Von der Koordinatenform in die analytische Geometrie

Reinhard Schmidt, Oct 26, 2022

Hier wird ein Einstieg in die analytische Geometrie beschrieben, der an die geometrischen Vorstellungen und an die algebraischen Fertigkeiten der Lernenden anknüpft, statt von fertigen Begriffen auszugehen.

Table of Contents

  1. Einstieg in die dreidimensionale Welt
    1. Finde Punkte in derselben Ebene
    2. Nur Durcheinander? Mitnichten!
    3. 3D Vier gewinnt - Ebenencheck 1
    4. Übung: Ermittle Ebenengleichungen
    5. 3D Vier gewinnt - Ebenencheck 2
  2. Ebenen unter der Lupe
    1. Von Geraden zu Ebenen
    2. Spiel mit Ebenen
  3. Gemeinsame Punkte zweier Ebenen
    1. Zwei Ebenen
    2. Gemeinsame Punkte
    3. Übung: Schnitt zweier Ebenen
  4. Drei Ebenen
    1. 3x3-Gleichungssystem mit Parameter
    2. Lineares Gleichungssysteme mit Parameter - Übungen

1.

Einstieg in die dreidimensionale Welt

  • 1. Finde Punkte in derselben Ebene
  • 2. Nur Durcheinander? Mitnichten!
  • 3. 3D Vier gewinnt - Ebenencheck 1
  • 4. Übung: Ermittle Ebenengleichungen
  • 5. 3D Vier gewinnt - Ebenencheck 2

1.1.

Finde Punkte in derselben Ebene

Die drei Punkte A(0 | 0 | 0), B(2 | 0 | 1) und C(0 | 3 | 3) liegen in einer Ebene.
Wir suchen weitere Punkte, die in der selben Ebene liegen.[br]Über das Eingabefeld kannst du weitere Punkte eingeben, und du kannst prüfen, ob sie in derselben Ebene liegen wie A, B und C. Bei der Eingabe in GeoGebra werden x-Koordinate, y-Koordinate und z-Koordinate durch Kommata getrennt, also z.B. (0,3,3) statt C(0 | 3 | 3).
Gib drei Punkte an, die in derselben Ebene wie A,B und C liegen. Mindestens einer davon sollte mindestens eine negative Koordinate enthalten.
Wenn du ein paar weitere Punkte gefunden hast, wirst du ein Muster entdecken.[br]Dieses Muster kannst du in Form einer Gleichung beschreiben.[br]Notiere eine Gleichung, die alle Punkte erfüllen.
– Reinhard Schmidt

1.2.

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1.3.

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1.4.

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1.5.

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2.

Ebenen unter der Lupe

  • 1. Von Geraden zu Ebenen
  • 2. Spiel mit Ebenen

2.1.

Von Geraden zu Ebenen

Gib drei konkrete Tripel [math]\text{(x,y,z)}[/math] an, die die Gleichung [math]\text{x + 2y + 3z = 6}[/math] erfüllen.
Verwirrend viele Punkte
Gib drei Tripel [math]\text{(x,y,z)}[/math] an, die die Gleichung [math]\text{x + 2y + 3z = 6}[/math] erfüllen und bei der jeweils zwei Komponenten gleich [math]0[/math] sind. Deute diese Tripel geometrisch.
Ermittle [i]alle[/i] Tripel [math]\text{(x,y,0)}[/math], die die Gleichung [math]\text{x + 2y + 3z = 6}[/math] erfüllen.
Ermittle [i]alle[/i] Tripel [math]\text{(x,0,z)}[/math], die die Gleichung [math]\text{x + 2y + 3z = 6}[/math] erfüllen.
Begründe, warum sich z. B. mit der Gleichung [math]\text{x + 2y + 3z = 6}[/math] eine Ebene beschreiben lässt.
– Reinhard Schmidt

2.2.

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3.

Gemeinsame Punkte zweier Ebenen

  • 1. Zwei Ebenen
  • 2. Gemeinsame Punkte
  • 3. Übung: Schnitt zweier Ebenen

3.1.

Zwei Ebenen

Wenn es zwei verschiedene Ebenen gibt, kann man nach Punkten suchen, die in beiden Ebenen liegen.
Versuche mindestens drei Punkte zu finden, die sowohl in Ebene 1 (grün) als auch in Ebene 2 (blau) liegen. Beschreibe möglichst genau, wo alle gemeinsamen Punkte liegen.
– Reinhard Schmidt

3.2.

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3.3.

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4.

Drei Ebenen

  • 1. 3x3-Gleichungssystem mit Parameter
  • 2. Lineares Gleichungssysteme mit Parameter - Übungen

4.1.

3x3-Gleichungssystem mit Parameter

Gegeben sind die drei Ebenen [math]E_1[/math] mit [math]x-2y+3z=4[/math], [math]E_2[/math] mit [math]2x-y+z=8[/math] und [math]E_3[/math] mit [math]x-5y+z=4[/math].[br]Bestimme rechnerisch gemeinsame Punkte.
Erläutere, inwiefern das Applet unten eine geometrische Visualisierung von Aufgabe 1 darstellt.
Betrachte nun statt [math]E_3[/math] die Ebene [math]E_t[/math] mit [math]x-5y+tz=4[/math].[br]Bestimme [math]t[/math] so, dass die drei Ebenen unendlich viele gemeinsame Punkte haben.
– Reinhard Schmidt

4.2.

–

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