Von der Koordinatenform in die analytische Geometrie
Hier wird ein Einstieg in die analytische Geometrie beschrieben, der an die geometrischen Vorstellungen und an die algebraischen Fertigkeiten der Lernenden anknüpft, statt von fertigen Begriffen auszugehen.
Table of Contents
- Einstieg in die dreidimensionale Welt
- Finde Punkte in derselben Ebene
- Nur Durcheinander? Mitnichten!
- 3D Vier gewinnt - Ebenencheck 1
- Übung: Ermittle Ebenengleichungen
- Von Geraden zu Ebenen
- 3D Vier gewinnt - Ebenencheck 2
- Gemeinsame Punkte zweier Ebenen
- Gemeinsame Punkte
- Übung: Schnitt zweier Ebenen
- Drei Ebenen
- 3x3-Gleichungssystem mit Parameter
- Lineares Gleichungssysteme mit Parameter - Übungen
Finde Punkte in derselben Ebene
Die drei Punkte A(0 | 0 | 0), B(2 | 0 | 1) und C(0 | 3 | 3) liegen in einer Ebene.
Wir suchen weitere Punkte, die in der selben Ebene liegen.[br]Über das Eingabefeld kannst du weitere Punkte eingeben, und du kannst prüfen, ob sie in derselben Ebene liegen wie A, B und C. Bei der Eingabe in GeoGebra werden x-Koordinate, y-Koordinate und z-Koordinate durch Kommata getrennt, also z.B. (0,3,3) statt C(0 | 3 | 3).
Gib drei Punkte an, die in derselben Ebene wie A,B und C liegen. Mindestens einer davon sollte mindestens eine negative Koordinate enthalten.
Wenn du ein paar weitere Punkte gefunden hast, wirst du ein Muster entdecken.[br]Dieses Muster kannst du in Form einer Gleichung beschreiben.[br]Notiere eine Gleichung, die alle Punkte erfüllen.
Gemeinsame Punkte
Finde möglichst viele Punkte, die sowohl die Gleichung [math]\text{x + 2y – 3z = – 3}[/math] als auch die Gleichung [math]\text{2x – 2y = 0}[/math] erfüllen.
Gib einen Ausdruck an, mit dem alle Punkte beschrieben werden, die die beiden Gleichungen erfüllen, und deute die Punktmenge geometrisch. Löse dafür das lineare Gleichungssystem, das durch die beiden Gleichungen gegeben ist.
3x3-Gleichungssystem mit Parameter
Gegeben sind die drei Ebenen [math]E_1[/math] mit [math]x-2y+3z=4[/math], [math]E_2[/math] mit [math]2x-y+z=8[/math] und [math]E_3[/math] mit [math]x-5y+z=4[/math].[br]Bestimme rechnerisch gemeinsame Punkte.
Erläutere, inwiefern das Applet unten eine geometrische Visualisierung von Aufgabe 1 darstellt.
Betrachte nun statt [math]E_3[/math] die Ebene [math]E_t[/math] mit [math]x-5y+tz=4[/math].[br]Bestimme [math]t[/math] so, dass die drei Ebenen unendlich viele gemeinsame Punkte haben.