Si X, Y, Z son los puntos medios de los lados, las tres cevianas son concurrentes.[br][br][b]Respuesta[/b]: Sea △ABC con puntos medios X, Y, & Z la siguiente figura

Las tres cevianas solo serán concurrentes si: [br][br][math]\frac{AY}{YB}\frac{BX}{XC}\frac{CZ}{ZA}=1[/math][br][br]Como X, Y, & Z son los puntos medios, entonces [math]AY=YB[/math], [math]BX=XC[/math], y [math]CZ=ZA[/math]. Por lo tanto,[br][br][math]\frac{AY}{AY}\frac{BX}{BX}\frac{CZ}{CZ}=1\ast1\ast1=1[/math][br][br]Por lo tanto, las tres cevianas desde los vértices a los puntos medios de cada lado son concurrentes.

Las cevianas perpendiculares a sus lados opuestos son concurrentes.[br][br][b]Respuesta[/b]: Observemos la siguiente figura

Consideremos △ABX y △AXC. Ambos tienen a AX como su altura, por lo que sus áreas son proporcionales a sus bases. Por lo tanto, [br][br][math]\frac{BX}{XC}=\frac{\left(ABX\right)}{\left(AXC\right)}[/math][br][br]Similarmente con △PBX y △PXC tienen la altura PX en común. Por lo tanto,[br][br][math]\frac{BX}{XC}=\frac{\left(ABX\right)}{\left(AXC\right)}=\frac{\left(PBX\right)}{\left(PXC\right)}[/math][br][br][math]\frac{BX}{XC}=\frac{\left(ABX\right)}{\left(AXC\right)}=\frac{\left(PBX\right)}{\left(PXC\right)}=\frac{\left(ABX\right)-\left(PBX\right)}{\left(ACX\right)-\left(PXC\right)}[/math][br][br]Observamos que [math]\left(ABX\right)-\left(PBX\right)=\left(APB\right)[/math] & [math]\left(ACX\right)-\left(PXC\right)=\left(APX\right)[/math] y llegamos a[br][br][math]\frac{BX}{XC}=\frac{\left(APB\right)}{\left(APC\right)}[/math] (i)[br][br]Semejantemente, tenemos que [math]\frac{CY}{YA}=\frac{\left(BCP\right)}{\left(APB\right)}[/math] (ii) y [math]\frac{AZ}{ZB}=\frac{\left(APC\right)}{\left(BCP\right)}[/math] (iii).[br][br]Al multiplicar (i), (ii) y (iii) obtenemos:[br][br][math]\frac{BX}{XC}\frac{CY}{YA}\frac{AZ}{ZB}=\frac{\left(APB\right)}{\left(APC\right)}\frac{\left(BCP\right)}{\left(APB\right)}\frac{\left(APC\right)}{\left(BCP\right)}=1[/math][br][br]Por el converso del Teorema de Ceva, las álturas son concurrentes.

Sean [math]\text{△}ABC[/math] y [math]\text{△}A'B'C'[/math] dos triángulos no congruentes, donde sus lados sean respectivamente paralelos, como en la siguiente figura. Entonces, las tres lineas [math]AA'[/math], [math]BB'[/math] & [math]CC'[/math] (extendida) son concurrentes.

[b]Respuesta[/b]: Volvamos a ver la misma figura pero con segmentos auxiliares y ángulos congruentes (los cuales lo son por rectas paralelas cortadas por una transversal)

Sea O el punto en donde [math]BB'[/math] y [math]CC'[/math] se intersecan. Sea [math]A''[/math] el punto en donde [math]OA[/math] y [math]A'B'[/math] se intersecan. [br][br]Notamos que [math]\text{△}A'B'C'\sim\text{△}ABC[/math] por AA, ya que sus ángulos respectivos son paralelos. Entonces, [br][br][math]\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{OB'}{OB}=\frac{A''B'}{AB}[/math][br][br]lo que implica que [math]A'=A''[/math]. [br][br]Por lo tanto, [math]OA[/math] y [math]A'B[/math] se intersecan en [math]A'[/math] y entonces [math]AA'[/math] es concurrente a [math]BB'[/math] y [math]CC'[/math]

Sea [math]AX[/math] una ceviana de largo [math]p[/math], dividiendo [math]BC[/math] en los segmentos [math]BX=m[/math] y [math]XC=n[/math] como en la siguiente figura. Entonces, [br][br][math]a\left(p^2+mn\right)=b^2m+c^2n[/math]

[b]Respuesta[/b]: Observemos la misma figura con elementos auxiliares para la prueba:

Sea [math]a=m+n[/math].[br][br]Consideremos la Ley de Cosenos en [math]\angle\alpha[/math] en [math]\text{△}ABX[/math]. Entonces: [br][br][math]c^2=m^2+p^2-2mpCos\alpha[/math] (i)[br][br]Considerando la Ley de Cosenos en [math]\angle\beta[/math] en [math]\text{△}ACX[/math], obtenemos: [br][math]b^2=n^2+p^2-2npCos\beta[/math] (ii)[br][br]Utilizando [math]cos\left(180^\circ-x\right)=-cos\left(x\right)[/math] y que [math]\alpha=180^\circ-\beta[/math] en (i), obtenemos:[br][br][math]c^2=m^2+p^2-2mpCos\left(180-\beta\right)=m^2+p^2+2mpCos\beta[/math] (iii)[br][br]Al multiplicar (ii) por m y (iii) por n, se obtiene:[br][br][math]b^2m=mn^2+mp^2-2mnpCos\beta[/math] (iv)[br][math]c^2n=nm^2+np^2+2mnpCos\beta[/math] (v)[br][br]Al sumar (iv) y (v), conseguimos que:[br][br][math]b^2m+c^2n=nm^2+mp^2-2mnpCos\beta+nm^2+np^2+2mnpCos\beta[/math][br][br]Simplificando, obtenemos:[br][br][math]b^2m+c^2n=np^2+mp^2+mn^2+nm^2=p^2\left(n+m\right)+mn\left(n+m\right)=p^2q+mnq=a\left(p^2+mn\right)[/math][br][br]Por lo tanto,[br][br][math]a\left(p^2+mn\right)=b^2m+c^2n[/math]