿Cuál es el rango de la función?

[math]\mathbb{R}[/math]-{0} (1, -[math]\infty[/math]) (1, [math]\infty[/math]) [math]\mathbb{R}[/math]

Gráfica interactiva del ejemplo 2

Contesta las siguientes preguntas. Mueve los deslizadores, recuerda que para volver a la posición original puedes dar clic en el ícono de reiniciar

6. ¿Qué cambios observas cuando mueves los deslizadores?

Los trozos se desplazan hacia arriba o hacia abajo sin modificar su razón de cambio Los trozos cambian su pendiente y se mueven hacia arriba o hacia abajo

7. ¿Qué se mantiene igual cuando mueves los deslizadores?

Ninguno El rango El dominio Ambos

8. En que valores deben de estar los deslizadores para que el rango de f(x) sea (-[math]\infty[/math], -5)[math]\cup[/math][-4, 4)[math]\cup[/math][6,[math]\infty[/math])

a=-5, b=-4, c=0 a=5, b=0, c=1 a=-5, b=-1, c=-2

9. ¿Cuál es el rango de la función f(x) cuando los deslizadores tienen estos valores a=5, b=-5 y c=0?

[math]\mathbb{R}[/math] ([math]-\infty[/math], 3)[math]\cup[/math][6,[math]\infty[/math]) (-[math]\infty[/math], 5)[math]\cup[/math][6, [math]\infty[/math])

10. Puedes mover los deslizadores de tal modo que el rango de f(x) sea solo los reales positivos?

No, porque el primer trozo tiende a menos infinito cuando los valores de x se aproximan a cero Sí, cuando a=5

[b][color=#0b5394][size=150]Consideraciones y sugerencias[/size][/color] [/b][br][br]Recordar que para determinar el dominio y rango de las funciones a trozos es necesario analizar el comportamiento de cada trozo que la integra.[br]Prestar mayor atención a los puntos en donde la gráfica cambia de comportamiento. [br]Notar en que trozo corresponde evaluar los diferentes valores de x[br]Para el dominio, analizar que valores de x están relacionados con algún y[br]Para el rango, analizar que valores de y están relacionados con algún x[br]Al final, el dominio de la función a trozos será la unión de los dominios de cada trozo que la integra. Análogamente, el rango de la función a trozos será la unión de los rangos de cada trozo que la integra.