0

Analízis/Calculus

Tarcsay Tamás, May 16, 2019

Függvénytani problémák

Függvények

F01 Egy szélsőérték probléma

[size=85]Adjuk meg a valós számok halmazán, az alábbi hozzárendelési szabállyal értelmezett függvény minimumát![br][math]f\left\langle x\right\rangle=\sqrt{\frac{5}{4}x^2-5x+25}+\sqrt{\frac{5}{4}x^2-24x+128}[/math][/size]

A függvény grafikonja

A derivált felhasználásával

[size=85] A matematikai analízis az emelt szintű érettségi vizsga anyaga. Meg lehet oldani a problémát középszintű eszközökkel?[br][/size][size=85]Alakítsuk át a függvény hozzárendelési szabályában szereplő négyzetgyökös kifejezéseket![/size][br][math]\sqrt{\frac{5}{4}x^2-5x+25}=\sqrt{x^2+\left\langle\frac{1}{2}x-5\right\rangle^2}[/math].[br][img]data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAASUAAAAvCAYAAACli9ylAAAMdklEQVR4Xu2cvdI1RRHHITbBIjKB1RsQU6MlJALLzMTlCsArcM2tEooLYMkJMDNzDYzVC7BcCgOtssqXgoAM+vfWNMwzzEfv7J5zds+Zrprac3Zmuv/974/9eN7zvvhCk8ZAY6AxcCAGXjwQlgalMdAYaAy80JpSS4JLM/BLMfDKpY00/adn4GPx4DO8aE3p9LE8vAMfCMLfHx5lA3hrBv4rAL5qTenWYXgM+++Jm+8+hqvNyz0YaHdKe7DYdOQYGGWS0aQxYGKgNSUTTW1RJQO97OtkTJX727b7ZICc+KmMf8hYQhe3NqW3ROGvZPz7Prm7C69+K158cSNPBrH7dzduBKGZPRgDNKSXXE5wsRrDxrS1KbX3BQeL+MHgtPw4WEAOAIcLFU2J3KAhIXp8/qU1pQNE6Y4hkGxPEu6Ofd3q2mtOAXeWZxX+oEGzscosCwcZi7+hNSUrfW1dDQOTS7qavY+25xNxmKJ+UqAeCdxdPDs4KTTU3oiTZoSQI09kS1PCOERBpsrX8mF2X9CN4RTJB+e3wdvIAFd+cmTNlXOjydNu71xxwpcv1NebMl53dTQe3EPqXR/NclDxF6E38Jnjt7KlKUEQCed378kZoGP6zergXDZ4F2CAP4KQG/MFdN+bSmqJwqR+fKHAEf13Xqw7soCXeOujaAwrcx+63GD+d2GObGlKsZeYkHZ04o4c1HvC1nLBHk0u4rlC1po6Q21N4guD5lQlW5oShofAKo0KgumYi4x2t1QVlrvYFMuPu3BsZye4o+xl6N1QTP2ZmhLNFV/C3mCmrbYpYZhB4vkCeUogDWpujckci3tb2JqSLaLUCAW8ZJafqSnhxpoX3t9zu7Yp0Qm5C8oRyRWAf7j3M1ts2qo7YoA7ZXJEi+lMroGdC27nLqq5HN/qFza4eFMrOTlbUxocf1Xxr21KsfdJIZDeNS59Wbc1gG3/eRgg9sh8HsjfIqWZTh7+3Luere5ZnybO1pQsL7yT3NU2JYJGE/IF4rht0/dIzHMFKF0Ftga27T8eA+QCObIcD1oRkY99dnl+KT+oF0vTO1tTgmTiTy9Y/V65pil1rtHQ5X3xz9MpATNUJia69Bb6mXOwmE1twWEYICGJfUyIq15Jbw2Yu6IwjxUTOYgf/YVAwg82xox+eOKHq+BEwMqPWKmJowtxxrfVNyU1TQky6fCMUCBRQdCUasmbnEOLHBndzhHABwS9BDqGs3fzYLm2+Bz6tsENxwxwwY2K4uX7HMxdGz+caiGFtsHNXG1u1PiS4maM8Ih++GWOcSmcxGgoxAkcFLcv1N2lMFm47RwmsC0y8CMlYCWXWWeWmqaUSziz4cJCAoEjkM8RIvYSCmJyunv3GXthoCGUxjruYBg7s0EPOAgi/uK3b3tweMDJOvQpTxp4MCP4x1503EKw7WP3MVwjf3x7OW7gmXkw+dI7fpmH71IT0PVWrtGLTWyfScCNr5MDTS0tMqiTmAxykj3jGidrmhKAMHYNwWkSQknYwyYkkgxawHwnQfzEZJ6CR1YRmgCIjjV6dK2/B7x81wSY5TNDzw2OKyCAH96Yv7b0YrCTMUUMg3G5Mi74ynEDTuZVyAMemRD8+LGBwFHWMKyCjVlGqpiteq69LmxCLwkAzqV8Zx4/tZZMeNc2pRIIk1G3CF2AVeC9O6+BYo6k2Dtw2oAWZ48jpE7uu2JSPD7hzDHApOtoFqor5T86UoGL7dG1/h6CP8vAHsIRHKqb30i97c6vtZfCXXM+xOnrgHvmfanl1IoNLnLcDI4z5dWq11+3lm9srSpUI6jO6V3k+Mx95jgb95eWgRldcEbuWbgj5uwx13GqKaVIfss5u9VJbUjoATQyyfibDDDh/K+dI3x+v8RW5byS3Dm/UAPRYIEDRI+9fNbEneUzxcXaxVuTgoEO1WOBGtoO98Df/2VwFcc+38FM8YGRH3CSjDHp5CTcloTfJKUEHYMMxemvizUe5mN7eoeX+VnGGk5L+HW+xA3z+BE2S6t+1rE/xkVMB7zBhXW9FYc2OeIPl5PbiD143kvg6Q8yFhlcBLGVE3wlJ+gdJok1JcgiaWO3ramE+4Gs/1HC4pdy/j/BHCSpM5N8posycABncUBJpri0cflqSCa9zY6Z/tTpyhEBBkjWZjM4HNiEB0SPYFKM7AOr4g1tcP5V7yR6p2DRXzLAQtvhUuyjT3VqYeEHXP1LRq4xZUybptQufoUCdsXvz3GOfYt3cg2npXh/Lno1jr5dCzdwBr5UIw997OREbXxn2QtvPg8x0l+Wkz9MRON/EazKJVvQ3XtrYn4xz//qkZJUfsIT+vGB+iPPYrz7eq0+P98TNqVOzuEcnVCvwr7yVFP6iSx6I+HdP+X8nzLOK4Ec14jfuGL7Us1M1+LL5BFKEySBIRAZg6PuG+RDL4NjSmh06FJhverVczS4VDBTttmrdidPP5+xic/YxTc+c25v6Zx+7OBXKGBRjP6cjzHcw3p0xfbpWuJDzFOSirdvN8XNKEpZtxjJssRXYxCqJOb4WmqAP5c1qV9D/FXmUrmDj8x1GV9YU8qNGH72oHt2uvlOzIhNTuAWfSnMT/bGmhKBYWCQwlHBkdHgTAHfk2mIw0GOCM6ZgK8xElmLb9hVW0OAgy1KYkjm5NZyBDfJVUoweGNYRdeGeyjKxcPdOyz4wmcVYgW+WBGDeTAASeFFJ/7+WUaYP8QPHHAWCnMMcIXCudnNgc/CqcGF50vQCyaVGDfgLRVpzt4okwyLYAf/8PkSQnwYg1O+Z02FXMb4DX2Cb/aBwySpd0o0IwrWJ7qX7xhgbqsAEt2dIw/dgFYHturP7R9kUt+9sA6bf5QBJl/4rjjBR+Jy5ByJpcdYAYb2RznBsAo6SVx/D4nGYzVxUeERdZJBTAa3hzm47Nx5q8016+DMf6ele8EI7jmhDJysQXoZWzi14i1xAw64gsdaGWUjwyKri9Si1PFO3MGxuOMgx9l9N6rJLiNe8KQ5iC/YyNUAtUJOsM8kuRfdvWhgqOCsFotFOYABExOALs45bLAul8wWe9Y1c2Th4PDoFIVDgMFEAMCqBecXFp9TPvpm4I5Rkk4WMJQTtY19bMGpL/DIGvYMDifzrJ9LxjbO4zc2waUyygdGSsDLevCBeQunVvglbshpcG2Rkt+h7klOYFeLe4ttn3vNF81deN7TBvk3yPBzHl9ygv0+2JPdkGpKKAlvz9cED/CAJemafPcXvXviYhZnGKPnFDEnaVNCXrB+axPYi8e98OAzvluldzzluEKXNgE+02i4O/2N1cgB1ln9fAI11ZRYxJt5XrRpp4X0EomqnKSjIQGqyX0yMLpC8S88lhxZc3G7NHPkM/m9592EFbPlDgKu4FnvTNgDx5w/gyjWVfzmmhKKcB7FNJfOfS6RwdrF21da3+bPyQAF/Y4M/QsR+cG5seCONrFPDuA2uQ3mWwgXbpoNGFIyywRDOeXYu3ELzGtscpcHdu7wVkmuKSlZBA0CSaKloB0gJB17AQSBTe6TAWLrP+JrrIl7ScgTvfqX1l5y/pY4LEXbOZ6UK7jlZoF6PLpYmm7Uh1xTGmSHXgmtt9zsmZwlCNREPTqBDV8dA/4j/igqyJMjNJs6b66/i1qBM8vjDXcc1FR3Eo4tj6ermxIk6M8+II+GkxPWk5BLa0rXz+4bWSTWehdtyZEbwTys2d7VVam2uKviSQWuLQ3s1g7ztMQo+bW6KbGBK6G+7aej5wTSaGIqACJRP5Kx3JqlZv8iDMyilTG6WFcl4UWQnUep5Y7Cf31yy0dOK6v0AnKiqoHmHt8AQMLxG59frDTQO1Acm9wvAyQeMdZ4873JOgZK716Yn2ToY/Hgvq+zcr3VncNXXfulpkSSQQrd2SqA4l9Ms5dbuLP8951W/9q67xggvvxO8m2XI1whm6xjgNqaZfD6IxRqiFrShsRafn3A+aMK2BYZUy3AUlMi6WhK/QoDnaxlqHALp6SuUNOWnoABColHdh7xZxlVt+sn8PPSEClgBhz6Ar/hDcHR6wl8sQZr5rDUlGguvSPMrLQtfCgGeO/Ib/DIlSZ1DFDEXPyHuu2H2cVNDP0CX6ql1JSqFbeND8OAXrlJxib1DMAjHJ75qYLHdxrSUk/D9//riS262t7HZIBEJAk3XR0fk7onXg+uIZ35vRzYuVvaJO1OaRN9bbMwMLpieq+x0RjYg4HWlPZg8bF18D6ER45Nt+yPTWHz3megNaWWD42BxsChGGhN6VDhaGAaA42BbwAdR+ROie7sPwAAAABJRU5ErkJggg==[/img][br][size=85]A kapott kifejezések a koordinátageometriában a két pont távolságára emlékeztetnek. Ebből következően, legyen[br][math]A\left\langle0,5\right\rangle,B\left(8,8\right),P\left\langle x,\frac{1}{2}x\right\rangle[/math][/size]

[size=85]Ennek felhasználásával a probléma így fogalmazható:[br][/size][size=85]Az [math]y=\frac{1}{2}x[/math] egyenletű egyenes mely pontjára igaz, hogy a[math]PA+PB[/math][/size] [size=85]távolságősszeg minimális?[/size]

Mozgassuk a P pontot, vizsgáljuk a távolságösszeget!

[size=85]A figyelmes szemlélő észrevehette, hogy az átfogalmazással a tengelyes tükrözésnél tanult/tanított [url=http://www.jgypk.hu/mentorhalo/tananyag/Geometria_I/51_tengelyes_tkrzs.html]nagymama-piroska[/url] problémára jutottunk. A következő appleten meglehet nézni a szerkesztést és az abban szereplő geometriai objektumok [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Pont_(geometria)]koordinátageometria[/url]i jellemzését is. [/size]

[size=85]Végezetül vegyük számba, hogy milyen koordinátageometriai eszközöket használhatunk a probléma megoldásához![/size]

Adott egyenesre merőleges, adott pontra illeszkedő egyenes

Két egyenes metszéspontja

Pont egyenesre vonatkozó tükörképe

Két pontra illeszkedő egyenes

Két pont távolsága

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

1.9.

1.10.

1.11.

1.12.

1.13.

1.14.

1.15.

1.16.

1.17.

1.18.

1.19.

1.20.

1.21.

1.22.

1.23.

1.24.

1.25.

1.26.

1.27.

1.28.

1.29.

1.30.

1.31.

1.32.

1.33.

1.34.

1.35.

1.36.

1.37.

1.38.

1.39.

1.40.

1.41.

1.42.

1.43.

1.44.

1.45.

1.46.

1.47.

1.48.

1.49.

1.50.

1.51.

1.52.

1.53.

1.54.

1.55.

1.56.

1.57.

1.58.

1.59.

1.60.

1.61.

1.62.

1.63.

1.64.

1.65.

1.66.

1.67.

1.68.

1.69.

1.70.

1.71.

1.72.

1.73.

1.74.

1.75.

1.76.

1.77.

1.78.

1.79.

1.80.

1.81.

2.

Sorozatok

2.1.

Catalan-számok (1.)

KöMaL Gy. 2947. alapján

[size=85][url=http://db.komal.hu/KomalHU/felhivatkoz.phtml?id=41664]http://db.komal.hu/KomalHU/felhivatkoz.phtml?id=41664[/url][br]Egy félsík határoló egyenesén adott 2[i]n[/i] darab pont. Hányféleképpen lehet a pontokat párba állítani úgy, hogy az egymással párba állított pontok összeköthetők legyenek a félsík belsejében haladó, egymást nem metsző vonalakkal?[br][/size][size=85]Jelöljük a keresett számot [i]C[sub]n[/sub][/i]-nel![br][/size][size=85]2 pontot egyféleképpen lehet párba állítani és összekötni, így [i]C[sub]1[/sub][/i]=1.[/size]

n = 2

[size=85][i]C[sub]2[/sub][/i]=2[/size]

[math]C_3=C_2+C_1\cdot C_1+C_2=2+1\cdot1+2=5[/math]

n=4

[math]C_4=C_3+C_1\cdot C_2+C_2\cdot C_1+C_3=5+1\cdot2+2\cdot1+5=14[/math]

Rekurzió:

[size=85]Ha megállapodunk abban, hogy [math]C_0=1[/math][/size], [size=85]akkor a következő rekurzió sejthető meg:[br][/size][math]C_{n+1}=C_0\cdot C_n+C_1\cdot C_{n-1}+C_2\cdot C_{n.-2}+...+C_{n-1}\cdot C_1+C_n\cdot C_0[/math][br][size=85]Az igazolás történhet úgy, hogy a jó párosításokat aszerint csoportosítjuk, hogy a az 1. pontot melyik ponttal kötjük össze. Nyilvánvaló, hogy az 1. pontot olyan pontokkal köthetjük össze, hogy a összekötésen belül páros sok pont maradjon. Ebből következően az 1. pontot a 4,, 6., ..., 2[i]n. [/i]pontokkal köthetjük össze. az összekötéseken belül a korábbi számú összekötések lehetségesek.[/size]

Catalan-számok

A [math]C_n[/math] [size=85]sorozat tagjait [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Eug%C3%A8ne_Charles_Catalan]Catalan[/url]-számoknak nevezzük. Az első néhány Catalan-szám [url=https://oeis.org/A000108]itt található[/url].[/size]

2. probléma

[size=85][url=https://www.komal.hu/feladat?a=feladat&f=B4928&l=hu]Hányféleképpen juthatunk [/url]el a Descartes-féle koordinátarendszer origójából az [math]\left\langle n;n\right\rangle[/math][/size] [size=85]pontba, úgy, hogy minden lépésben egyet "jobbra" vagy egyet "felfelé" léphetünk úgy, hogy nem léphetünk olyan pontba, aminek első koordinátája nagyobb, mint a második koordinátája? [math]n\in\mathbb{Z}^+[/math][/size].

Lépegessünk!

Jő lépés sorrendek

[size=85][i]n[/i] = 1 [math]\wedge\longrightarrow[/math][/size] [b][size=85]1 db[/size][br][/b][size=85][i]n [/i]= 2 [math]\wedge\wedge\longrightarrow\longrightarrow[/math][/size] [math]\wedge\longrightarrow\wedge\longrightarrow[/math] [b][size=85]2 db[br][/size][/b][size=85][i]n [/i]= 3 [math]\wedge\wedge\wedge\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow[/math][/size] [math]\wedge\wedge\longrightarrow\wedge\longrightarrow\longrightarrow[/math] [math]\wedge\wedge\longrightarrow\longrightarrow\wedge\longrightarrow[/math] [math]\wedge\longrightarrow\wedge\wedge\longrightarrow\longrightarrow[/math] [math]\wedge\longrightarrow\wedge\longrightarrow\wedge\longrightarrow[/math] [size=85][b]5 db[/b][/size]

[size=85]A lépegetéseknél és a speciális esetekben vizsgált jó sorrendeknél tapasztaltak alapján gondolható, hogy a két probléma között kapcsolatot lehet felfedezni. A Gy.2947. minden jó párba állításához kölcsönösen egyértelműen hozzárendelhető egy jó lépés sorrend a 2. problémából és viszont. Az összekötések kezdőpontjához rendeljük a "felfelé" lépést a végpontjához pedig a "jobbra" lépést. [br][/size][size=85]Ennek következtében e probléma megoldásai is a Catalan-számok.[/size]

3. probléma

[size=85]A Gy. 2947. feladatban szereplő 2[i]n[/i] pont közül [i]n[/i]-et pirosra festjük. Hányféleképpen tehetjük meg ezt?[br][br][/size][size=85]Az ismétlés nélküli kombinációról tanultak szerint a kifestések száma: [math]F_n=\binom{2n}{n}[/math][br][/size][size=85]Vizsgáljuk az [i]F[/i] és [i]C[/i] sorozatok első néhány tagját![/size]

[size=85]Észre lehet venni valamilyen kapcsolatot a két sorozat tagjai között?[/size]

Sejtés

[math]\left\langle n+1\right\rangle\cdot C_n=F_n[/math][br][math]\left\langle n+1\right\rangle\cdot C_n=\binom{2n}{n}[/math][br][math]C_n=\frac{\binom{2n}{n}}{n+1}[/math][br][math]C_n=\frac{\left\langle2n\right\rangle!}{n!\cdot\left\langle n+1\right\rangle!}[/math] [math]=\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n-1}[/math][br][size=85]A fentiekben látott rekurzióval és teljes indukcióval a sejtés igazolható[b]?[/b][/size]

Hanyag pénztáros

[size=85]Egy moziban a jegyek egységesen 1000 forintba kerülnek. A [url=https://www.geogebra.org/m/vw3sdjbs]lusta/hanyag pénztáros[/url] nem törődik azzal, hogy felkészüljön a munkájára, így váltópénz nélkül kezdi a napot. Nyitáskor 2[i]n[/i] ember áll sorban a pénztár előtt, [i]n[/i]-nél egy darab kétezres, [i]n-[/i]nélegy darab ezres van. Hányféleképpen állhatnak sorba úgy, hogy mindenki tud jegyet venni?[/size][br][br][size=85]Ha az ezreseknek megfeleltetjük a 2. probléma "felfelé" lépéseit, a kétezreseknek megfeleltetjük a "jobbra" lépéseket, akkor láthatjuk, hogy ennek a problámának is a megoldási a Catalan-számok.[/size]

További problémák

[list=1][*][size=85][/size][size=85][url=https://web.cs.elte.hu/blobs/diplomamunkak/bsc_matelem/2013/nemeth_regina.pdf]Egy [i]n[/i] oldalú konvex sokszöget, hányféleképpen lehet felbontani háromszögekre az átlóival úgy, hogy az átlók nem metszik egymást?[/url][/size][br][/*][*][size=85][url=https://docplayer.hu/39691193-Rekurziv-sorozatok-eotvos-lorand-tudomanyegyetem-budapest-csiko-csaba-temavezeto-dr-mezei-istvan-matematika-szakos-hallgato-elte-ttk.html]Az udvarias sofőr esete[/url][/size][/*][*][size=85][url=https://docplayer.hu/39691193-Rekurziv-sorozatok-eotvos-lorand-tudomanyegyetem-budapest-csiko-csaba-temavezeto-dr-mezei-istvan-matematika-szakos-hallgato-elte-ttk.html]Hányféleképpen zárójelezhető egy [i]n[/i] tényezős szorzat?[/url][/size][/*][*][size=85][url=https://www.komal.hu/feladat?a=feladat&f=B4928&l=hu]KöMaL B. 4928. feladat[/url][/size][/*][/list]

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

2.11.

2.12.

2.13.

2.14.

2.15.

2.16.

2.17.

2.18.

2.19.

2.20.

2.21.

2.22.

2.23.

2.24.

2.25.

2.26.

2.27.

2.28.

2.29.

2.30.

2.31.

2.32.

2.33.

2.34.

2.35.

2.36.

2.37.

2.38.

2.39.

2.40.

2.41.

2.42.

2.43.

2.44.

2.45.

2.46.

2.47.

2.48.

2.49.

2.50.

2.51.

2.52.

2.53.

2.54.

2.55.

2.56.

2.57.

2.58.

2.59.

2.60.

2.61.

2.62.

2.63.

2.64.

2.65.

2.66.

2.67.

2.68.

2.69.

2.70.

2.71.

2.72.

2.73.

2.74.

2.75.

2.76.

2.77.

2.78.

2.79.

2.80.

2.81.

2.82.

2.83.

2.84.

2.85.

2.86.

2.87.

2.88.

2.89.

2.90.

2.91.

2.92.

2.93.

2.94.

2.95.

3.

Sorok

1. Egy sor
2. gyk_306 - Egy mértani soros probléma
3. How do I solve: 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 +…+ 1/9900?
4. Emelt érettségi 2013. október, 7.
5. Emelt érettségi 2013. május, 6.
6. Emelt érettségi, 2011. május, 5.
7. 2025. 155.
8. Sorok
9. 2025. 237.
10. 2025. 289.

3.1.

Egy sor

[size=85]Adjuk meg az alábbi sorozat tagjai reciprokainak összegét![br][/size][img]data:image/png;base64,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[/img][br][br][size=85][url=https://www.geogebra.org/m/yydewuqb#material/mqmpckm8]Láttuk, hogy[/url] [math]a_n=\frac{n\left\langle n+1\right\rangle}{2}[/math][/size].

A GeoGebra megadja a vizsgált sor összegét

Egy megoldás

[size=85]Ebben e megoldásban a [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Teleszkopikus_%C3%B6sszeg]teleszkopikus összeg[/url] módszert használtuk.[/size]

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

3.10.

4.

Szorzar-ok

Megszámlálhatóan végtelen tényezős szorzatokról ([b]szorzar[b][/b][/b]-okról) szól ez a fejezet. Mutatunk olyan szorzart, aminek - nincs szorzata; - szorzata végtelen; - szorzata pozitív szám; - szorzata 0; - szorzata negatív szám; - szorzata mínusz végtelen.

4.1.

Végtelen tényezős szorzat 1.

[math]\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\cdot...\cdot\left(1-\frac{1}{k^2}\right)\cdot...=?[/math][br][size=85]Hogyan adhatjuk meg (megszámlálhatóan)végtelen tényező szorzatát? követhetjük a [url=http://math.bme.hu/~csandor/A2/2009102/vegtelen_sorok.pdf]valós számsorok[/url] esetén megismert módszert.[br]Legyen az [i]n[/i]-edik [b]részletszorzat[/b]:[br][math]p_n=\prod_{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k^2}\right)[/math][/size][br][size=85]Ha a részletsorozatnak van határértéke, akkor ez nevezhető a (megszámlálhatóan) végtelen tényező szorzatának. [br]Az alábbi táblázat C oszlopában láthatók a részletszorzatok. A grafikon is a részletszorzatokat mutatja.[/size]

A részletszorzatok grafikonon

[size=85]Ez alapján megsejthető a keresett határérték.[br][br]A GeoGebra CAS el is végzi a számolást.[/size]

[size=85]Azon érdemes elgondolkdni, hogy miért igaz a 2 egyenlőség.[/size]

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

5.

Differenciálszámítás

1. gyk_23 (Derivált, derivált függvény)
2. gyk_107 - Trigonometrikus függvény diszkussziója
3. Függvényvizsgálat
4. gyk_165 - Differenciálegyenlet
5. Függvény és deriváltak
6. gyk_214 - Taylor-polinomos probléma
7. gyk_227 - Hogyan igazoljam ezt? (lokális maximum)
8. gyk_60 - Rolle-tétel
9. gyk_319 - Taylor-polinom
10. Gömbszelet térfogata
11. Emelt érettségi 2022. május, 7.
12. Emelt érettségi 2021. május, 8.
13. Emelt érettségi 2019. október, 5.
14. Emelt érettségi 2016. október, 8.
15. Emelt érettségi 2014. október, 7.
16. Emelt érettségi 2013. október, 6. a)
17. Függvény grafikonjának ...
18. Emelt érettségi 2013. május, 7.
19. Emelt érettségi 2012. október, 7.
20. Emelt érettségi 2010. október, 7.
21. Emelt érettségi 2008. május, 6.
22. Emelt érettségi 2007. október, 7.
23. Gradiens vektor meghatározása
24. Egy felület adott pontjára illeszkedő érintő sík
25. 2025. 53.
26. 2025. 94.
27. 2025. 125.
28. Taylor-polinom
29. 2025. 218.
30. 2025. 220.

5.1.

gyk_23 (Derivált, derivált függvény)

[size=85]A [url=https://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazifeladat-kerdesek__10239648-valaki-el-tudna-magyarazni-vagy-kepen-megmutatni-hogy-egy-szigorun-monoton-cso]https://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazifeladat-kerdesek__10239648-valaki-el-tudna-magyarazni-vagy-kepen-megmutatni-hogy-egy-szigorun-monoton-cso[/url] kérdéssel kapcsolatos gondolkodás alapján is megállapítható, hogy a címben említett két fogalom pontos ismeretének hiánya problémákat eredményezhet.[br][/size][size=85]Az itt következő GeoGebra fájl segítséget szeretne nyújtani a tisztázáshoz.[/size]

Mozgassuk a zöld pontot!

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

5.6.

5.7.

5.8.

5.9.

5.10.

5.11.

5.12.

5.13.

5.14.

5.15.

5.16.

5.17.

5.18.

5.19.

5.20.

5.21.

5.22.

5.23.

5.24.

5.25.

5.26.

5.27.

5.28.

5.29.

5.30.

6.

Integrálszámítás

1. gyk_89 - Határozatlan integrál
2. gyk_129 - Egy határozott integrál
3. Határozatlan integrál
4. Határozott integrál
5. gyk_232 - Görbék és az x-tengely által közbezárt terület
6. gyk_266 - Forgástest térfogata
7. Egy határozatlan integrál
8. gyk_276 - Improprius integrál
9. Emelt érettségi 2009. október (8. feladat)
10. Emelt érettségi 2011. október, 6. feladat c)
11. Emelt érettségi 2013. október, 6. b)
12. Emelt érettségi 2015. október, 4. a)
13. Emelt érettségi 2017. október, 8.
14. Két függvény grafikonja közötti terület
15. Emelt érettségi 2022. május, 9.
16. Emelt érettségi 2021. május, 4.
17. Emelt érettségi 2019. október, 8.
18. Emelt érettségi 2018. május, 8.
19. Emelt érettségi 2010. október, 5.
20. Integrál
21. 2025. 14.
22. 2025. 151.
23. 2025. 159.
24. 2025. 240.
25. 2025. 241.
26. 2025. 242.
27. 2025. 264.

6.1.

gyk_89 - Határozatlan integrál

[size=85]Kérdés: [url=https://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazifeladat-kerdesek__10420806-integralas-pelda]https://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazifeladat-kerdesek__10420806-integralas-pelda[/url][/size]

0