Im [b]Kapitel IV.2.[/b] (vom Quadrat zum Fünfeck) sind die Konstruktionen zweier Strecken beschrieben und ihre ungefähren Längen genannt. Die erste ist die Teilstrecke [math]s=\small\frac{1}{2}\normalsize\left(\textcolor{magenta}{a+\small\frac{1}{2}\normalsize d}\right)[/math], wobei [math]d[/math] die die Länge der Diagonalen und [math]a[/math] die Seitenlänge des regelmäßigen Fünfecks ist. Die zweite Strecke ist die Seitenlänge [math]a[/math], mit der hier begonnen wird.[br]Zunächst wird die Formel für den Flächeninhalt des regelmäßigen Fünfecks hergeleitet:

Jede Diagonale (Länge [math]d[/math]) wird durch den Schnittpunkt mit einer anderen Diagonale in zwei Teilstrecken zerlegt, deren eine Länge mit der Seitenlänge [math]a[/math] übereinstimmt und deren andere Länge hier mit [math]b[/math] bezeichnet ist. Weil jede Diagonale an ihren Enden einen Innenwinkel von 108° in Winkel mit 72° und 36° aufteilt, sind die symmetrischen Dreiecke [math]ABD[/math] und [math]FCD[/math] ähnlich. Daher gilt [math]\frac{d}{a}=\frac{a}{b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}\Leftrightarrow b^2+ab-a^2=0[/math]. Die positive Lösung dieser Gleichung für [math]b[/math] ist [math]b=-\small\frac{1}{2}\normalsize a+\sqrt{\small\frac{a^2}{4}\normalsize+a^2}=\small\frac{1}{2}\normalsize\left(\sqrt{5}-1\right)a[/math].[br]Bei einer solchen Aufteilung, bei der das Verhältnis von Gesamtstrecke zur längeren Teilstrecke mit dem Verhältnis von längerer zu kürzerer Teilstrecke übereinstimmt, spricht man vom [b][i]Goldenen Schnitt[/i][/b]. Wegen dieser Aufteilung gilt auch [math]a=\small\frac{1}{2}\normalsize\left(\sqrt{5}-1\right)d[/math], umgekehrt gilt[br][math]\textcolor{#008040}{d}=\frac{a}{\frac{1}{2}(\sqrt{5}-1)}=\frac{2a\cdot(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt5+1)}=\textcolor{#008040}{\small\frac{1}{2}\normalsize\left(\sqrt{5}+1\right)\cdot a}[/math].[br][math]\Rightarrow\textcolor{magenta}{2s=a+\small\frac{d}{2}}=a+\small\frac{1}{4}\normalsize\textcolor{#008040}{\left(\sqrt{5}+1\right)a}=\left(\small\frac{5}{4}\normalsize+\small\frac{1}{4}\normalsize\sqrt{5}\right) a=\textcolor{magenta}{\small\frac{1}{4}\normalsize\left(5+\sqrt5\right)a}[/math][br]Nach dem Strahlensatz ist auch die Höhe des Fünfecks im [i]Goldenen Schnitt[/i] aufgeteilt: [math]\frac{h_1+h_2}{h_1}=\frac{h_1}{h_2}=\frac{d}{a}[/math].[br]Folglich gilt [math]\textcolor{red}{d\cdot h_2=a\cdot h_1}[/math]. [math]h_1[/math] lässt sich aus dem Dreieck [math]AFE[/math] berechnen:[br][math]h_1[br]=\sqrt{a^2-\left(\small\frac{b}{2}\normalsize\right)^2}[br]=\sqrt{a^2-\left(\small\frac{1}{4}\normalsize(\sqrt5-1)a\right)^2}[br]=\sqrt{1-\small\frac{1}{16}\normalsize(6-2\sqrt5)}\;a[/math].[br][math]\Rightarrow\textcolor{blue}{h_1=\frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}\cdot a}[/math][br]Der Fläche des Fünfecks setzt sich aus dem Trapez [math]ABCE[/math] und dem Dreieck [math]ECD[/math] zusammen, daher gilt für den Flächeninhalt[br][math]\mathcal{A}[br]=\small\frac{1}{2}\normalsize(d+a)h_1+\small\frac{1}{2}\normalsize \textcolor{red}{dh_2}[br]=\small\frac{1}{2}\normalsize(d+a)h_1+\small\frac{1}{2}\normalsize\textcolor{red}{ah_1}[br]=\left(a+\small\frac{1}{2}\normalsize d\right)h_1[br]=\textcolor{magenta}{\small\frac{1}{4}\normalsize\left(5+\sqrt{5}\right)\,a}\cdot\textcolor{blue}{\small\frac{1}{4}\normalsize\sqrt{10+2\sqrt5}\;a}[/math][br][math]\Rightarrow\mathcal{A}[br]=\small\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\normalsize[br]\cdot\sqrt{\left(\sqrt{5}+5\right)^2\cdot\left(10+2\sqrt{5}\right)}\,a^2[br]=\small\frac{1}{16}\normalsize\sqrt{\left(30+10\sqrt5\right)\left(10+2\sqrt5\right)}\,a^2[br]=\small\frac{1}{16}\normalsize\sqrt{400+160\sqrt5}\,a^2[/math][br][math]\underline\underline{\Rightarrow\mathcal{A}[br]=\small\frac{1}{4}\normalsize\sqrt{25+10\sqrt{5}}\cdot a^2}[/math][br]Für das flächengleiche Quadrat mit der Seitenlänge [math]q[/math] gilt [math]\mathcal{A}=q^2=\small\frac{1}{4}\normalsize\sqrt{25+10\sqrt{5}}\;a^2[/math]. Für die Konstruktion von [math]a[/math] aus der Quadratseite [math]q[/math] muss die letzte Gleichung nach [math]a^2[/math] aufgelöst werden:[br][math]a^2[br]=\frac{4}{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}\;q^2[br]=\frac{4\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{\sqrt{\left(25+10\sqrt{5}\right)\left(25-10\sqrt{5}\right)}}\;q^2[br]=\frac{4\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{\sqrt{625-500}}\;q^2[br]=\frac{4\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5\sqrt5}\;q^2[/math][br][math]a^2[br]=\small\frac{4}{5}\normalsize\sqrt{5-2\sqrt{5}}\;q^2[/math][br]Für die bei der Konstruktion benötigte Strecke [math]s[/math] gilt:[br][math]s^2[br]=\left({\small\frac{1}{2}\normalsize\cdot\textcolor{magenta}{\small\frac{5+\sqrt5}{4}\normalsize\;a}}\right)^2[br]=\small\frac{1}{64}\normalsize\left(30+10\sqrt{5}\right)\cdot\small\frac{4}{5}\normalsize\sqrt{5-2\sqrt{5}}\:q^2[br]=\small\frac{1}{80}\normalsize\sqrt{\left(30+10\sqrt{5}\right)^2\left(5-2\sqrt{5}\right)}\:q^2[/math][br][math]s^2[br]=\small\frac{1}{80}\normalsize\sqrt{\left(1400+600\sqrt{5}\right)\left(5-2\sqrt{5}\right)}\;q^2[br]=\small\frac{1}{80}\normalsize\sqrt{1000+200\sqrt{5}}\;q^2[br]=\small\frac{1}{8}\normalsize\sqrt{10+2\sqrt{5}}\;q^2[/math]