[size=100]Para o produto de números reais sabemos que vale a "[i]Lei do Cancelamento"[/i]. Isto é:[br][br][center][/center][quote]Dados [math]a[/math], [math]b[/math] e [math]c[/math] [math]\in\mathbb{R}[/math], com [math]a[/math] não nulo. A igualdade [math]a.b=a.c[/math] implica que [math]b=c[/math].[/quote][left][/left][left][br]Todavia, este resultado [b]não [/b]é válido para o produto vetorial. Isto é:[br][br][br][/left][quote]Dados vetores [math]\vec{u}[/math], [math]\vec{v}[/math] e [math]\vec{w}[/math], com [math]\vec{u}\ne\vec{0}[/math]. A igualdade [math]\vec{u}\times\vec{v}=\vec{u}\times\vec{w}[/math] [b][color=#ff0000]NÃO[/color][/b] implica que[math]\vec{v}=\vec{w}[/math].[/quote]A contrução abaixo ilustra isto. Note que os vetores [math]\vec{v}[/math] e [math]\vec{w}[/math] são distintos. Todavia o vetor resultante de [math]\vec{u}\times\vec{v}[/math] é exatamente o mesmo de [math]\vec{u}\times\vec{w}[/math]. [br][/size]

[list][*]Altere o vetor [math]\vec{u}[/math] e o vetor [math]\vec{v}[/math] para visualizar outros casos onde temos que a Lei do Cancelamento não é válida. [/*][/list]

Dados os vetores [math]\vec{u}[/math] e [math]\vec{v}[/math] , o vetor [math]\vec{w}[/math] foi construído de forma a ter exatamente o mesmo tamanho que o vetor [math]\vec{v}[/math], e tal que [math]ang\left(\vec{u},\vec{w}\right)=2\pi-ang\left(\vec{u},\vec{v}\right)[/math] (garantido que os valores dos senos coincidam). Isto garante que o tamanho dos vetores resultantes serão iguais:[br][math]\mid\mid\vec{u}\times\vec{v}\mid\mid=\mid\mid\vec{u}\mid\mid.\mid\mid\vec{v}\mid\mid.sin\left(ang\left(\vec{u},\vec{v}\right)\right)=\mid\mid\vec{u}\mid\mid.\mid\mid\vec{w}\mid\mid.sin\left(2\pi-ang\left(\vec{u},\vec{v}\right)\right)=\mid\mid\vec{u}\mid\mid.\mid\mid\vec{w}\mid\mid.sin\left(ang\left(\vec{u},\vec{v}\right)\right)=\mid\mid\vec{u}\times\vec{w}\mid\mid[/math][math]\vec{w}[/math][math]\vec{u}[/math][math]\vec{v}[/math][math]\vec{u}\times\vec{v}[/math][math]\vec{u}\times\vec{w}[/math][br][br]Além disso, [math]\vec{w}[/math] foi escolhido de forma a ser coplanar a [math]\vec{u}[/math] e [math]\vec{v}[/math]. Isto garante que o vetor resultante de [math]\vec{u}\times\vec{v}[/math] e o vetor resultante de [math]\vec{u}\times\vec{w}[/math]. serão paralelos.[br][br]Por último, a escolha de [math]\vec{w}[/math] tal que [math]ang\left(\vec{u},\vec{w}\right)=2\pi-ang\left(\vec{u},\vec{v}\right)[/math] também garante que [math]\vec{u}\times\vec{v}[/math] e [math]\vec{u}\times\vec{w}[/math]terão o mesmo sentido. [br][br]Portando [math]\vec{u}\times\vec{v}=\vec{u}\times\vec{w}[/math] apesar de [math]\vec{v}\ne\vec{w}[/math].